Punto de equilibrio (matemáticas)

Solución constante de una ecuación diferencial

Diagrama de estabilidad que clasifica los mapas de Poincaré de sistemas autónomos lineales como estables o inestables según sus características. La estabilidad generalmente aumenta hacia la izquierda del diagrama. ^[1] Algunos puntos de equilibrio son sumidero, fuente o nodo. ${\displaystyle x'=Ax,}$

En matemáticas , específicamente en ecuaciones diferenciales , un punto de equilibrio es una solución constante de una ecuación diferencial.

Definición formal

El punto es un punto de equilibrio para la ecuación diferencial. ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

si para todos . ${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle t}$

De manera similar, el punto es un punto de equilibrio (o punto fijo ) para la ecuación diferencial ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

si para . ${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

Los equilibrios se pueden clasificar observando los signos de los valores propios de la linealización de las ecuaciones sobre los equilibrios. Es decir, evaluando la matriz jacobiana en cada uno de los puntos de equilibrio del sistema y luego hallando los valores propios resultantes, se pueden categorizar los equilibrios. Luego, el comportamiento del sistema en la vecindad de cada punto de equilibrio se puede determinar cualitativamente (o incluso cuantitativamente, en algunos casos), hallando el o los vectores propios asociados con cada valor propio.

Un punto de equilibrio es hiperbólico si ninguno de los valores propios tiene parte real cero. Si todos los valores propios tienen partes reales negativas, el punto es estable . Si al menos uno tiene una parte real positiva, el punto es inestable . Si al menos un valor propio tiene parte real negativa y al menos uno tiene parte real positiva, el equilibrio es un punto de silla y es inestable. Si todos los valores propios son reales y tienen el mismo signo, el punto se denomina nodo .

Véase también

• Ecuación autónoma
• Punto crítico
• Estado estable

Referencias

1. Matemáticas Egwald - Álgebra lineal: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: Análisis de estabilidad lineal Consultado el 10 de octubre de 2019.

Lectura adicional

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (3.ª ed.). Springer. Págs. 102-104. ISBN 1-4613-0003-7.