La tabla de Cayley, que debe su nombre al matemático británico del siglo XIX Arthur Cayley , describe la estructura de un grupo finito al organizar todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una tabla cuadrada que recuerda a una tabla de adición o multiplicación . Muchas propiedades de un grupo (como si es abeliano o no , qué elementos son inversos de qué elementos y el tamaño y el contenido del centro del grupo ) se pueden descubrir a partir de su tabla de Cayley.
Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es la del grupo {1, −1} bajo la multiplicación ordinaria :
Las tablas de Cayley se presentaron por primera vez en el artículo de Cayley de 1854, "Sobre la teoría de grupos", como dependientes de la ecuación simbólica θ n = 1. En ese artículo se hacía referencia a ellas simplemente como tablas y eran meramente ilustrativas; más tarde se las conoció como tablas de Cayley, en honor a su creador.
Debido a que muchas tablas de Cayley describen grupos que no son abelianos , no se garantiza que el producto ab con respecto a la operación binaria del grupo sea igual al producto ba para todos los a y b del grupo. Para evitar confusiones, la convención es que el factor que etiqueta la fila (denominado factor más cercano por Cayley) va primero, y que el factor que etiqueta la columna (o factor más lejano ) va segundo. Por ejemplo, la intersección de la fila a y la columna b es ab y no ba , como en el siguiente ejemplo:
La tabla de Cayley nos dice si un grupo es abeliano . Debido a que la operación de grupo de un grupo abeliano es conmutativa , un grupo es abeliano si y solo si los valores de su tabla de Cayley son simétricos a lo largo de su eje diagonal. El grupo {1, −1} anterior y el grupo cíclico de orden 3 bajo la multiplicación ordinaria son ambos ejemplos de grupos abelianos, y la inspección de la simetría de sus tablas de Cayley verifica esto. Por el contrario, el grupo no abeliano más pequeño, el grupo diedro de orden 6 , no tiene una tabla de Cayley simétrica.
Debido a que la asociatividad se toma como un axioma cuando se trata con grupos, a menudo se da por sentado cuando se trata con tablas de Cayley. Sin embargo, las tablas de Cayley también se pueden usar para caracterizar el funcionamiento de un cuasigrupo , que no asume la asociatividad como un axioma (de hecho, las tablas de Cayley se pueden usar para caracterizar el funcionamiento de cualquier magma finito ). Desafortunadamente, generalmente no es posible determinar si una operación es asociativa o no simplemente mirando su tabla de Cayley, como lo es con la conmutatividad. Esto se debe a que la asociatividad depende de una ecuación de 3 términos, , mientras que la tabla de Cayley muestra productos de 2 términos. Sin embargo, la prueba de asociatividad de Light puede determinar la asociatividad con menos esfuerzo que la fuerza bruta.
Debido a que la propiedad de cancelación se aplica a los grupos (e incluso a los cuasigrupos), ninguna fila o columna de una tabla de Cayley puede contener el mismo elemento dos veces. Por lo tanto, cada fila y columna de la tabla es una permutación de todos los elementos del grupo. Esto restringe en gran medida qué tablas de Cayley podrían definir una operación de grupo válida.
Para ver por qué una fila o columna no puede contener el mismo elemento más de una vez, sean a , x e y elementos de un grupo, con x e y distintos. Entonces, en la fila que representa el elemento a , la columna correspondiente a x contiene el producto ax , y de manera similar, la columna correspondiente a y contiene el producto ay . Si estos dos productos fueran iguales, es decir, la fila a contuviera el mismo elemento dos veces, nuestra hipótesis, entonces ax sería igual a ay . Pero como se cumple la ley de cancelación, podemos concluir que si ax = ay , entonces x = y , una contradicción . Por lo tanto, nuestra hipótesis es incorrecta y una fila no puede contener el mismo elemento dos veces. Exactamente el mismo argumento es suficiente para probar el caso de la columna, y por lo tanto concluimos que cada fila y columna no contiene ningún elemento más de una vez. Como el grupo es finito, el principio del palomar garantiza que cada elemento del grupo estará representado en cada fila y en cada columna exactamente una vez. Por lo tanto, la tabla de Cayley de un grupo es un ejemplo de un cuadrado latino . Una prueba alternativa y más sucinta se desprende de la propiedad de cancelación . Esta propiedad implica que para cada x en el grupo, la función univariable de yf(x,y)= xy debe ser una función biunívoca. El resultado se desprende del hecho de que las funciones biunívocas en conjuntos finitos son permutaciones.
La forma estándar de una tabla de Cayley tiene el orden de los elementos en las filas igual que el orden en las columnas. Otra forma es organizar los elementos de las columnas de modo que la n- ésima columna corresponda al inverso del elemento en la n -ésima fila. En nuestro ejemplo de D 3 , solo necesitamos intercambiar las dos últimas columnas, ya que f y d son los únicos elementos que no son sus propios inversos, sino inversos entre sí.
Este ejemplo en particular nos permite crear seis matrices de permutación (todos los elementos 1 o 0, exactamente un 1 en cada fila y columna). La matriz 6x6 que representa un elemento tendrá un 1 en cada posición que tenga la letra del elemento en la tabla de Cayley y un cero en cada otra posición, la función delta de Kronecker para ese símbolo. (Observe que e está en cada posición a lo largo de la diagonal principal, lo que nos da la matriz identidad para matrices 6x6 en este caso, como esperaríamos). Aquí está la matriz que representa nuestro elemento a , por ejemplo.
Esto nos muestra directamente que cualquier grupo de orden n es un subgrupo del grupo de permutación S n , orden n !.
Las propiedades anteriores dependen de algunos axiomas válidos para grupos. Es natural considerar las tablas de Cayley para otras estructuras algebraicas, como semigrupos , cuasigrupos y magmas , pero algunas de las propiedades anteriores no se cumplen.
