Doble integrador

Sistema de control de segundo orden

En teoría de sistemas y control , el doble integrador es un ejemplo canónico de un sistema de control de segundo orden . ^[1] Modela la dinámica de una masa simple en un espacio unidimensional bajo el efecto de una fuerza variable en el tiempo . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales que representan un doble integrador son:

${\displaystyle {\ddot {q}}=u(t)}$

${\displaystyle y=q(t)}$

donde ambos Representemos esto ahora en forma de espacio de estados con el vector ${\displaystyle q(t),u(t)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textbf {x(t)}}={\begin{bmatrix}q\\{\dot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\dot {q}}\\{\ddot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

En esta representación, queda claro que la entrada de control es la segunda derivada de la salida . En forma escalar, la entrada de control es la segunda derivada de la salida . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}}$ ${\displaystyle q}$

Representación del espacio de estados

El modelo de espacio de estados normalizado de un doble integrador toma la forma

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Según este modelo, la entrada es la segunda derivada de la salida , de ahí el nombre de doble integrador. ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {y}}}$

Representación de la función de transferencia

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación de entrada-salida del espacio de estados, vemos que la función de transferencia del doble integrador viene dada por

${\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Usando las ecuaciones diferenciales que dependen de y y la representación del espacio de estados: ${\displaystyle q(t),y(t),u(t)}$ ${\displaystyle {\textbf {x(t)}}}$

Referencias

1. Venkatesh G. Rao y Dennis S. Bernstein (2001). «Control ingenuo del doble integrador» (PDF) . Revista de sistemas de control IEEE . Consultado el 4 de marzo de 2012 .