Lámina plana

Modelo matemático de un objeto delgado y plano.

En matemáticas , una lámina plana (o lámina plana ^[1] ) es una figura que representa una capa delgada, generalmente uniforme y plana del sólido. También sirve como modelo idealizado de una sección transversal plana de un cuerpo sólido en integración .

Las láminas planas se pueden utilizar para determinar momentos de inercia o centros de masa de figuras planas, así como también como ayuda en los cálculos correspondientes para cuerpos 3D.

Definición

Una lámina plana se define como una figura (un conjunto cerrado ) D de un área finita en un plano, con cierta masa m . ^[2]

Esto es útil para calcular momentos de inercia o centro de masa para una densidad constante, porque la masa de una lámina es proporcional a su área. En el caso de una densidad variable, dada por alguna función de densidad superficial (no negativa), la masa de la lámina plana D es una integral plana de ρ sobre la figura: ^[3] ${\displaystyle \rho (x,y),}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$

Propiedades

El centro de masa de la lámina está en el punto

${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)}$

donde es el momento de toda la lámina sobre el eje y y es el momento de toda la lámina sobre el eje x: ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{x}}$

${\displaystyle M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}$

${\displaystyle M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}$

con suma e integración asumidas en un dominio planar . ${\displaystyle D}$

Ejemplo

Encuentra el centro de masa de una lámina con aristas dadas por las líneas y donde la densidad se da como . ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle y=4-x}$ ${\displaystyle \rho \ (x,y)\,=2x+3y+2}$

Para ello se debe encontrar la masa así como los momentos y . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{x}}$

La masa es la que se puede expresar de forma equivalente como una integral iterada : ${\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$

${\displaystyle m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}$

La integral interna es:

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{2}-8x+32}$

Conectando esto a la integral externa obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}}$

De igual forma se calculan ambos momentos:

${\displaystyle M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}$

con la integral interna:

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x}$

Lo que hace:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}}$

Finalmente, el centro de masa es

${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}$

Referencias

1. Atkins, Tony; Escudier, Marcel (2013), "Lámina plana", Diccionario de ingeniería mecánica (1.ª ed.) , Oxford University Press , doi :10.1093/acref/9780199587438.001.0001, ISBN 9780199587438, consultado el 8 de junio de 2021
2. "Láminas planas", WolframAlpha , consultado el 9 de marzo de 2021
3. "Lámina". MathWorld . Consultado el 9 de marzo de 2021 .