Tabla normal estándar

En estadística , una tabla normal estándar , también llamada tabla normal unitaria o tabla Z , ^[1] es una tabla matemática para los valores de $Φ$ , la función de distribución acumulativa de la distribución normal . Se utiliza para encontrar la probabilidad de que una estadística se observe por debajo, por encima o entre los valores de la distribución normal estándar y, por extensión, de cualquier distribución normal. Dado que no se pueden imprimir tablas de probabilidad para todas las distribuciones normales, ya que existe una variedad infinita de distribuciones normales, es una práctica común convertir una normal en una normal estándar (conocida como puntuación z ) y luego usar la tabla normal estándar para encontrar probabilidades. ^[2]

Distribución normal y distribución normal estándar

Las distribuciones normales son distribuciones simétricas con forma de campana que resultan útiles para describir datos del mundo real. La distribución normal estándar , representada por $Z$ , es la distribución normal que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.

Conversión

Si $X$ es una variable aleatoria de una distribución normal con media $μ$ y desviación estándar $σ$ , su puntuación Z se puede calcular a partir de $X$ restando $μ$ y dividiendo por la desviación estándar:

Z={\frac {X-\mu} {\sigma}}

Si es la media de una muestra de tamaño $n$ de alguna población en la que la media es $μ$ y la desviación estándar es $σ$ , el error estándar es ⁠ ⁠ ${\overline {X}}$ ${\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

Si es el total de una muestra de tamaño $n$ de alguna población en la que la media es $μ$ y la desviación estándar es $σ$ , el total esperado es $nμ$ y el error estándar es ⁠ ⁠ ${\textstyle \suma X}$ $\sigma {\sqrt {n}}:$

Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}

Lectura de una tabla Z

Formato / diseño

$Las tablas Z$ normalmente se componen de la siguiente manera:

La etiqueta de las filas contiene la parte entera y el primer decimal de $Z.$
La etiqueta de las columnas contiene el segundo decimal de $Z.$
Los valores de la tabla son las probabilidades correspondientes al tipo de tabla. Estas probabilidades son cálculos del área bajo la curva normal desde el punto de inicio (0 para acumulativo desde la media , infinito negativo para acumulativo e infinito positivo para acumulativo complementario ) hasta $Z.$

Ejemplo: para encontrar 0,69 , uno miraría hacia abajo en las filas para encontrar 0,6 y luego a lo largo de las columnas para encontrar 0,09, lo que arrojaría una probabilidad de 0,25490 para una tabla de promedios acumulados o 0,75490 para una tabla de promedios acumulados .

Para encontrar un valor negativo como -0,83 , se podría utilizar una tabla acumulativa para valores z negativos ^[3] que arroja una probabilidad de 0,20327 .

Pero como la curva de distribución normal es simétrica, normalmente solo se dan probabilidades para valores positivos de $Z.$ El usuario podría tener que usar una operación complementaria sobre el valor absoluto de $Z$ , como en el ejemplo siguiente.

Tipos de tablas

$Las tablas Z$ utilizan al menos tres convenciones diferentes:

Acumulativo a partir de la media: da una probabilidad de que una estadística esté entre 0 (media) y $Z.$ Ejemplo: $Prob(0 \leq Z \leq 0,69) = 0,2549$ .
Acumulativo: da una probabilidad de que una estadística sea menor que $Z$ . Esto equivale al área de la distribución por debajo de $Z$ . Ejemplo: $Prob(Z \leq 0,69) = 0,7549$ .
Complementario acumulativo: da una probabilidad de que una estadística sea mayor que $Z$ . Esto equivale al área de la distribución por encima de $Z$ .; Ejemplo: Halla $Prob(Z \geq 0,69)$ . Como esta es la parte del área por encima de $Z$ , la proporción que es mayor que $Z$ se halla restando $Z$ de 1. Es decir, $Prob(Z \geq 0,69) = 1 - Prob(Z \leq 0,69)$ o $Prob(Z \geq 0,69) = 1 - 0,7549 = 0,2451$ .

Ejemplos de tablas

Acumulativo desde menos infinito hasta Z

Esta tabla da una probabilidad de que una estadística esté entre menos infinito y $Z.$

f(z)=\Phi(z)

Los valores se calculan utilizando la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar con media de cero y desviación estándar de uno, generalmente denotada con la letra griega mayúscula ( phi ), es la integral ${\estilo de visualización \Phi}$

\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\ ,dt

${\estilo de visualización \Phi}$ (z) está relacionada con la función de error , o $erf(z)$ .

\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]

Nótese que para $z = 1, 2, 3$ , se obtienen (después de multiplicar por 2 para tener en cuenta el intervalo $[- z, z]$ ) los resultados $f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974$ , característicos de la regla 68–95–99,7 .

Acumulativo (menor que Z)

Esta tabla da una probabilidad de que una estadística sea menor que $Z$ (es decir, entre infinito negativo y $Z$ ).

^[4]

Complementario acumulativo

Esta tabla da una probabilidad de que una estadística sea mayor que $Z.$

f(z)=1-\Phi (z)

^[5]

Esta tabla proporciona una probabilidad de que una estadística sea mayor que Z , para valores enteros grandes de Z.

Ejemplos de uso

Las calificaciones de los exámenes de un profesor se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 80 y una desviación estándar de 5. Solo está disponible una tabla de medias acumuladas .

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 82 o menos? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq 0,40)\\[2pt]&=0,15542+0,5\\[2pt]&=0,65542\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 90 o más? ${\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P(Z\geq 2,00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2,00)\\[2pt]&=1-(0,47725+0,5)\\[2pt]&=0,02275\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 74 o menos? Como esta tabla no incluye los números negativos, el proceso implica el siguiente paso adicional: ${\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq -1.20)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\qquad \qquad \quad ={}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0.11507\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación entre 74 y 82? ${\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0,65542-0,11507\\[2pt]&=0,54035\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de tres puntuaciones sea 82 o menos? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\&=P(Z\leq 0,69)\\[2pt]&=0,2549+0,5\\[2pt]&=0,7549\end{aligned}}$

Véase también

Referencias

^ "Tabla Z. Historia de la Tabla Z. Puntuación Z" . Consultado el 21 de diciembre de 2018 .
^ Larson, Ron; Farber, Elizabeth (2004). Estadística elemental: imaginando el mundo . 清华大学出版社. pag. 214.ISBN 7-302-09723-2.
^ "Cómo utilizar una tabla Z". ztable.io . Consultado el 9 de enero de 2023 .
^ 0,5 + cada valor en la tabla de medias acumulada
^ 0,5 − cada valor en la tabla Acumulado de media (0 a Z)