Teoría espectral de operadores compactos

En el análisis funcional , los operadores compactos son operadores lineales en espacios de Banach que mapean conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos . En el caso de un espacio de Hilbert H , los operadores compactos son la clausura de los operadores de rango finito en la topología de operadores uniforme. En general, los operadores en espacios de dimensión infinita presentan propiedades que no aparecen en el caso de dimensión finita, es decir, para matrices. Los operadores compactos son notables en que comparten tanta similitud con las matrices como se puede esperar de un operador general. En particular, las propiedades espectrales de los operadores compactos se parecen a las de las matrices cuadradas.

En este artículo se resumen primero los resultados correspondientes al caso matricial antes de analizar las propiedades espectrales de los operadores compactos. El lector verá que la mayoría de las afirmaciones se transfieren textualmente del caso matricial.

La teoría espectral de operadores compactos fue desarrollada por primera vez por F. Riesz .

Teoría espectral de matrices

El resultado clásico para matrices cuadradas es la forma canónica de Jordan, que establece lo siguiente:

Teorema. Sea A una matriz compleja n × n , es decir, A un operador lineal que actúa sobre C ⁿ . Si λ ₁ ... λ _k son los valores propios distintos de A , entonces C ⁿ puede descomponerse en los subespacios invariantes de A

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}Y_{i}.}$

El subespacio Y _i = Ker ( λ _i − A ) ^m donde Ker ( λ _i − A ) ^m = Ker ( λ _i − A ) ^{m +1} . Además, los polos de la función resolvente ζ → ( ζ − A ) ⁻¹ coinciden con el conjunto de valores propios de A .

Operadores compactos

Declaración

Teorema  —  Sea X un espacio de Banach, C un operador compacto que actúa sobre X y σ ( C ) el espectro de C .

1. Todo λ ∈ σ ( C ) distinto de cero es un valor propio de C .
2. Para todo λ ∈ σ ( C ) distinto de cero, existen m tales que Ker (( λ − C ) ^m ) = Ker (( λ − C ) ^{m +1} ), y este subespacio es de dimensión finita.
3. Los valores propios sólo pueden acumularse en 0. Si la dimensión de X no es finita, entonces σ ( C ) debe contener 0.
4. σ ( C ) es, como máximo, numerablemente infinito.
5. Todo λ ∈ σ ( C ) distinto de cero es un polo de la función resolutiva ζ → ( ζ − C ) ⁻¹ .

Prueba

Lemas preliminares

El teorema establece varias propiedades del operador λ − C donde λ ≠ 0. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que λ = 1. Por lo tanto, consideramos I − C , siendo I el operador identidad. La demostración requerirá dos lemas.

Lema 1  ( lema de Riesz )  :  Sea X un espacio de Banach e Y ⊂ X , Y ≠ X , un subespacio cerrado. Para todo ε > 0, existe x ∈ X tal que x = 1 y ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$

${\displaystyle 1-\varepsilon \leq d(x,Y)\leq 1}$

donde d ( x , Y ) es la distancia de x a Y .

Este hecho se utilizará repetidamente en el argumento que conduce al teorema. Nótese que cuando X es un espacio de Hilbert, el lema es trivial.

Lema 2  —  Si C es compacto, entonces Ran ( I − C ) es cerrado.

Prueba

Sea ( I − C ) x _n → y en norma. Si { x _n } está acotado, entonces la compacidad de C implica que existe una subsucesión x _nk tal que C x _nk es convergente en norma. Por lo tanto, x _nk = ( I - C ) x _nk + C x _nk es convergente en norma, a algún x . Esto da ( I − C ) x _nk → ( I − C ) x = y . El mismo argumento se aplica si la distancia d ( x _n , Ker( I − C )) está acotada.

Pero d ( x _n , Ker( I − C )) debe estar acotado. Supongamos que este no es el caso. Pasemos ahora a la función cociente de ( I − C ), todavía denotada por ( I − C ), en X /Ker( I − C ). La norma cociente en X /Ker( I − C ) todavía se denota por , y { x _n } ahora se consideran representantes de sus clases de equivalencia en el espacio cociente. Tome una subsucesión { x _nk } tal que x _nk > k y defina una sucesión de vectores unitarios por z _nk = x _nk x _nk . Nuevamente tendríamos ( I − C ) z _nk → ( I − C ) z para algún z . Como ( I − C ) z _nk = ( I − C ) x _nk x _nk → 0, tenemos ( I − C ) z = 0 , es decir, z ∈ Ker( I − C ). Como pasamos a la función cociente, z = 0. Esto es imposible porque z es el límite normativo de una sucesión de vectores unitarios. Por tanto, el lema queda demostrado. ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle /\|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|/\|}$ ${\displaystyle \|}$

Concluyendo la prueba

Prueba

i ) Sin pérdida de generalidad, supongamos que λ = 1. λ ∈ σ ( C ) no es un valor propio, lo que significa que ( I − C ) es inyectiva pero no sobreyectiva. Por el Lema 2, Y ₁ = Ran ( I − C ) es un subespacio propio cerrado de X . Como ( I − C ) es inyectiva, Y ₂ = ( I − C ) Y ₁ es de nuevo un subespacio propio cerrado de Y ₁ . Definamos Y _n = Ran ( I − C ) ⁿ . Considérese la sucesión decreciente de subespacios

${\displaystyle Y_{1}\supset \cdots \supset Y_{n}\cdots \supset Y_{m}\cdots }$

donde todas las inclusiones son propias. Por el lema 1, podemos elegir vectores unitarios y _n ∈ Y _n tales que d ( y _n , Y _{n +1} ) > ½. La compacidad de C significa que { C y _n } debe contener una subsucesión convergente de norma. Pero para n < m

${\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\right\|}$

y note que

${\displaystyle (C-I)y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\in Y_{n+1},}$

lo que implica que Cy _n − Cy _m > ½. Esto es una contradicción, por lo que λ debe ser un valor propio. ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$

ii ) La sucesión { Y _n = Ker( λ _i − A ) ⁿ } es una sucesión creciente de subespacios cerrados. El teorema afirma que se detiene. Supóngase que no se detiene, es decir, la inclusión Ker( λ _i − A ) ⁿ ⊂ Ker( λ _i − A ) ^{n +1} es apropiada para todo n . Por el lema 1, existe una sucesión { y _n } _{n ≥ 2} de vectores unitarios tales que y _n ∈ Y _n y d ( y _n , Y _{n − 1} ) > ½. Como antes, la compacidad de C significa que { C y _n } debe contener una subsucesión convergente de norma. Pero para n < m

${\displaystyle \|Cy_{n}-Cy_{m}\|=\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\|}$

y note que

${\displaystyle (C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}\in Y_{m-1},}$

lo que implica que Cy _n − Cy _m > ½. Esto es una contradicción, y por lo tanto la secuencia { Y _n = Ker( λ _i − A ) ⁿ } debe terminar en algún m finito . ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$

Usando la definición del núcleo, podemos demostrar que la esfera unitaria de Ker( λ _i − C ) es compacta, de modo que Ker( λ _i − C ) es de dimensión finita. Ker( λ _i − C ) ⁿ es de dimensión finita por la misma razón.

iii ) Supóngase que existen infinitos (al menos numerables) valores propios distintos { λ _n }, con vectores propios correspondientes { x _n }, tales que λ _n > ε para todo n . Definamos Y _n = span { x ₁ ... x _n }. La sucesión { Y _n } es una sucesión estrictamente creciente. Elijamos vectores unitarios tales que y _n ∈ Y ⁿ y d ( y _n , Y ^{n − 1} ) > ½. Entonces, para n < m ${\displaystyle |}$ ${\displaystyle |}$

${\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}-\lambda _{m}y_{m}\right\|.}$

Pero

${\displaystyle (C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}\in Y_{m-1},}$

Por lo tanto Cy _n − Cy _m > ε /2, una contradicción. ${\displaystyle \|}$ ${\displaystyle \|}$

De modo que tenemos que sólo hay un número finito de valores propios distintos fuera de cualquier bola centrada en el cero. Esto nos lleva inmediatamente a que el cero es el único punto límite posible de los valores propios y que, como máximo, hay un número contable de valores propios distintos (véase iv).

iv ) Esto es una consecuencia inmediata de iii). El conjunto de valores propios { λ } es la unión

${\displaystyle \bigcup _{n}\left\{|\lambda |>{\tfrac {1}{n}}\right\}=\bigcup _{n}S_{n}.}$

Como σ ( C ) es un conjunto acotado y los valores propios solo pueden acumularse en 0, cada S _n es finito, lo que da el resultado deseado.

v ) Como en el caso de la matriz, esta es una aplicación directa del cálculo funcional holomórfico .

Subespacios invariantes

Como en el caso de la matriz, las propiedades espectrales anteriores conducen a una descomposición de X en subespacios invariantes de un operador compacto C . Sea λ ≠ 0 un valor propio de C ; por lo tanto λ es un punto aislado de σ ( C ). Utilizando el cálculo funcional holomorfo, defina la proyección de Riesz E ( λ ) mediante

${\displaystyle E(\lambda )={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }(\xi -C)^{-1}d\xi }$

donde γ es un contorno de Jordan que encierra sólo λ desde σ ( C ). Sea Y el subespacio Y = E ( λ ) X . C restringido a Y es un operador invertible compacto con espectro { λ }, por lo tanto Y es de dimensión finita. Sea ν tal que Ker ( λ − C ) ^ν = Ker ( λ − C ) ^{ν + 1} . Al inspeccionar la forma de Jordan, vemos que ( λ − C ) ^ν = 0 mientras que ( λ − C ) ^{ν − 1} ≠ 0. La serie de Laurent de la función resolvente centrada en λ muestra que

${\displaystyle E(\lambda )(\lambda -C)^{\nu }=(\lambda -C)^{\nu }E(\lambda )=0.}$

Entonces Y = Ker ( λ − C ) ^ν .

Los E ( λ ) satisfacen E ( λ ) ² = E ( λ ), por lo que son efectivamente operadores de proyección o proyecciones espectrales . Por definición conmutan con C . Además E ( λ ) E ( μ ) = 0 si λ ≠ μ.

• Sea X ( λ ) = E ( λ ) X si λ es un valor propio distinto de cero. Por lo tanto, X ( λ ) es un subespacio invariante de dimensión finita, el espacio propio generalizado de λ.
• Sea X (0) la intersección de los núcleos de E ( λ ). Por lo tanto, X (0) es un subespacio cerrado invariante bajo C y la restricción de C a X (0) es un operador compacto con espectro {0}.

Operadores con potencia compacta

Si B es un operador en un espacio de Banach X tal que B ⁿ es compacto para algún n , entonces el teorema demostrado anteriormente también es válido para B .

Véase también

• Teorema espectral
• Teoría espectral de las C*-álgebras normales

Referencias

• John B. Conway, Un curso de análisis funcional, Textos de posgrado en matemáticas 96 , Springer 1990. ISBN  0-387-97245-5