Controlar el volumen

Volumen imaginario a través del cual se modela y analiza el flujo de una sustancia

En la mecánica de medios continuos y la termodinámica , un volumen de control ( VC ) es una abstracción matemática empleada en el proceso de creación de modelos matemáticos de procesos físicos. En un marco de referencia inercial , es una región ficticia de un volumen dado fija en el espacio o que se mueve con una velocidad de flujo constante a través de la cual fluye el medio continuo (un medio continuo como un gas , un líquido o un sólido ). La superficie cerrada que encierra la región se denomina superficie de control . ^[1]

En estado estacionario , un volumen de control puede considerarse como un volumen arbitrario en el que la masa del continuo permanece constante. A medida que un continuo se mueve a través del volumen de control, la masa que entra en el volumen de control es igual a la masa que sale del volumen de control. En estado estacionario , y en ausencia de trabajo y transferencia de calor , la energía dentro del volumen de control permanece constante. Es análogo al concepto de mecánica clásica del diagrama de cuerpo libre .

Descripción general

Por lo general, para entender cómo se aplica una ley física determinada al sistema en cuestión, primero se empieza por considerar cómo se aplica a un volumen de control pequeño o "volumen representativo". No hay nada especial en un volumen de control en particular, simplemente representa una pequeña parte del sistema al que se pueden aplicar fácilmente las leyes físicas. Esto da lugar a lo que se denomina una formulación volumétrica o volumétrica del modelo matemático.

Se puede argumentar entonces que, puesto que las leyes físicas se comportan de una determinada manera en un volumen de control particular, se comportan de la misma manera en todos esos volúmenes, puesto que ese volumen de control en particular no era especial en ningún sentido. De esta manera, se puede desarrollar la formulación puntual correspondiente del modelo matemático para que pueda describir el comportamiento físico de un sistema completo (y tal vez más complejo).

En mecánica de medios continuos, las ecuaciones de conservación (por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes ) están en forma integral. Por lo tanto, se aplican a volúmenes. Encontrar formas de la ecuación que sean independientes de los volúmenes de control permite simplificar los signos integrales. Los volúmenes de control pueden ser estacionarios o pueden moverse con una velocidad arbitraria. ^[2]

Derivado sustantivo

Los cálculos en mecánica de medios continuos a menudo requieren que el operador de derivación temporal regular se reemplace por el operador de derivada sustantiva . Esto se puede ver de la siguiente manera. ${\displaystyle d/dt\;}$ ${\displaystyle D/Dt}$

Consideremos un insecto que se mueve a través de un volumen donde hay algún escalar , por ejemplo presión , que varía con el tiempo y la posición: . ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$

Si el error durante el intervalo de tiempo de a se mueve de a entonces el error experimenta un cambio en el valor escalar, ${\displaystyle t\;}$ ${\displaystyle t+dt\;}$ ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ ${\displaystyle dp\;}$

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

(el diferencial total ). Si el insecto se mueve con una velocidad, el cambio en la posición de la partícula es y podemos escribir ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

donde es el gradiente del campo escalar p . Entonces: ${\displaystyle \nabla p}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

Si el insecto simplemente se mueve con la corriente, se aplica la misma fórmula, pero ahora el vector de velocidad, v , es el del flujo , u . La última expresión entre paréntesis es la derivada sustantiva de la presión escalar. Dado que la presión p en este cálculo es un campo escalar arbitrario, podemos abstraerlo y escribir el operador de derivada sustantiva como

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

Véase también

• Mecánica de medios continuos
• Ecuación de Cauchy del momento
• Relatividad especial
• Derivado sustantivo

Referencias

• James R. Welty, Charles E. Wicks, Robert E. Wilson y Gregory Rorrer Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa ISBN  0-471-38149-7

Notas

1. GJ Van Wylen y RE Sonntag (1985), Fundamentos de la termodinámica clásica , Sección 2.1 (tercera edición), John Wiley & Sons, Inc., Nueva York ISBN 0-471-82933-1 
2. Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A.; Bhalla, Amneet Pal S. (2017). "Un enfoque de volumen de control en movimiento para calcular fuerzas hidrodinámicas y pares en cuerpos sumergidos". Journal of Computational Physics . 347 : 437–462. arXiv : 1704.00239 . Código Bibliográfico :2017JCoPh.347..437N. doi :10.1016/j.jcp.2017.06.047. S2CID  37560541.

Enlaces externos

Archivos PDF

• Enfoque integral para el análisis del volumen de control del flujo de fluidos