En lógica matemática , un modelo no estándar de aritmética es un modelo de aritmética de Peano de primer orden que contiene números no estándar. El término modelo estándar de aritmética se refiere a los números naturales estándar 0, 1, 2, …. Los elementos de cualquier modelo de aritmética de Peano están ordenados linealmente y poseen un segmento inicial isomorfo a los números naturales estándar. Un modelo no estándar es uno que tiene elementos adicionales fuera de este segmento inicial. La construcción de tales modelos se debe a Thoralf Skolem (1934).
Sólo existen modelos no estándar de aritmética para la formulación de primer orden de los axiomas de Peano ; para la formulación original de segundo orden, existe, salvo isomorfismo, un único modelo: los propios números naturales . [1]
Existen varios métodos que pueden utilizarse para demostrar la existencia de modelos no estándar de aritmética.
La existencia de modelos no estándar de aritmética puede demostrarse mediante una aplicación del teorema de compacidad . Para ello, se define un conjunto de axiomas P* en un lenguaje que incluye el lenguaje de la aritmética de Peano junto con un nuevo símbolo constante x . Los axiomas consisten en los axiomas de la aritmética de Peano P junto con otro conjunto infinito de axiomas: para cada numeral n , se incluye el axioma x > n . Cualquier subconjunto finito de estos axiomas se satisface mediante un modelo que es el modelo estándar de la aritmética más la constante x interpretada como un número mayor que cualquier numeral mencionado en el subconjunto finito de P*. Por lo tanto, por el teorema de compacidad hay un modelo que satisface todos los axiomas P*. Puesto que cualquier modelo de P* es un modelo de P (ya que un modelo de un conjunto de axiomas es obviamente también un modelo de cualquier subconjunto de ese conjunto de axiomas), tenemos que nuestro modelo extendido es también un modelo de los axiomas de Peano. El elemento de este modelo correspondiente a x no puede ser un número estándar, porque como se indicó es mayor que cualquier número estándar.
Utilizando métodos más complejos, es posible construir modelos no estándar que poseen propiedades más complicadas. Por ejemplo, hay modelos de aritmética de Peano en los que el teorema de Goodstein falla. Se puede demostrar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que el teorema de Goodstein se cumple en el modelo estándar, por lo que un modelo en el que el teorema de Goodstein falla debe ser no estándar.
Los teoremas de incompletitud de Gödel también implican la existencia de modelos no estándar de aritmética. Los teoremas de incompletitud muestran que una oración particular G , la oración de Gödel de la aritmética de Peano, no es demostrable ni refutable en la aritmética de Peano. Por el teorema de completitud , esto significa que G es falsa en algún modelo de la aritmética de Peano. Sin embargo, G es verdadera en el modelo estándar de aritmética y, por lo tanto, cualquier modelo en el que G sea falsa debe ser un modelo no estándar. Por lo tanto, satisfacer ~ G es una condición suficiente para que un modelo sea no estándar. Sin embargo, no es una condición necesaria; para cualquier oración de Gödel G y cualquier cardinalidad infinita hay un modelo de aritmética con G verdadera y de esa cardinalidad.
Suponiendo que la aritmética es consistente, la aritmética con ~ G también es consistente. Sin embargo, dado que ~ G establece que la aritmética es inconsistente, el resultado no será ω-consistente (porque ~ G es falso y esto viola la ω-consistencia).
Otro método para construir un modelo no estándar de aritmética es mediante un ultraproducto . Una construcción típica utiliza el conjunto de todas las secuencias de números naturales, . Elija un ultrafiltro en , luego identifique dos secuencias siempre que tengan valores iguales en posiciones que formen un miembro del ultrafiltro (esto requiere que concuerden en una cantidad infinita de términos, pero la condición es más fuerte que esto ya que los ultrafiltros se parecen a extensiones máximas similares a axiomas de elección del filtro de Fréchet). El semianillo resultante es un modelo no estándar de aritmética. Puede identificarse con los números hipernaturales . [2]
Los modelos de ultraproducto son incontables. Una forma de verlo es construir una inyección del producto infinito de N en el ultraproducto. Sin embargo, según el teorema de Löwenheim-Skolem deben existir modelos aritméticos no estándar contables. Una forma de definir un modelo de este tipo es utilizar la semántica de Henkin .
Cualquier modelo aritmético no estándar contable tiene un orden de tipo ω + (ω* + ω) ⋅ η , donde ω es el orden de tipo de los números naturales estándar, ω* es el orden dual (una secuencia infinita decreciente) y η es el orden de tipo de los números racionales . En otras palabras, un modelo aritmético no estándar contable comienza con una secuencia infinita creciente (los elementos estándar del modelo). A esto le sigue una colección de "bloques", cada uno de tipo de orden ω* + ω , el tipo de orden de los números enteros. Estos bloques están a su vez densamente ordenados con el tipo de orden de los racionales. El resultado se desprende con bastante facilidad porque es fácil ver que los bloques de números no estándar tienen que ser densos y ordenados linealmente sin puntos finales, y el tipo de orden de los racionales es el único orden lineal denso contable sin puntos finales . [3] [4] [5]
De este modo, se conoce el tipo de orden de los modelos no estándar contables, pero las operaciones aritméticas son mucho más complicadas.
Es fácil ver que la estructura aritmética difiere de ω + (ω* + ω) ⋅ η . Por ejemplo, si un elemento no estándar (no finito) u está en el modelo, entonces también lo está m ⋅ u para cualquier m en el segmento inicial N , pero u 2 es mayor que m ⋅ u para cualquier m finito estándar .
También se pueden definir "raíces cuadradas" como la menor v tal que v 2 > 2 ⋅ u . Estas no pueden estar dentro de un número finito estándar de cualquier múltiplo racional de u . Por métodos análogos al análisis no estándar también se puede usar PA para definir aproximaciones cercanas a múltiplos irracionales de un número no estándar u como la menor v con v > π ⋅ u (estas se pueden definir en PA usando aproximaciones racionales finitas no estándar de π aunque π en sí no puede serlo). Una vez más, v − ( m / n ) ⋅ ( u / n ) tiene que ser mayor que cualquier número finito estándar para cualquier m , n finito estándar . [ cita requerida ]
Esto demuestra que la estructura aritmética de un modelo no estándar contable es más compleja que la estructura de los racionales. Pero hay más que eso: el teorema de Tennenbaum demuestra que para cualquier modelo no estándar contable de aritmética de Peano no hay forma de codificar los elementos del modelo como números naturales (estándar) de modo que la operación de adición o multiplicación del modelo sea computable en los códigos. Este resultado fue obtenido por primera vez por Stanley Tennenbaum en 1959.
