Solución de caratheodory-π

Una solución Carathéodory- π es una solución generalizada de una ecuación diferencial ordinaria . El concepto se debe a I. Michael Ross y lleva el nombre de Constantin Carathéodory . ^[1] Su practicidad fue demostrada en 2008 por Ross et al. ^[2] en una implementación de laboratorio del concepto. El concepto es más útil para implementar controles de retroalimentación , particularmente aquellos generados por una aplicación de la teoría de control óptimo pseudoespectral de Ross . ^[3]

Antecedentes matemáticos

Una solución Carathéodory- π aborda el problema fundamental de definir una solución a una ecuación diferencial,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

cuando g ( x , t ) no es diferenciable con respecto a  x . Estos problemas surgen de forma bastante natural ^[4] al definir el significado de una solución a una ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$

cuando el control, u , está dado por una ley de retroalimentación,

${\displaystyle u=k(x,t)}$

donde la función k ( x , t ) puede no ser suave con respecto a  x . Los controles de retroalimentación no suave surgen con bastante frecuencia en el estudio de controles de retroalimentación óptima y han sido objeto de amplios estudios que se remontan a la década de 1960. ^[5]

El concepto de Ross.

Una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

es equivalente a una ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u}$

con control de retroalimentación, . Luego, dado un problema de valor inicial, Ross divide el intervalo de tiempo en una cuadrícula, con . De a , genera una trayectoria de control, ${\displaystyle u=g(x,t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \pi =\{t_{i}\}_{i\geq 0}}$ ${\displaystyle t_{i}\to \infty {\text{ as }}i\to \infty }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle u(t)=g(x_{0},t),\quad x(t_{0})=x_{0},\quad t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

a la ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

Existe una solución de Carathéodory para la ecuación anterior porque tiene discontinuidades como máximo en t , la variable independiente. En , configure y reinicie el sistema con , ${\displaystyle t\mapsto u}$ ${\displaystyle t=t_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}$ ${\displaystyle u(t)=g(x_{1},t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=u(t),\quad x(t_{1})=x_{1},\quad t_{1}\leq t\leq t_{2}}$

Continuando de esta manera, los segmentos de Carathéodory se unen para formar una solución de Carathéodory- π .

Aplicaciones de ingeniería

Se puede aplicar una solución Carathéodory- π para la estabilización práctica de un sistema de control. ^{[6] [7]} Se ha utilizado para estabilizar un péndulo invertido, ^[6] controlar y optimizar el movimiento de robots, ^{[7] [8]} girar y controlar la nave espacial NPSAT1 ^[3] y producir comandos de guía para sistemas de bajo empuje. misiones espaciales. ^[2]

Ver también

• Lema π de Ross

Referencias

1. Biles, DC y Binding, PA, "Sobre las condiciones de Carathéodory para el problema del valor inicial", Actas de la American Mathematical Society, Vol. 125, No. 5, mayo de 1997, págs.
2. Ross, IM, Sekhavat, P., Fleming, A. y Gong, Q., "Control de retroalimentación óptimo: fundamentos, ejemplos y resultados experimentales para un nuevo enfoque", Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol. 31, núm. 2, págs. 307–321, 2008.
3. Ross, IM y Karpenko, M. "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo", Reseñas anuales en control, Vol.36, No.2, págs. 182-197, 2012.
4. Clarke, FH, Ledyaev, YS, Stern, RJ y Wolenski, PR, Teoría del control y análisis no suave, Springer – Verlag, Nueva York, 1998.
5. Pontryagin, LS, Boltyanskii, VG, Gramkrelidze, RV y Mishchenko, EF, La teoría matemática de los procesos óptimos, Wiley, Nueva York, 1962.
6. Ross, IM, Gong, Q., Fahroo, F. y Kang, W., "Practical Stabilization Through Real-Time Optimal Control", Conferencia Estadounidense de Control de 2006, Minneapolis, MN, 14 al 16 de junio de 2006.
7. Martin, SC, Hillier, N. y Corke, P., "Aplicación práctica de la optimización pseudoespectral a la planificación de rutas de robots", Actas de la Conferencia de Australasia sobre Robótica y Automatización de 2010, Brisbane, Australia, 1 al 3 de diciembre de 2010.
8. Björkenstam, S., Gleeson, D., Bohlin, R. "Movimiento energéticamente eficiente y libre de colisiones de robots industriales que utilizan un control óptimo", Actas de la novena conferencia internacional IEEE sobre ciencia e ingeniería de automatización (CASE 2013), Madison, Wisconsin , Agosto 2013