Curva estable

En geometría algebraica , una curva estable es una curva algebraica que es asintóticamente estable en el sentido de la teoría de invariantes geométricos .

Esto es equivalente a la condición de que sea una curva completamente conexa cuyas únicas singularidades sean puntos dobles ordinarios y cuyo grupo de automorfismos sea finito. La condición de que el grupo de automorfismos sea finito puede ser reemplazada por la condición de que no sea de género aritmético uno y cada componente racional no singular se encuentre con los otros componentes en al menos 3 puntos (Deligne y Mumford 1969).

Una curva semiestable es aquella que satisface condiciones similares, excepto que se permite que el grupo de automorfismos sea reductivo en lugar de finito (o, equivalentemente, su componente conexo puede ser un toro). Alternativamente, la condición de que los componentes racionales no singulares se encuentren con los otros componentes en al menos tres puntos se reemplaza por la condición de que se encuentren en al menos dos puntos.

De manera similar, una curva con un número finito de puntos marcados se denomina estable si es completa, conexa, tiene solo puntos dobles ordinarios como singularidades y tiene un grupo de automorfismos finito. Por ejemplo, una curva elíptica (una curva de género 1 no singular con 1 punto marcado) es estable.

Sobre los números complejos, una curva conexa es estable si y sólo si, después de eliminar todos los puntos singulares y marcados, las cubiertas universales de todos sus componentes son isomorfas al disco unidad.

Definición

Dado un esquema arbitrario y estableciendo un género g, la curva se define como un morfismo plano adecuado tal que las fibras geométricas se reducen, esquemas unidimensionales conectados tales que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi :C\to S}$ ${\displaystyle C_{s}}$

1. ${\displaystyle C_{s}}$tiene solo singularidades ordinarias de doble punto
2. Cada componente racional se encuentra con otros componentes en más de puntos ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2}$
3. ${\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}$

Estas condiciones técnicas son necesarias porque (1) reducen la complejidad técnica (también se puede utilizar aquí la teoría de Picard-Lefschetz), (2) rigidizan las curvas de modo que no haya automorfismos infinitesimales de la pila de módulos construida posteriormente, y (3) garantizan que el género aritmético de cada fibra sea el mismo. Nótese que para (1) los tipos de singularidades que se encuentran en superficies elípticas se pueden clasificar completamente.

Ejemplos

Un ejemplo clásico de una familia de curvas estables lo da la familia de curvas de Weierstrass.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}$

donde las fibras sobre cada punto son suaves y los puntos degenerados solo tienen una singularidad de doble punto. Este ejemplo se puede generalizar al caso de una familia de un parámetro de curvas hiperelípticas suaves que degeneran en un número finito de puntos. ${\displaystyle \neq 0,1}$

No-ejemplos

En el caso general de más de un parámetro, se debe tener cuidado de eliminar las curvas que tienen singularidades peores que el doble punto. Por ejemplo, considere la familia construida a partir de los polinomios ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

ya que a lo largo de la diagonal hay singularidades que no son de doble punto. Otro no-ejemplo es la familia sobre dada por los polinomios ${\displaystyle s=t}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

que son una familia de curvas elípticas que degeneran en una curva racional con una cúspide.

Propiedades

Una de las propiedades más importantes de las curvas estables es el hecho de que son intersecciones locales completas. Esto implica que se puede utilizar la teoría estándar de dualidad de Serre. En particular, se puede demostrar que para cada curva estable hay un haz relativamente muy amplio; se puede utilizar para incrustar la curva en . Utilizando la teoría estándar del esquema de Hilbert podemos construir un esquema de módulos de curvas de género incrustadas en algún espacio proyectivo. El polinomio de Hilbert está dado por ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

Hay un sublocus de curvas estables contenido en el esquema de Hilbert

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

Esto representa el funtor

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

donde son isomorfismos de curvas estables. Para hacer que este sea el espacio de módulos de curvas sin tener en cuenta la incrustación (que está codificada por el isomorfismo de espacios proyectivos), tenemos que modificar por . Esto nos da la pila de módulos ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

Véase también

• Módulos de curvas algebraicas
• Mapa estable de curvas

Referencias

• Artin, M. ; Winters, G. (1971-11-01). "Fibras degeneradas y reducción estable de curvas". Topología . 10 (4): 373–383. doi :10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN  0040-9383.
• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreducibilidad del espacio de curvas de género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240, S2CID  16482150
• Gieseker, D. (1982), Lecciones sobre módulos de curvas (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, vol. 69, publicado para el Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, Sr.  0691308
• Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Módulos de curvas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 187, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98429-2, Sr.  1631825