En matemáticas , la reducción se refiere a la reescritura de una expresión en una forma más simple. Por ejemplo, el proceso de reescribir una fracción en una con el denominador de número entero más pequeño posible (mientras se mantiene el numerador como un número entero) se llama " reducir una fracción ". Reescribir una expresión radical (o "raíz") con el número entero más pequeño posible debajo del símbolo radical se llama "reducir un radical". Minimizar la cantidad de radicales que aparecen debajo de otros radicales en una expresión se llama desanidar radicales .
En álgebra lineal , la reducción se refiere a la aplicación de reglas simples a una serie de ecuaciones o matrices para convertirlas en una forma más simple. En el caso de las matrices, el proceso implica manipular las filas o las columnas de la matriz y, por lo tanto, generalmente se lo conoce como reducción por filas o reducción por columnas , respectivamente. A menudo, el objetivo de la reducción es transformar una matriz en su " forma escalonada reducida por filas " o "forma escalonada por filas"; este es el objetivo de la eliminación gaussiana .
En cálculo , la reducción se refiere al uso de la técnica de integración por partes para evaluar integrales reduciéndolas a formas más simples.
En el análisis dinámico, la reducción estática se refiere a la reducción del número de grados de libertad. La reducción estática también se puede utilizar en el análisis de elementos finitos para referirse a la simplificación de un problema algebraico lineal. Dado que una reducción estática requiere varios pasos de inversión, es una operación matricial costosa y propensa a algún error en la solución. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales en un problema de FEA:
donde K y F son conocidas y K , x y F se dividen en submatrices como se muestra arriba. Si F 2 contiene solo ceros y solo se desea x 1 , K se puede reducir para obtener el siguiente sistema de ecuaciones
se obtiene escribiendo el conjunto de ecuaciones de la siguiente manera:
La ecuación ( 2 ) se puede resolver para (asumiendo la invertibilidad de ):
Y sustituyendo en ( 1 ) obtenemos
De este modo
De manera similar, cualquier fila o columna i de F con un valor cero puede eliminarse si no se desea el valor correspondiente de x i . Una K reducida puede reducirse nuevamente. Como nota, dado que cada reducción requiere una inversión, y cada inversión es una operación con un costo computacional O ( n 3 ) , la mayoría de las matrices grandes se procesan previamente para reducir el tiempo de cálculo.
En el siglo IX, el matemático persa Al-Khwarizmi introdujo en Al-Jabr los conceptos fundamentales de "reducción" y "equilibrio", haciendo referencia a la transposición de los términos sustraídos al otro lado de una ecuación y a la cancelación de los términos iguales en los lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi describió originalmente como al-jabr . [1] El nombre " álgebra " proviene del " al-jabr " del título de su libro.
qué significan exactamente los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la que se da a entender en la traducción anterior. La palabra al-jabr probablemente significaba algo así como "restauración" o "completación" y parece referirse a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, lo que es evidente en el tratado; se dice que la palabra muqabalah se refiere a "reducción" o "equilibrio", es decir, la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la ecuación.
