Sistema de coordenadas tridimensional
Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales . A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidal se basa en cuádricas confocales .
Fórmulas básicas
Las coordenadas cartesianas se pueden obtener a partir de las coordenadas elipsoidales mediante las ecuaciones
donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas
En consecuencia, las superficies de constante son elipsoides.
mientras que las superficies de constante son hiperboloides de una hoja
porque el último término en el lado izquierdo es negativo y las superficies de constante son hiperboloides de dos hojas
porque los dos últimos términos de la izquierda son negativos.
El sistema ortogonal de cuádricas utilizado para las coordenadas elipsoidales son cuádricas confocales .
Factores de escala y operadores diferenciales.
Por brevedad en las ecuaciones siguientes, introducimos una función
donde puede representar cualquiera de las tres variables . Usando esta función, los factores de escala se pueden escribir
Por tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual
y el laplaciano se define por
Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .
Parametrización angular
Existe una parametrización alternativa que sigue de cerca la parametrización angular de coordenadas esféricas : [1]
Aquí, parametriza los elipsoides concéntricos alrededor del origen y son los ángulos polares y acimutales habituales de coordenadas esféricas, respectivamente. El elemento de volumen correspondiente es
Ver también
Referencias
- ^ "Momento cuadrupolo elipsoide".
Bibliografía
- Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 663.
- Zwillinger D (1992). Manual de Integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 114.ISBN 0-86720-293-9.
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. págs. 101-102. LCCN 67025285.
- Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 176. LCCN 59014456.
- Margenau H, Murphy GM (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 178-180. LCCN 55010911.
- Luna PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas elipsoidales (η, θ, λ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda y tercera edición impresa corregida). Nueva York: Springer Verlag. Págs. 40 a 44 (cuadro 1.10). ISBN 0-387-02732-7.
Convención inusual
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos (Volumen 8 del Curso de Física Teórica ) (2ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.
enlaces externos
- Descripción de MathWorld de coordenadas elipsoidales confocales