Subproblemas de Paden-Kahan

Conjunto de problemas geométricos resueltos.

Los subproblemas de Paden-Kahan son un conjunto de problemas geométricos resueltos que ocurren con frecuencia en la cinemática inversa de manipuladores robóticos comunes. ^[1] Aunque el conjunto de problemas no es exhaustivo, puede usarse para simplificar el análisis cinemático inverso para muchos robots industriales. ^[2] Más allá de los tres subproblemas clásicos, se han propuesto varios otros. ^{[3] [4]}

Estrategias de simplificación

Para una ecuación de estructura definida por el método del producto de exponenciales , se pueden utilizar subproblemas de Paden-Kahan para simplificar y resolver el problema de cinemática inversa. En particular, las exponenciales de las matrices no son conmutativas .

Generalmente, los subproblemas se aplican para resolver puntos particulares en el problema de cinemática inversa (por ejemplo, la intersección de ejes articulares) con el fin de resolver ángulos articulares.

Eliminación de juntas de revolución

La simplificación se logra mediante el principio de que una rotación no tiene ningún efecto sobre un punto que se encuentra sobre su eje. Por ejemplo, si el punto está en el eje de un giro de revolución , su posición no se ve afectada por el accionamiento del giro. Esto es: ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi }$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }p=p}$$

Por lo tanto, para una ecuación de estructura donde y son todos giros de paso cero, aplicar ambos lados de la ecuación a un punto que está en el eje de (pero no en los ejes de o ) produce. Por la cancelación de , esto produce que, si y se cruzan, puede resolverse mediante el subproblema 2. $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}=g}$$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle \xi _{3}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi _{3}}$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p=gp}$$ ${\textstyle \xi _{3}}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p=gp}$$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$

Norma

En algunos casos, el problema también se puede simplificar restando un punto de ambos lados de la ecuación y tomando la norma del resultado.

Por ejemplo, para resolver , donde y se cruzan en el punto , ambos lados de la ecuación se pueden aplicar a un punto que no esté en el eje de . Restar y tomar la norma de ambos lados da como resultado. Esto se puede resolver usando el Subproblema 3. $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}=g}$$ ${\textstyle \xi _{3}}$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi _{3}}$ ${\textstyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{i}=\|gp-q\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}(e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q)\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q\|\end{aligned}}}$$

Lista de subproblemas

Cada subproblema se presenta como un algoritmo basado en una prueba geométrica. El código para resolver un subproblema determinado, que debe escribirse para dar cuenta de casos con múltiples soluciones o sin solución, puede integrarse en algoritmos de cinemática inversa para una amplia gama de robots.

Subproblema 1: Rotación alrededor de un solo eje

Una ilustración del primer subproblema de Paden-Kahan.

Sea un giro de paso cero con magnitud unitaria y dos puntos. encontrar tal que ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \theta }$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }p=q.}$$

En este subproblema, se gira un punto alrededor de un eje determinado de modo que coincida con un segundo punto . ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle q}$

Una ilustración del círculo proyectado en el primer subproblema de Paden-Kahan.

Solución

Sea un punto sobre el eje de . Defina los vectores y . Dado que está en el eje de , por lo tanto, ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle u=(p-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }r=r.}$ ${\textstyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v.}$

A continuación, los vectores y se definen como las proyecciones de y sobre el plano perpendicular al eje de . Para un vector en la dirección del eje de , y en el caso de que , y ambos puntos se encuentren sobre el eje de rotación. Por lo tanto, el subproblema produce un número infinito de soluciones posibles en ese caso. ${\textstyle u'}$ ${\textstyle v'}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \xi }$ $${\displaystyle u'=u-\omega \omega ^{T}u}$$ $${\displaystyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$$ ${\textstyle u'=0}$ ${\textstyle p=q}$

Para que el problema tenga solución es necesario que las proyecciones de y sobre el eje y sobre el plano perpendicular tengan longitudes iguales. Es necesario comprobar, a saber, que: y que ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle \omega }$ ${\textstyle \omega }$ $${\displaystyle \omega ^{T}u=\omega ^{T}v}$$ $${\displaystyle \|u'\|=\|v'\|}$$

Si se satisfacen estas ecuaciones, el valor del ángulo de la articulación se puede encontrar usando la función atan2 : Siempre que , este subproblema debería producir una solución para . ${\textstyle \theta }$ $${\displaystyle \theta =\mathrm {atan2} (\omega ^{T}(u'\times v'),u'^{T}v').}$$ ${\textstyle u'\neq 0}$ ${\textstyle \theta }$

Subproblema 2: Rotación alrededor de dos ejes consecutivos

Ilustración del subproblema 2 de Paden-Kahan. El subproblema produce dos soluciones en el caso de que los círculos se crucen en dos puntos; una solución si los círculos son tangenciales; y no hay solución si los círculos no se cruzan.

Sean y dos giros de paso cero con magnitud unitaria y ejes que se cruzan. Sean dos puntos. encontrar y tal que ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \theta _{1}}$ ${\textstyle \theta _{2}}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p=q.}$$

Este problema corresponde a rotar alrededor del eje de by , luego rotarlo alrededor del eje de by , de modo que la ubicación final de coincida con . (Si los ejes de y coinciden, entonces este problema se reduce al Subproblema 1, admitiendo todas las soluciones tales que .) ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle \theta _{2}}$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \theta _{1}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta }$

Solución

Siempre que los dos ejes no sean paralelos (es decir, ), sea un punto tal que. En otras palabras, represente el punto al que se gira alrededor de un eje antes de que se gire alrededor del otro eje para que coincida con . Cada rotación individual es equivalente al Subproblema 1, pero es necesario identificar una o más soluciones válidas para resolver las rotaciones. ${\textstyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ ${\textstyle c}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p=c=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}q.}$$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle c}$

Sea el punto de intersección de los dos ejes: ${\textstyle r}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}(p-r)=c-r=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}(q-r).}$$

Una ilustración del subproblema 2 de Paden-Kahan, que muestra el caso tangencial en el que el subproblema produce solo una solución.

Defina los vectores , y . Por lo tanto, ${\textstyle u=(p-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ ${\textstyle z=(c-r)}$ $${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}u=z=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}v.}$$

Esto implica que , y . Como , y son linealmente independientes, se puede escribir como ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\textstyle \omega _{2}}$ ${\textstyle \omega _{1}\times \omega _{2}}$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle z=\alpha \omega _{1}+\beta \omega _{2}+\gamma (\omega _{1}\times \omega _{2}).}$$

Los valores de los coeficientes se pueden resolver así:

Una ilustración del subproblema 2 de Paden-Kahan, que muestra un caso con dos círculos que se cruzan y, por lo tanto, dos soluciones. Ambas soluciones (c, c2) están resaltadas.

$${\displaystyle \alpha ={\frac {(\omega _{1}^{T}\omega _{2})\omega _{2}^{T}u-\omega _{1}^{T}v}{(\omega _{1}^{T}\omega _{2})^{2}-1}}}$$ $${\displaystyle \beta ={\frac {(\omega _{1}^{T}\omega _{2})\omega _{1}^{T}v-\omega _{2}^{T}u}{(\omega _{1}^{T}\omega _{2})^{2}-1}}}$$, y El subproblema produce dos soluciones en el caso de que los círculos se crucen en dos puntos; una solución si los círculos son tangenciales; y no hay solución si los círculos no se cruzan. $${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {\|u\|^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-2\alpha \beta \omega _{1}^{T}\omega _{2}}{\|\omega _{1}\times \omega _{2}\|^{2}.}}}$$

Subproblema 3: Rotación a una distancia determinada

Sea un giro de paso cero con magnitud unitaria; sean dos puntos; y sea un número real mayor que 0. Encuentre tal que ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \theta }$ $${\displaystyle \|q-e^{{\widehat {\xi }}\theta }p\|=\delta .}$$

En este problema, un punto se gira alrededor de un eje hasta que el punto está a una distancia de un punto . Para que exista una solución, el círculo definido al girar debe cruzar una esfera de radio centrada en . ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle q}$

Solución

Sea un punto sobre el eje de . Los vectores y se definen de modo que ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle u=(p-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ $${\displaystyle \|v-e^{{\widehat {\xi }}\theta }u\|^{2}=\delta ^{2}.}$$

Las proyecciones de y son y La “proyección” del segmento de línea definido por se encuentra restando el componente de en la dirección: El ángulo entre los vectores y se encuentra usando la función atan2 : El ángulo de la articulación se encuentra mediante la fórmula Este subproblema puede producir cero, una o dos soluciones, dependiendo del número de puntos en los que el círculo de radio intersecta el círculo de radio . ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle u'=u-\omega \omega ^{T}u}$ ${\textstyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle p-q}$ ${\textstyle \omega }$ $${\displaystyle \delta '^{2}=\delta ^{2}-|\omega ^{T}(p-q)|^{2}.}$$ ${\textstyle \theta _{0}}$ ${\textstyle u'}$ ${\textstyle v'}$ $${\displaystyle \theta _{0}=atan2(\omega ^{T}(u'\times v'),u'^{T}v').}$$ ${\textstyle \theta }$ $${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm \cos ^{-1}\left({\frac {\|u'\|^{2}+\|v'\|^{2}-\delta '^{2}}{2\|u'\|\|v'\|}}\right).}$$ ${\textstyle \|u'\|}$ ${\textstyle \delta '}$

Subproblema 4: Rotación alrededor de dos ejes a una distancia determinada

Sean y dos giros de paso cero con magnitud unitaria y ejes que se cruzan. Sean puntos. Encuentra y tal que ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \theta _{1}}$ ${\textstyle \theta _{2}}$ $${\displaystyle \|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p-q_{1}\|=\delta _{1}}$$ y $${\displaystyle \|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p-q_{2}\|=\delta _{2}.}$$

Este problema es análogo al subproblema 2, excepto que el punto final está limitado por distancias a dos puntos conocidos.

Subproblema 5: Traslación a una distancia determinada

Sea un giro de magnitud unitaria de paso infinito; dos puntos; y un número real mayor que 0. Encuentre tal que ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \theta }$ $${\displaystyle \|q-e^{{\widehat {\xi }}\theta }p\|=\delta .}$$

Referencias

1. Paden, Bradley Evan (1985). "Cinemática y Control de Robots Manipuladores". Doctor. Tesis . Código bibliográfico : 1985PhDT.......94P.
2. Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Una introducción matemática a la manipulación robótica (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Ratón, Florida: CRC Press. ISBN 9780849379819.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Pardos-Gotor, José (2021). Teoría de los tornillos en robótica: una introducción ilustrada y practicable a la mecánica moderna. doi :10.1201/9781003216858. ISBN 9781003216858. S2CID  239896825.
4. Elías, Alejandro J.; Wen, John T. (10 de noviembre de 2022). "Subproblemas canónicos de la cinemática inversa de robots". arXiv : 2211.05737 [cs.RO].