Subgrupo joven

En matemáticas , los subgrupos de Young del grupo simétrico son subgrupos especiales que surgen en combinatoria y teoría de la representación . Cuando se considera como el grupo de permutaciones del conjunto , y si es una partición entera de , entonces el subgrupo de Young indexado por se define por donde denota el conjunto de permutaciones de y denota el producto directo de los grupos . De manera abstracta, es isomorfo al producto . Los subgrupos de Young se nombran en honor a Alfred Young . ^[1] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell })}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle S_{\lambda }=S_{\{1,2,\ldots ,\lambda _{1}\}}\times S_{\{\lambda _{1}+1,\lambda _{1}+2,\ldots ,\lambda _{1}+\lambda _{2}\}}\times \cdots \times S_{\{n-\lambda _{\ell }+1,n-\lambda _{\ell }+2,\ldots ,n\}},}$$ ${\displaystyle S_{\{a,b,\ldots \}}}$ ${\displaystyle \{a,b,\ldots \}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle S_{\lambda _{1}}\times S_{\lambda _{2}}\times \cdots \times S_{\lambda _{\ell }}}$

Cuando se considera un grupo de reflexión , sus subgrupos de Young son precisamente sus subgrupos parabólicos . Pueden definirse de manera equivalente como los subgrupos generados por un subconjunto de las transposiciones adyacentes . ^[2] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle (1\ 2),(2\ 3),\ldots ,(n-1\ n)}$

En algunos casos, el nombre subgrupo de Young se utiliza de forma más general para el producto , donde es cualquier partición de conjunto de (es decir, una colección de subconjuntos disjuntos , no vacíos cuya unión es ). ^[3] Esta familia más general de subgrupos consta de todos los conjugados de aquellos bajo la definición anterior. ^[4] Estos subgrupos también pueden caracterizarse como los subgrupos de que son generados por un conjunto de transposiciones . ^[5] ${\displaystyle S_{B_{1}}\times \cdots \times S_{B_{\ell }}}$ ${\displaystyle \{B_{1},\ldots ,B_{\ell }\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Referencias

1. Sagan, Bruce (2001), El grupo simétrico (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 54
2. Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos de Coxeter , Springer, p. 41, doi :10.1007/3-540-27596-7, ISBN 978-3540-442387
3. Kerber, A. (1971), Representaciones de grupos de permutación, vol. I, Springer-Verlag, pág. 17
4. Jones, Andrew R. (1996), "Un enfoque combinatorio de los cosets dobles del grupo simétrico con respecto a los subgrupos de Young", European Journal of Combinatorics , 17 (7): 647–655, doi :10.1006/eujc.1996.0056
5. Douvropoulos, Theo; Lewis, Joel Brewster; Morales, Alejandro H. (2022), "Números de Hurwitz para grupos de reflexión I: Generatingfunctionology", Combinatoria enumerativa y aplicaciones , 2 (3): Artículo n.° S2R20, arXiv : 2112.03427 , doi : 10.54550/ECA2022V2S3R20

Lectura adicional

• Borevich, ZI ; Gavron, PV (1985), "Disposición de subgrupos de Young en el grupo simétrico", Journal of Soviet Mathematics , 30 : 1816–1823, doi :10.1007/BF02105094
• "Subgrupo Young", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]