En matemáticas , un álgebra superconmutativa (asociativa) es una superálgebra (es decir, un álgebra graduada Z 2 ) tal que para dos elementos homogéneos x , y tenemos [1]
donde | x | denota el grado del elemento y es 0 o 1 (en Z 2 ) según si el grado es par o impar, respectivamente.
Equivalentemente, es una superálgebra donde el superconmutador
siempre se desvanece. Las estructuras algebraicas que superconmutan en el sentido anterior a veces se denominan álgebras asociativas anticonmutativas para enfatizar la anticonmutación o, para enfatizar la gradación, conmutativas graduadas o, si se entiende la superconmutatividad, simplemente conmutativas .
Cualquier álgebra conmutativa es un álgebra superconmutativa si se le da la gradación trivial (es decir, todos los elementos son pares). Las álgebras de Grassmann (también conocidas como álgebras exteriores ) son los ejemplos más comunes de álgebras superconmutativas no triviales. El supercentro de cualquier superálgebra es el conjunto de elementos que superconmutan con todos los elementos, y es un álgebra superconmutativa.
La subálgebra par de un álgebra superconmutativa es siempre un álgebra conmutativa . Es decir, los elementos pares siempre conmutan. Los elementos impares, por otra parte, siempre anticonmutan. Es decir,
Para x e y impares . En particular, el cuadrado de cualquier elemento impar x se anula siempre que 2 sea invertible:
Por lo tanto, una superálgebra conmutativa (con dos componentes invertibles y de grado uno distinto de cero) siempre contiene elementos nilpotentes .
Un álgebra anticomutativa de grado Z con la propiedad de que x 2 = 0 para cada elemento x de grado impar (independientemente de si 2 es invertible) se denomina álgebra alternada . [2]
![{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0484e6a70a7eb05b7adebe88fbd8af1a7e0b08)
