Método de rigidez directa

Técnica de análisis estructural; implementación del método de elementos finitos

En ingeniería estructural , el método de rigidez directa , también conocido como método de rigidez matricial , es una técnica de análisis estructural particularmente adecuada para el análisis automatizado por computadora de estructuras complejas, incluido el tipo estáticamente indeterminado . Es un método matricial que utiliza las relaciones de rigidez de los miembros para calcular las fuerzas y desplazamientos de los miembros en las estructuras. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de elementos finitos (FEM). Al aplicar el método, el sistema debe modelarse como un conjunto de elementos idealizados más simples interconectados en los nodos. Las propiedades de rigidez del material de estos elementos se compilan luego, a través del álgebra lineal , en una única ecuación matricial que rige el comportamiento de toda la estructura idealizada. Los desplazamientos y fuerzas desconocidos de la estructura se pueden determinar resolviendo esta ecuación. El método de rigidez directa constituye la base de la mayoría del software de elementos finitos comercial y de código gratuito.

El método de rigidez directa se originó en el campo aeroespacial . Los investigadores analizaron varios enfoques para el análisis de estructuras de aviones complejas. Estos incluían la teoría de la elasticidad , los principios de energía en mecánica estructural , el método de flexibilidad y el método de rigidez matricial . Fue a través del análisis de estos métodos que el método de rigidez directa surgió como un método eficiente ideal para la implementación en computadora.

Historia

Entre 1934 y 1938, AR Collar y WJ Duncan publicaron los primeros artículos con la representación y la terminología de los sistemas matriciales que se utilizan en la actualidad. La investigación aeroelástica continuó durante la Segunda Guerra Mundial , pero las restricciones de publicación entre 1938 y 1947 hacen que sea difícil rastrear este trabajo. El segundo gran avance en el análisis estructural matricial se produjo entre 1954 y 1955, cuando el profesor John H. Argyris sistematizó el concepto de ensamblar los componentes elementales de una estructura en un sistema de ecuaciones. Finalmente, el 6 de noviembre de 1959, MJ Turner, director de la Unidad de Dinámica Estructural de Boeing , publicó un artículo en el que describía el método de rigidez directa como un modelo eficiente para la implementación informática (Felippa 2001).

Relaciones de rigidez de los miembros

Una relación de rigidez de miembro típica tiene la siguiente forma general:

dónde

m = número de miembro m .

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= vector de fuerzas características del elemento, que son fuerzas internas desconocidas.

${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$= matriz de rigidez del elemento que caracteriza la resistencia del elemento frente a las deformaciones.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= vector de desplazamientos o deformaciones característicos de los elementos.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$= vector de fuerzas características del miembro causadas por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicadas al miembro mientras . ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}$

Si son deformaciones de los miembros en lugar de desplazamientos absolutos, entonces son fuerzas independientes de los miembros y, en tal caso, (1) se puede invertir para obtener la denominada matriz de flexibilidad de los miembros , que se utiliza en el método de flexibilidad . ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

Relación de rigidez del sistema

Para un sistema con muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de rigidez de los miembros como la ecuación (1) se pueden integrar haciendo uso de las siguientes observaciones:

• Las deformaciones de los elementos se pueden expresar en términos de desplazamientos nodales del sistema r para asegurar la compatibilidad entre elementos. Esto implica que r será la incógnita principal. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$
• Las fuerzas de los miembros ayudan a mantener los nodos en equilibrio bajo las fuerzas nodales R. Esto implica que el lado derecho de (1) se integrará en el lado derecho de las siguientes ecuaciones de equilibrio nodal para todo el sistema: ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} }$= vector de fuerzas nodales, que representa fuerzas externas aplicadas a los nodos del sistema.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= matriz de rigidez del sistema, que se establece ensamblando las matrices de rigidez de los elementos . ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= vector de desplazamientos nodales del sistema que puede definir todas las posibles configuraciones deformadas del sistema sujeto a fuerzas nodales arbitrarias R .

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= vector de fuerzas nodales equivalentes, que representa todos los efectos externos distintos de las fuerzas nodales que ya están incluidas en el vector de fuerza nodal precedente R . Este vector se establece ensamblando los elementos' . ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Solución

La matriz de rigidez del sistema K es cuadrada, ya que los vectores R y r tienen el mismo tamaño. Además, es simétrica, ya que es simétrica. Una vez que se tienen en cuenta las restricciones de los apoyos en (2), los desplazamientos nodales se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (2), simbólicamente: ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

Posteriormente, las fuerzas características de los miembros se pueden encontrar a partir de la ecuación (1), donde r se puede encontrar a partir de la consideración de compatibilidad. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$

El método de rigidez directa

Es común tener la ecuación (1) en una forma donde y son, respectivamente, los desplazamientos y las fuerzas de los extremos de los miembros que coinciden en dirección con r y R . En tal caso, y se pueden obtener mediante la suma directa de las matrices de los miembros y . El método se conoce entonces como el método de rigidez directa. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

En el artículo sobre el método de flexibilidad se comparan y analizan las ventajas y desventajas del método de rigidez matricial .

Ejemplo

Descomponer

El primer paso al utilizar el método de rigidez directa es identificar los elementos individuales que componen la estructura.

Una vez identificados los elementos, la estructura se desconecta en los nodos, los puntos que conectan los diferentes elementos entre sí.

Luego se analiza cada elemento individualmente para desarrollar ecuaciones de rigidez de los elementos. Las fuerzas y los desplazamientos se relacionan a través de la matriz de rigidez del elemento, que depende de la geometría y las propiedades del elemento.

Un elemento de celosía solo puede transmitir fuerzas de compresión o de tensión. Esto significa que, en dos dimensiones, cada nodo tiene dos grados de libertad (GDL): desplazamiento horizontal y desplazamiento vertical. La ecuación resultante contiene una matriz de rigidez de cuatro por cuatro.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

Un elemento de bastidor puede soportar momentos de flexión además de compresión y tensión. Esto da como resultado tres grados de libertad: desplazamiento horizontal, desplazamiento vertical y rotación en el plano. La matriz de rigidez en este caso es de seis por seis.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

También se pueden incorporar otros elementos como placas y láminas al método de rigidez directa y se deben desarrollar ecuaciones similares.

Asamblea

Una vez que se han desarrollado las relaciones de rigidez de los elementos individuales, se deben ensamblar en la estructura original. El primer paso en este proceso es convertir las relaciones de rigidez de los elementos individuales en un sistema global para toda la estructura. En el caso de un elemento de celosía, la forma global del método de rigidez depende del ángulo del elemento con respecto al sistema de coordenadas global (este sistema suele ser el sistema de coordenadas cartesiano tradicional ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$(para un elemento de celosía en ángulo β) De manera equivalente, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

donde y son los cosenos de dirección del elemento de armadura (es decir, son componentes de un vector unitario alineado con el miembro). Esta forma revela cómo generalizar la rigidez del elemento a armaduras espaciales tridimensionales simplemente extendiendo el patrón que es evidente en esta formulación. ${\displaystyle c_{x}}$ ${\displaystyle c_{y}}$

Después de desarrollar la matriz de rigidez de los elementos en el sistema de coordenadas global, se deben fusionar en una única matriz de rigidez “maestra” o “global”. Al fusionar estas matrices, se deben seguir dos reglas: compatibilidad de desplazamientos y equilibrio de fuerzas en cada nodo. Estas reglas se cumplen relacionando los desplazamientos nodales de los elementos con los desplazamientos nodales globales.

Los vectores de desplazamiento y fuerza globales contienen una entrada para cada grado de libertad de la estructura. Las matrices de rigidez de los elementos se fusionan aumentando o expandiendo cada matriz en conformidad con los vectores de desplazamiento y carga globales.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$(para el elemento (1) de la estructura anterior)

Finalmente, la matriz de rigidez global se construye sumando las matrices de elementos expandidos individuales.

Solución

Una vez construida la matriz de rigidez global, el vector de desplazamiento y el vector de fuerza, el sistema puede expresarse como una única ecuación matricial.

Para cada grado de libertad de la estructura, se conoce el desplazamiento o la fuerza.

Después de introducir el valor conocido para cada grado de libertad, la ecuación maestra de rigidez está completa y lista para ser evaluada. Hay varios métodos diferentes disponibles para evaluar una ecuación matricial, incluidos, entre otros, la descomposición de Cholesky y la evaluación de sistemas de ecuaciones mediante fuerza bruta. Si una estructura no está correctamente sujeta, la aplicación de una fuerza hará que se mueva de manera rígida y se deben agregar condiciones de soporte adicionales.

El método descrito en esta sección pretende ser una descripción general del método de rigidez directa. Se deben consultar fuentes adicionales para obtener más detalles sobre el proceso, así como sobre las suposiciones acerca de las propiedades de los materiales inherentes al proceso.

Aplicaciones

El método de rigidez directa se desarrolló específicamente para implementarse de manera eficaz y sencilla en software informático para evaluar estructuras complicadas que contienen una gran cantidad de elementos. Hoy en día, casi todos los solucionadores de elementos finitos disponibles se basan en el método de rigidez directa. Si bien todos los programas utilizan el mismo proceso, muchos se han optimizado para reducir el tiempo de cálculo y la memoria requerida. Para lograr esto, se han desarrollado atajos.

Una de las áreas más utilizadas para el uso del método de rigidez directa es el campo del análisis estructural, donde este método se ha incorporado al software de modelado. El software permite a los usuarios modelar una estructura y, una vez que el usuario define las propiedades materiales de los elementos, el programa genera automáticamente relaciones de rigidez global y de los elementos. Cuando se aplican varias condiciones de carga, el software evalúa la estructura y genera las deflexiones para el usuario.

Véase también

• Método de elementos finitos
• Método de elementos finitos en mecánica estructural
• Análisis estructural
• Método de flexibilidad
• Lista de paquetes de software de elementos finitos

Enlaces externos

• Aplicación del método de rigidez directa a un sistema de resorte 1-D
• Análisis estructural matricial
• Animaciones de simulaciones de análisis de rigidez

Referencias

• Felippa, Carlos A. (2001), "Un bosquejo histórico del análisis estructural matricial: una obra en tres actos" (PDF) , Computers & Structures , 79 (14): 1313–1324, doi :10.1016/S0045-7949(01)00025-6, ISSN  0045-7949, archivado desde el original (PDF) el 2007-06-29 , consultado el 2005-10-05
• Felippa, Carlos A. Introducción al método de elementos finitos. Otoño de 2001. Universidad de Colorado. 18 de septiembre de 2005.
• Robinson, John. Análisis de matrices estructurales para ingenieros. Nueva York: John Wiley & Sons, 1966
• Rubinstein, Moshe F. Análisis matricial de estructuras por computadora. Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1966
• McGuire, W., Gallagher, RH y Ziemian, RD Análisis estructural matricial, 2.ª ed. Nueva York: John Wiley & Sons, 2000.