En geometría algebraica , dado un grupo algebraico reductivo G y un subgrupo de Borel B , una variedad esférica es una variedad G con una órbita B densa abierta . A veces también se supone que es normal . Algunos ejemplos son las variedades bandera , los espacios simétricos y las variedades tóricas (afines o proyectivas) .
Existe también el concepto de variedades esféricas reales.
Una variedad esférica proyectiva es un espacio de sueño de Mori . [1]
Las incrustaciones esféricas se clasifican mediante los llamados abanicos de colores, una generalización de los abanicos para las variedades tóricas; esto se conoce como teoría de Luna-Vust.
En su artículo seminal, Luna (2001) desarrolló un marco para clasificar subgrupos esféricos complejos de grupos reductivos; redujo la clasificación de subgrupos esféricos a subgrupos maravillosos. Además, elaboró el caso de los grupos de tipo A y conjeturó que los objetos combinatorios que consisten en "datos esféricos homogéneos" clasifican subgrupos esféricos. Esto se conoce como la Conjetura de Luna. Esta clasificación ahora está completa según el programa de Luna; véanse las contribuciones de Bravi, Cupit-Foutou, Losev y Pezzini.
Como conjeturó Knop, cada variedad esférica afín "suave" está determinada únicamente por su monoide de peso. Este resultado de unicidad fue demostrado por Losev.
Knop (2013) ha estado desarrollando un programa para clasificar variedades esféricas en características arbitrarias.
Referencias
- ^ Brion, Michel (2007). "El anillo de coordenadas totales de una maravillosa variedad". Journal of Algebra . 313 (1): 61–99. arXiv : math/0603157 . doi :10.1016/j.jalgebra.2006.12.022. S2CID 15154549.
- Paolo Bravi, Maravillosas variedades del tipo E, Teoría de la representación 11 (2007), 174–191.
- Paolo Bravi y Stéphanie Cupit-Foutou, Clasificación de las variedades maravillosas estrictas, Annales de l'Institut Fourier (2010), Volumen 60, Número 2, 641–681.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Maravillosas variedades del tipo D, Teoría de la representación 9 (2005), págs. 578–637.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Maravillosos subgrupos de grupos reductivos y sistemas esféricos, J. Algebra 409 (2014), 101–147.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Los sistemas esféricos de los maravillosos subgrupos reductivos, J. Lie Theory 25 (2015), 105–123.
- Paolo Bravi y Guido Pezzini, Variedades primitivas maravillosas, Arxiv 1106.3187.
- Stéphanie Cupit-Foutou, Variedades maravillosas. una realización geométrica, Arxiv 0907.2852.
- Michel Brion, "Introducción a las acciones de grupos algebraicos" [1]
- Knop, Friedrich (2013), "Localización de variedades esféricas", Algebra & Number Theory , 8 (3): 703–728, arXiv : 1303.2561 , doi :10.2140/ant.2014.8.703, S2CID 119293458
- Losev, Ivan (2006). "Prueba de la conjetura de Knop". arXiv : math/0612561 .
- Losev, Ivan (2009). "Propiedades de unicidad para variedades esféricas". arXiv : 0904.2937 [math.AG].
- Luna, Dominique (2001), "Variétés sphériques de type A", Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 94 : 161–226, doi :10.1007/s10240-001-8194-0, S2CID 123850545
