Prueba de Garfield del teorema de Pitágoras

Prueba matemática de 1876 por el presidente de los Estados Unidos.

Garfield en 1881

La demostración de Garfield del teorema de Pitágoras es una demostración original del teorema de Pitágoras inventado por James A. Garfield (19 de noviembre de 1831 - 19 de septiembre de 1881), el vigésimo presidente de los Estados Unidos . La demostración apareció impresa en el New-England Journal of Education (Vol. 3, No.14, 1 de abril de 1876). ^{[1] [2]} En el momento de la publicación de la demostración, Garfield no era el presidente, solo era el congresista de Ohio. Asumió el cargo de presidente el 4 de marzo de 1881 y sirvió en ese puesto solo por un breve período hasta el 19 de septiembre de 1881. ^[3] Garfield fue el único presidente de los Estados Unidos que contribuyó con algo original a las matemáticas. La demostración no es trivial y, según el historiador de las matemáticas, William Dunham , "la de Garfield es realmente una demostración muy inteligente". ^[4] La prueba aparece como la prueba número 231 en La proposición pitagórica , un compendio de 370 pruebas diferentes del teorema de Pitágoras. ^[5]

La prueba

Diagrama para explicar la prueba de Garfield del teorema de Pitágoras

En la figura, se muestra un triángulo rectángulo con un ángulo recto en . Las longitudes de los lados del triángulo son . El teorema de Pitágoras afirma que . ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Para demostrar el teorema, Garfield trazó una línea que pasara por la perpendicular a y en esta línea eligió un punto tal que . Luego, desde trazó una perpendicular sobre la línea prolongada . De la figura, se puede ver fácilmente que los triángulos y son congruentes. Como y son ambos perpendiculares a , son paralelos y, por lo tanto, el cuadrilátero es un trapezoide. El teorema se demuestra calculando el área de este trapezoide de dos maneras diferentes. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle BD=BA}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle CB}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle BDE}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle CE}$ ${\displaystyle ACED}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{area of trapezoid }}ACED&={\text{height}}\times {\text{average of parallel sides}}\\&=CE\times {\tfrac {1}{2}}(AC+DE)=(a+b)\times {\tfrac {1}{2}}(a+b)\end{aligned}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{area of trapezoid }}ACED&={\text{area of }}\Delta ACB+{\text{area of }}\Delta ABD+{\text{area of }}\Delta BDE\\&={\tfrac {1}{2}}(a\times b)+{\tfrac {1}{2}}(c\times c)+{\tfrac {1}{2}}(a\times b)\end{aligned}}}$

De estos se obtiene

${\displaystyle (a+b)\times {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\tfrac {1}{2}}(a\times b)+{\tfrac {1}{2}}(c\times c)+{\tfrac {1}{2}}(a\times b)}$

Lo cual por simplificación da como resultado

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Referencias

1. G., JA (1876). "PONS ASINORUM". Revista de Educación de Nueva Inglaterra . 3 (14): 161. ISSN  2578-4145. JSTOR  44764657.
2. Sid J. Kolpas. "Tesoro matemático: la prueba del teorema de Pitágoras de James A. Garfield". maa.org . Asociación Matemática de Estados Unidos . Consultado el 29 de noviembre de 2023 .(El artículo apareció en la revista en línea revisada por pares Convergence, publicada por la Asociación Matemática de Estados Unidos).
3. Alonso Del Arte (febrero de 2019). «Un futuro presidente publicó una vez una prueba matemática». medium.com . Consultado el 29 de noviembre de 2023 .
4. William Dunham (1994). El universo matemático: un viaje alfabético a través de las grandes pruebas, problemas y personalidades . Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 99. ISBN 0-471-53656-3.
5. Elisha Scan Loomis (1940). La proposición de Pitágoras (2.ª ed.). Washington DC: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. pág. 109. ISBN 978-0-87353-036-1. Recuperado el 28 de noviembre de 2023 .(Una colección de 370 pruebas diferentes del teorema de Pitágoras).