Necesidad y suficiencia

En lógica y matemáticas , necesidad y suficiencia son términos utilizados para describir una relación condicional o implicacional entre dos declaraciones . Por ejemplo, en el enunciado condicional : "Si $P$ entonces $Q$ ", $Q$ es necesario para $P$ , porque la verdad de $Q$ está garantizada por la verdad de $P.$ (De manera equivalente, es imposible tener $P$ sin $Q$ , o la falsedad de $Q$ asegura la falsedad de $P$ ). ^[1] De manera similar, $P$ es suficiente para $Q$ , porque el hecho de que $P$ sea verdadero siempre implica que $Q$ es verdadero, pero que $P$ no lo sea. verdadero no siempre implica que $Q$ no sea verdadero. ^[2]

En general, una condición necesaria es aquella (posiblemente una de varias condiciones) que debe estar presente para que ocurra otra condición, mientras que una condición suficiente es aquella que produce dicha condición. ^[3] La afirmación de que un enunciado es condición "necesaria y suficiente" de otro significa que el primero es verdadero si y sólo si el segundo es verdadero. Es decir, las dos afirmaciones deben ser simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. ^[4]^[5]^[6]

En inglés corriente (también en lenguaje natural ), "necesario" y "suficiente" indican relaciones entre condiciones o estados de cosas, no declaraciones. Por ejemplo, ser varón es una condición necesaria para ser hermano, pero no es suficiente, mientras que ser hermano varón es una condición necesaria y suficiente para ser hermano. Cualquier declaración condicional consta de al menos una condición suficiente y al menos una condición necesaria.

En análisis de datos , necesidad y suficiencia pueden referirse a diferentes lógicas causales , ^[7] donde el análisis de condiciones necesarias y el análisis comparativo cualitativo pueden usarse como técnicas analíticas para examinar la necesidad y suficiencia de las condiciones para un resultado de interés particular.

Definiciones

En el enunciado condicional, "si S , entonces N ", la expresión representada por S se llama antecedente y la expresión representada por N se llama consecuente . Esta declaración condicional se puede escribir de varias formas equivalentes, como " N si S ", " S sólo si N ", " S implica N ", " N está implícito en S ", $S \to N$ , $S \Rightarrow N$ y " N siempre que S ". ^[8]

En la situación anterior de "N siempre que S", se dice que N es una condición necesaria para S. En lenguaje común, esto equivale a decir que si el enunciado condicional es verdadero, entonces el consecuente N debe ser verdadero, si S ha de ser verdadero (consulte la tercera columna de la " tabla de verdad " inmediatamente debajo). En otras palabras, el antecedente S no puede ser verdadero sin que N sea verdadero. Por ejemplo, para que alguien pueda llamarse Sócrates , es necesario que ese alguien lleve su nombre. De la misma manera, para que el ser humano pueda vivir es necesario que tenga aire. ^[9]

También se puede decir que S es una condición suficiente para N (consulte nuevamente la tercera columna de la tabla de verdad inmediatamente debajo). Si el enunciado condicional es verdadero, entonces si S es verdadero, N debe ser verdadero; mientras que si el enunciado condicional es verdadero y N es verdadero, entonces S puede ser verdadero o falso. En términos comunes, "la verdad de S garantiza la verdad de N ". ^[9] Por ejemplo, siguiendo con el ejemplo anterior, se puede decir que saber que alguien se llama Sócrates es suficiente para saber que alguien tiene un Nombre .

Una condición necesaria y suficiente requiere que se cumplan ambas implicaciones y (la última de las cuales también puede escribirse como ). La primera implicación sugiere que S es una condición suficiente para N , mientras que la segunda implicación sugiere que S es una condición necesaria para N. Esto se expresa como " S es necesario y suficiente para N ", " S si y sólo si N ", o . $S\flecha derecha N$ $N\Flecha derecha S$ $S\flecha izquierda N$ $S\flecha izquierda derecha N$

Necesidad

La afirmación de que Q es necesario para P es coloquialmente equivalente a " P no puede ser verdadero a menos que Q sea verdadero" o "si Q es falso, entonces P es falso". ^[9]^[1] Por contraposición , esto es lo mismo que "siempre que P es verdadero, Q también lo es ".

La relación lógica entre P y Q se expresa como "si P , entonces Q " y se denota " P ⇒ Q " ( P implica Q ). También puede expresarse como cualquiera de " P sólo si Q ", " Q , si P ", " Q siempre que P " y " Q cuando P ". A menudo se encuentran, en prosa matemática, por ejemplo, varias condiciones necesarias que, tomadas en conjunto, constituyen una condición suficiente (es decir, individualmente necesarias y conjuntamente suficientes ^[9] ), como se muestra en el Ejemplo 5.

Ejemplo 1

Para que sea cierto que "Juan es soltero", es necesario que también sea cierto que es

soltero,
masculino,
adulto,

ya que decir "Juan es soltero" implica que Juan tiene cada uno de esos tres predicados adicionales .

Ejemplo 2: Para los números enteros mayores que dos, es necesario ser impar para ser primo, ya que dos es el único número entero que es par y primo a la vez.

Ejemplo 3: Consideremos el trueno, el sonido causado por el relámpago. Se dice que el trueno es necesario para el relámpago, ya que el relámpago nunca ocurre sin trueno. Siempre que hay relámpagos, hay truenos. El trueno no causa el relámpago (ya que el relámpago causa el trueno), pero como el relámpago siempre viene con el trueno, decimos que el trueno es necesario para el relámpago. (Es decir, en su sentido formal, necesidad no implica causalidad).

Ejemplo 4: Es necesario tener al menos 30 años para servir en el Senado de los Estados Unidos. Si tienes menos de 30 años, entonces te es imposible ser senador. Es decir, si eres senador, se deduce que debes tener al menos 30 años.

Ejemplo 5: En álgebra , para que algún conjunto S junto con una operación forme un grupo , es necesario que sea asociativo . También es necesario que S incluya un elemento especial e tal que para cada x en S , se dé el caso de que e x y x e sean iguales a x . También es necesario que para cada x en S exista un elemento correspondiente x″ , tal que tanto x x″ como x″ x sean iguales al elemento especial e . Ninguna de estas tres condiciones necesarias por sí sola es suficiente, pero la conjunción de las tres sí lo es. ${\displaystyle\estrella}$ ${\displaystyle\estrella}$ ${\displaystyle\estrella}$ ${\displaystyle\estrella}$ ${\displaystyle\estrella}$ ${\displaystyle\estrella}$

Suficiencia

Si P es suficiente para Q , entonces saber que P es verdadero es motivo suficiente para concluir que Q es verdadero; sin embargo, saber que P es falso no satisface una necesidad mínima para concluir que Q es falso.

La relación lógica se expresa, como antes, como "si P , entonces Q " o " P ⇒ Q ". Esto también se puede expresar como " P sólo si Q ", " P implica Q " o varias otras variantes. Puede darse el caso de que varias condiciones suficientes, tomadas en conjunto, constituyan una única condición necesaria (es decir, individualmente suficientes y conjuntamente necesarias), como se ilustra en el ejemplo 5.

Ejemplo 1: "Juan es rey" implica que Juan es varón. Entonces, saber que Juan es rey es suficiente para saber que es un varón.

Ejemplo 2: Que un número sea divisible por 4 es suficiente (pero no necesario) para que sea par, pero que sea divisible por 2 es suficiente y necesario para que sea par.

Ejemplo 3: La aparición de un trueno es una condición suficiente para la aparición de un relámpago en el sentido de que oír un trueno y reconocerlo sin ambigüedades como tal justifica concluir que ha habido un rayo.

Ejemplo 4: Si el Congreso de los Estados Unidos aprueba un proyecto de ley, la firma del mismo por parte del presidente es suficiente para convertirlo en ley. Tenga en cuenta que el caso en el que el presidente no firmó el proyecto de ley, por ejemplo mediante el ejercicio de un veto presidencial , no significa que el proyecto de ley no se haya convertido en ley (por ejemplo, aún podría haberse convertido en ley mediante una anulación del Congreso ).

Ejemplo 5: Que el centro de un naipe esté marcado con una sola pica grande (♠) es suficiente para que la carta sea un as. Otras tres condiciones suficientes son que el centro de la carta esté marcado con un solo diamante (♦), corazón (♥) o trébol (♣). Ninguna de estas condiciones es necesaria para que la carta sea un as, pero su disyunción sí lo es, ya que ninguna carta puede ser un as sin cumplir al menos (de hecho, exactamente) una de estas condiciones.

Relación entre necesidad y suficiencia

Una condición puede ser necesaria o suficiente sin que lo sea la otra. Por ejemplo, ser mamífero ( N ) es necesario pero no suficiente para ser humano ( S ), y que un número sea racional ( S ) es suficiente pero no necesario para ser un número real ( N ) (ya que hay números reales que no son racionales). $x$ $x$

Una condición puede ser tanto necesaria como suficiente. Por ejemplo, en la actualidad, "hoy es el 4 de julio " es condición necesaria y suficiente para que "hoy es el Día de la Independencia en Estados Unidos ". De manera similar, una condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de una matriz M es que M tenga un determinante distinto de cero .

Matemáticamente hablando, la necesidad y la suficiencia son duales entre sí. Para cualquier enunciado S y N , la afirmación de que " N es necesario para S " es equivalente a la afirmación de que " S es suficiente para N ". Otra faceta de esta dualidad es que, como se ilustró anteriormente, las conjunciones (usando "y") de condiciones necesarias pueden lograr la suficiencia, mientras que las disyunciones (usando "o") de condiciones suficientes pueden lograr la necesidad. Para una tercera faceta, identifique cada predicado matemático N con el conjunto T ( N ) de objetos, eventos o afirmaciones para los cuales N es verdadero; entonces afirmar la necesidad de N para S equivale a afirmar que T ( N ) es un superconjunto de T ( S ), mientras que afirmar la suficiencia de S para N equivale a afirmar que T ( S ) es un subconjunto de T ( N ).

Psicológicamente hablando, la necesidad y la suficiencia son aspectos clave de la visión clásica de los conceptos. Según la teoría clásica de los conceptos, la forma en que las mentes humanas representan una categoría X da lugar a un conjunto de condiciones individualmente necesarias que definen X. Juntas, estas condiciones individualmente necesarias son suficientes para ser X. ^[10] Esto contrasta con la teoría probabilística de conceptos que establecen que ninguna característica definitoria es necesaria o suficiente, sino que las categorías se asemejan a la estructura de un árbol genealógico.

Necesidad y suficiencia simultáneas

Decir que P es necesario y suficiente para Q es decir dos cosas:

que P es necesario para Q , , y que P es suficiente para Q , . $P\flecha izquierda Q$ $P\flecha derecha Q$
de manera equivalente, puede entenderse que P y Q son necesarios el uno para el otro, lo que también puede afirmarse como que cada uno es suficiente o implica al otro. $P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P$

Uno puede resumir cualquiera de estos casos, y por tanto todos, mediante el enunciado " P si y sólo si Q ", que se denota por , mientras que los casos nos dicen que es idéntico a . $P\flecha izquierda derecha Q$ $P\flecha izquierda derecha Q$ $P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P$

Por ejemplo, en teoría de grafos un grafo G se llama bipartito si es posible asignar a cada uno de sus vértices el color blanco o negro de tal forma que cada arista de G tenga un extremo de cada color. Y para que cualquier gráfico sea bipartito, es condición necesaria y suficiente que no contenga ciclos de longitud impar . Por lo tanto, descubrir si un gráfico tiene ciclos impares indica si es bipartito y viceversa. Un filósofo ^[11] podría caracterizar este estado de cosas así: "Aunque los conceptos de bipartidad y ausencia de ciclos impares difieren en su intención , tienen idéntica extensión . ^[12]

En matemáticas, los teoremas a menudo se expresan en la forma " P es verdadero si y sólo si Q es verdadero".

Porque, como se explicó en la sección anterior, la necesidad de uno para el otro es equivalente a la suficiencia del otro para el primero, por ejemplo, es equivalente a , si P es necesario y suficiente para Q , entonces Q es necesario y suficiente para P. Podemos escribir y decir que los enunciados " P es verdadero si y solo si Q es verdadero" y " Q es verdadero si y solo si P es verdadero" son equivalentes. $P\flecha izquierda Q$ $Q\Flecha derecha P$ $P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P$

Ver también

Referencias

^ ab "[M06] Necesidad y suficiencia". filosofía.hku.hk . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
^ Bloch, Ethan D. (2011). Pruebas y fundamentos: un primer curso de matemáticas abstractas . Saltador. págs. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
^ Confusión de lo necesario (15 de mayo de 2019). "Confusión de condición necesaria con condición suficiente". www.txstate.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
^ Betz, Federico (2011). Gestión de la ciencia: metodología y organización de la investigación . Nueva York: Springer. pag. 247.ISBN 978-1-4419-7487-7.
^ Manktelow, KI (1999). Razonar y pensar . East Sussex, Reino Unido: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
^ Asnina, Erika; Osis, Janis y Jansone, Asnate (2013). "Especificación formal de relaciones topológicas". Bases de Datos y Sistemas de Información VII . 249 (Bases de datos y sistemas de información VII): 175. doi :10.3233/978-1-61499-161-8-175.
^ Richter, Nicole Franziska; Hauff, Sven (1 de agosto de 2022). "Condiciones necesarias en la investigación de negocios internacionales: avanzar en el campo con una nueva perspectiva sobre causalidad y análisis de datos" (PDF) . Revista de Negocios Mundiales . 57 (5): 101310. doi : 10.1016/j.jwb.2022.101310 . ISSN 1090-9516.
^ Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica / Introducción a las matemáticas abstractas (3.ª ed.), Chapman & Hall, págs. 22-23, ISBN 978-1-58488-449-1
^ abcd "El concepto de condiciones necesarias y condiciones suficientes". www.sfu.ca. Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
^ "Teoría clásica de los conceptos, la | Enciclopedia de Filosofía de Internet".
^ Manual de la Universidad de Stanford, 2006.
^ "Los significados, en este sentido, a menudo se denominan intensiones , y las cosas designadas, extensiones . Los contextos en los que la extensión es lo único que importa se denominan, naturalmente, extensionales , mientras que los contextos en los que la extensión no es suficiente son intensionales . Las matemáticas suelen ser extensionales en todas partes ". Manual de la Universidad de Stanford, 2006.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Necesidad y suficiencia .

Tutorial web pensamiento crítico: Condiciones necesarias y suficientes
Universidad Simon Fraser: conceptos con ejemplos