Propiedad de una función
En matemáticas , una función es superaditiva si
para todos y en el dominio de
De manera similar, una secuencia se llama superaditiva si satisface la desigualdad
para todos y
El término "superaditivo" también se aplica a funciones desde el álgebra booleana hasta los números reales donde existen probabilidades más bajas .
Ejemplos de funciones superaditivas
- El mapa es una función superaditiva para números reales no negativos porque el cuadrado de siempre es mayor o igual al cuadrado de más el cuadrado de para números reales no negativos y :
- El determinante es superaditivo para matrices hermíticas no negativas , es decir, si son hermíticas no negativas entonces Esto se desprende del teorema del determinante de Minkowski, que establece de manera más general que es superaditivo (equivalentemente, cóncavo ) [1] para matrices hermíticas no negativas de tamaño : Si son hermíticas no negativas entonces
- Horst Alzer demostró [2] que la función gamma de Hadamard es superaditiva para todos los números reales con
- Información mutua
Propiedades
Si es una función superaditiva cuyo dominio contiene entonces Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior: Por lo tanto
El negativo de una función superaditiva es subaditiva .
Lema de Fekete
La razón principal para el uso de secuencias superaditivas es el siguiente lema de Michael Fekete . [3]
- Lema: (Fekete) Para cada secuencia superaditiva el límite es igual al supremo (El límite puede ser infinito positivo, como es el caso de la secuencia por ejemplo).
El análogo del lema de Fekete se aplica también a las funciones subaditivas . Existen extensiones del lema de Fekete que no requieren que la definición de superaditividad anterior se aplique a todas las funciones y
También existen resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si existe algún tipo de superaditividad y subaditividad. Una buena exposición de este tema se puede encontrar en Steele (1997). [4] [5]
Véase también
Referencias
- ^ M. Marcus, H. Minc (1992). Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades matriciales. Dover. Teorema 4.1.8, página 115.
- ^ Horst Alzer (2009). "Una propiedad superaditiva de la función gamma de Hadamard". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 79 . Saltador: 11-23. doi :10.1007/s12188-008-0009-5. S2CID 123691692.
- ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi :10.1007/BF01504345. S2CID 186223729.
- ^ Michael J. Steele (1997). Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . SIAM, Filadelfia. ISBN 0-89871-380-3.
- ^ Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de probabilidad y optimización combinatoria. Universidad de Cambridge.
Notas
- György Polya y Gábor Szegö. (1976). Problemas y teoremas en análisis, volumen 1. Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-05672-6.
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