En matemáticas , el término subgrupo máximo se utiliza para significar cosas ligeramente diferentes en distintas áreas del álgebra .
En teoría de grupos , un subgrupo máximo H de un grupo G es un subgrupo propio , tal que ningún subgrupo propio K contiene estrictamente a H. En otras palabras, H es un elemento máximo del conjunto parcialmente ordenado de subgrupos de G que no son iguales a G. Los subgrupos máximos son de interés debido a su conexión directa con las representaciones de permutación primitivas de G. También se estudian mucho para los fines de la teoría de grupos finitos : véase, por ejemplo, el subgrupo de Frattini , la intersección de los subgrupos máximos.
En la teoría de semigrupos , un subgrupo maximal de un semigrupo S es un subgrupo (es decir, un subsemigrupo que forma un grupo bajo la operación de semigrupo) de S que no está propiamente contenido en otro subgrupo de S. Nótese que, aquí, no hay ningún requisito de que un subgrupo maximal sea propio, por lo que si S es de hecho un grupo, entonces su único subgrupo maximal (como semigrupo) es S mismo. Considerar subgrupos, y en particular subgrupos maximalistas, de semigrupos a menudo permite aplicar técnicas de teoría de grupos en la teoría de semigrupos. [ cita requerida ] Existe una correspondencia biunívoca entre elementos idempotentes de un semigrupo y subgrupos maximalistas del semigrupo: cada elemento idempotente es el elemento identidad de un único subgrupo maximal.
Cualquier subgrupo propio de un grupo finito está contenido en algún subgrupo maximalista, ya que los subgrupos propios forman un conjunto finito parcialmente ordenado bajo inclusión. Sin embargo, existen grupos abelianos infinitos que no contienen subgrupos maximalistas, por ejemplo, el grupo de Prüfer .
De manera similar, se dice que un subgrupo normal N de G es un subgrupo normal máximo (o subgrupo normal propio máximo) de G si N < G y no existe ningún subgrupo normal K de G tal que N < K < G . Tenemos el siguiente teorema:
Estos diagramas de Hasse muestran las redes de subgrupos del grupo simétrico S 4 , el grupo diedro D 4 , y C 2 3 , la tercera potencia directa del grupo cíclico C 2 .
Los subgrupos maximales están vinculados al grupo mismo (en la parte superior del diagrama de Hasse) por una arista del diagrama de Hasse.