En matemáticas , una superficie abeliana es una variedad abeliana bidimensional .
Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y son todos algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos a través de las relaciones bilineales de Riemann . Esencialmente, estas son condiciones en el espacio de parámetros de matrices de períodos para toros complejos que definen una subvariedad algebraica. Esta subvariedad contiene todos los puntos cuyas matrices de períodos corresponden a una matriz de períodos de una variedad abeliana.
Las algebraicas se denominan superficies abelianas y son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de toros o variedades abelianas de dimensiones superiores. Encontrar criterios para que un toro complejo de dimensión 2 sea un producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fue un tema de estudio popular en el siglo XIX.
Invariantes: Los plurigenerados son todos 1. La superficie es difeomorfa a S 1 × S 1 × S 1 × S 1 por lo que el grupo fundamental es Z 4 .
Ejemplos: Producto de dos curvas elípticas. Variedad jacobiana de una curva de género 2.