Superfórmula

Ecuación en coordenadas polares

La superfórmula es una generalización de la superelipse y fue propuesta por Johan Gielis en 2003. ^[1] Gielis sugirió que la fórmula puede utilizarse para describir muchas formas y curvas complejas que se encuentran en la naturaleza. Gielis presentó una solicitud de patente relacionada con la síntesis de patrones generados por la superfórmula, que expiró el 10 de mayo de 2020. ^[2]

En coordenadas polares , con el radio y el ángulo, la superfórmula es: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}.}$$Eligiendo diferentes valores para los parámetros se pueden generar diferentes formas. ${\displaystyle a,b,m,n_{1},n_{2},}$ ${\displaystyle n_{3},}$

La fórmula se obtuvo generalizando la superelipse, nombrada y popularizada por Piet Hein , matemático danés .

Gráficos 2D

En los siguientes ejemplos los valores que se muestran encima de cada figura deben ser m , n ₁ , n ₂ y n ₃ .

Un programa GNU Octave para generar estas figuras

función sf2d ( n, a ) u = [ 0 : .001 : 2 * pi ]; raux = abs ( 1 / a ( 1 ) .* abs ( cos ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) .* abs ( sin ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 4 ); r = abs ( raux ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); x = r .* porque ( u ); y = r .* pecado ( u ); trazar ( x , y ); fin                                                   

Extensión a dimensiones superiores

Es posible extender la fórmula a 3, 4 o n dimensiones, mediante el producto esférico de superfórmulas. Por ejemplo, la superficie paramétrica 3D se obtiene multiplicando dos superfórmulas r ₁ y r ₂ . Las coordenadas están definidas por las relaciones:

$${\displaystyle x=r_{1}(\theta )\cos \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$$ $${\displaystyle y=r_{1}(\theta )\sin \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$$ $${\displaystyle z=r_{2}(\phi )\sin \phi ,}$$

donde ( latitud ) varía entre − π /2 y π /2 y θ ( longitud ) entre − π y π . ${\displaystyle \phi }$

Gráficos 3D

Superfórmula 3D: a = b = 1; m , n ₁ , n ₂ y n ₃ se muestran en las imágenes.

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Un programa GNU Octave para generar estas figuras:

función sf3d ( n, a ) u = [ - pi : .05 : pi ]; v = [ -pi / 2 : .05 : pi / 2 ] ; nu = longitud ( u ); nv = longitud ( v ); para i = 1 : nu para j = 1 : nv raux1 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) .* u ( i ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * u ( i ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r1 = abs ( raux1 ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); raux2 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sen ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r2 = abs ( raux2 ) .^ ( - 1 / n                                                                                             ( 2 )); x ( i , j ) = r1 * cos ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); y ( i , j ) = r1 * sen ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); z ( i , j ) = r2 * sen ( v ( j )); finpara ; finpara ; malla ( x , y , z ); finfunción ;                               

Generalización

La superfórmula se puede generalizar permitiendo m parámetros distintos en los dos términos de la superfórmula. Reemplazando el primer parámetro por y y el segundo parámetro por z : ^[3] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {y\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {z\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}}$$

Esto permite la creación de estructuras rotacionalmente asimétricas y anidadas. En los siguientes ejemplos, a, b y son 1: ${\displaystyle {n_{2}}}$ ${\displaystyle {n_{3}}}$

Referencias

1. Gielis, Johan (2003), "Una transformación geométrica genérica que unifica una amplia gama de formas naturales y abstractas", American Journal of Botany , 90 (3): 333–338, doi :10.3732/ajb.90.3.333, ISSN  0002-9122, PMID  21659124
2. Patente EP 1177529, Gielis, Johan, "Método y aparato para sintetizar patrones", expedida el 2 de febrero de 2005 
3. * Stöhr, Uwe (2004), SuperformulaU (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 8 de diciembre de 2017

Enlaces externos

• Algunos experimentos sobre el ajuste de curvas de Gielis mediante recocido simulado y métodos de enjambre de partículas de optimización global
• Ajuste de curvas de Chacón-Gielis por mínimos cuadrados mediante el método de optimización de enjambre de partículas
• Trazador 2D y generador SVG de Superformula
• Ejemplo interactivo utilizando JSXGraph
• SuperShaper: un generador de SuperShape 3D interactivo, acelerado por OpenCL y de código abierto con visualización basada en sombreadores (OpenGL3)