Secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre

Tema de matemáticas

En matemáticas , especialmente en los campos de la cohomología de grupos , el álgebra homológica y la teoría de números , la secuencia espectral de Lyndon o secuencia espectral de Hochschild-Serre es una secuencia espectral que relaciona la cohomología de grupo de un subgrupo normal N y el grupo cociente G / N con la cohomología del grupo total G. La secuencia espectral recibe su nombre en honor a Roger Lyndon , Gerhard Hochschild y Jean-Pierre Serre .

Declaración

Sea un grupo y un subgrupo normal . Esto último garantiza que el cociente también sea un grupo. Finalmente, sea un -módulo . Entonces, existe una sucesión espectral de tipo cohomológico . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\Longrightarrow H^{p+q}(G,A)}$

y hay una secuencia espectral de tipo homológico

${\displaystyle H_{p}(G/N,H_{q}(N,A))\Longrightarrow H_{p+q}(G,A)}$,

donde la flecha " " significa convergencia de secuencias espectrales . ${\displaystyle \Longrightarrow }$

La misma afirmación es válida si es un grupo profinito , es un subgrupo normal cerrado y denota la cohomología continua. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Ejemplos

Homología del grupo de Heisenberg

La secuencia espectral se puede utilizar para calcular la homología del grupo de Heisenberg G con entradas integrales, es decir, matrices de la forma

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right),\ a,b,c\in \mathbb {Z} .}$

Este grupo es una extensión central

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to G\to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to 0}$

con centro correspondiente al subgrupo con . La secuencia espectral para la homología de grupo, junto con el análisis de un diferencial en esta secuencia espectral, muestra que ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a=b=0}$

${\displaystyle H_{i}(G,\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right.}$

Cohomología de productos de corona

Para un grupo G , el producto corona es una extensión

${\displaystyle 1\to G^{p}\to G\wr \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p\to 1.}$

La secuencia espectral resultante de cohomología de grupos con coeficientes en un campo k ,

${\displaystyle H^{r}(\mathbb {Z} /p,H^{s}(G^{p},k))\Rightarrow H^{r+s}(G\wr \mathbb {Z} /p,k),}$

Se sabe que se degenera en la página -. ^[2] ${\displaystyle E_{2}}$

Propiedades

La secuencia exacta de cinco términos asociada es la secuencia exacta de restricción de inflación habitual :

${\displaystyle 0\to H^{1}(G/N,A^{N})\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(N,A)^{G/N}\to H^{2}(G/N,A^{N})\to H^{2}(G,A).}$

Generalizaciones

La secuencia espectral es una instancia de la secuencia espectral de Grothendieck más general de la composición de dos funtores derivados. De hecho, es el funtor derivado de (es decir, tomando G -invariantes) y la composición de los funtores y es exactamente . ${\displaystyle H^{*}(G,-)}$ ${\displaystyle (-)^{G}}$ ${\displaystyle (-)^{N}}$ ${\displaystyle (-)^{G/N}}$ ${\displaystyle (-)^{G}}$

Existe una secuencia espectral similar para la homología de grupo, a diferencia de la cohomología de grupo. ^[3]

Referencias

1. Knudson, Kevin (2001). Homología de grupos lineales . Progress in Mathematics. Vol. 193. Basilea: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-0348-8338-2. ISBN . 3-7643-6415-7.Señor 1807154  . Ejemplo A.2.4
2. Nakaoka, Minoru (1960), "Teorema de descomposición para grupos de homología de grupos simétricos", Anales de matemáticas , Segunda serie, 71 (1): 16–42, doi :10.2307/1969878, JSTOR  1969878, para un breve resumen consulte la sección 2 de Carlson, Jon F.; Henn, Hans-Werner (1995), "Profundidad y cohomología de los productos de coronas", Manuscripta Mathematica , 87 (2): 145–151, CiteSeerX 10.1.1.540.1310 , doi :10.1007/BF02570466, S2CID  27212941 
3. McCleary, John (2001), Guía del usuario de secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, Sr.  1793722, Teorema 8 ^bis .12

• Lyndon, Roger C. (1948), "La teoría de la cohomología de las extensiones de grupo", Duke Mathematical Journal , 15 (1): 271–292, doi :10.1215/S0012-7094-48-01528-2, ISSN  0012-7094(de pago)
• Hochschild, Gerhard ; Serre, Jean-Pierre (1953), "Cohomología de extensiones de grupo", Transactions of the American Mathematical Society , 74 (1): 110–134, doi : 10.2307/1990851 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990851, MR  0052438
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001