Invariancia galileana

Aproximación de baja velocidad para la relatividad especial

La invariancia galileana o relatividad galileana establece que las leyes del movimiento son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales . Galileo Galilei describió por primera vez este principio en 1632 en su Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo utilizando el ejemplo de un barco que viaja a velocidad constante, sin balanceo, en un mar en calma; cualquier observador debajo de la cubierta no podría decir si el barco está en movimiento o estacionario.

Formulación

En concreto, el término invariancia galileana hoy en día suele referirse a este principio tal como se aplica a la mecánica newtoniana , es decir, las leyes de movimiento de Newton se cumplen en todos los sistemas relacionados entre sí por una transformación galileana . En otras palabras, todos los sistemas relacionados entre sí por dicha transformación son inerciales (es decir, la ecuación de movimiento de Newton es válida en estos sistemas). En este contexto, a veces se le llama relatividad newtoniana .

Entre los axiomas de la teoría de Newton están:

1. Existe un espacio absoluto en el que se cumplen las leyes de Newton. Un sistema inercial es un sistema de referencia en movimiento uniforme relativo al espacio absoluto.
2. Todos los sistemas inerciales comparten un tiempo universal .

La relatividad galileana se puede demostrar de la siguiente manera. Consideremos dos sistemas inerciales S y S' . Un evento físico en S tendrá coordenadas de posición r = ( x , y , z ) y tiempo t en S , y r' = ( x' , y' , z' ) y tiempo t' en S' . Por el segundo axioma anterior, uno puede sincronizar el reloj en los dos sistemas y suponer que t = t' . Supongamos que S' está en movimiento uniforme relativo a S con velocidad v . Consideremos un objeto puntual cuya posición está dada por las funciones r' ( t ) en S' y r ( t ) en S . Vemos que

${\displaystyle r'(t)=r(t)-vt.\,}$

La velocidad de la partícula viene dada por la derivada temporal de la posición:

${\displaystyle u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.}$

Otra diferenciación la da la aceleración en los dos cuadros:

${\displaystyle a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).}$

Este resultado simple pero crucial es el que implica la relatividad galileana. Suponiendo que la masa es invariante en todos los sistemas inerciales, la ecuación anterior muestra que las leyes de la mecánica de Newton, si son válidas en un sistema, deben ser válidas para todos los sistemas. ^[1] Pero se supone que son válidas en el espacio absoluto, por lo tanto, la relatividad galileana es válida.

La teoría de Newton versus la relatividad especial

Se puede hacer una comparación entre la relatividad newtoniana y la relatividad especial .

Algunas de las suposiciones y propiedades de la teoría de Newton son:

1. La existencia de una cantidad infinita de sistemas inerciales. Cada sistema es de tamaño infinito (el universo entero puede estar cubierto por muchos sistemas linealmente equivalentes). Dos sistemas cualesquiera pueden estar en movimiento uniforme relativo. (La naturaleza relativista de la mecánica deducida anteriormente muestra que el supuesto de espacio absoluto no es necesario.)
2. Los marcos inerciales pueden moverse en todas las formas relativas posibles de movimiento uniforme.
3. Existe una noción universal o absoluta del tiempo transcurrido.
4. Dos marcos inerciales están relacionados mediante una transformación galileana .
5. En todos los sistemas inerciales se cumplen las leyes de Newton y la gravedad.

En comparación, las afirmaciones correspondientes de la relatividad especial son las siguientes:

1. La existencia, además, de una infinidad de sistemas no inerciales, cada uno de los cuales está referenciado a (y determinado físicamente por) un conjunto único de coordenadas espacio-temporales. Cada sistema puede tener un tamaño infinito, pero su definición siempre está determinada localmente por las condiciones físicas contextuales. Dos sistemas cualesquiera pueden estar en movimiento relativo no uniforme (siempre que se suponga que esta condición de movimiento relativo implica un efecto dinámico relativista –y más tarde, un efecto mecánico en la relatividad general– entre ambos sistemas).
2. En lugar de permitir libremente todas las condiciones de movimiento relativo uniforme entre marcos de referencia, la velocidad relativa entre dos marcos inerciales queda limitada por encima de la velocidad de la luz.
3. En lugar de un tiempo transcurrido universal, cada marco inercial posee su propia noción de tiempo transcurrido.
4. Las transformaciones galileanas son reemplazadas por transformaciones de Lorentz .
5. En todos los marcos inerciales, todas las leyes de la física son las mismas.

Ambas teorías presuponen la existencia de sistemas inerciales. En la práctica, el tamaño de los sistemas en los que siguen siendo válidas difiere enormemente, dependiendo de las fuerzas de marea gravitatorias.

En el contexto apropiado, un marco inercial newtoniano local , donde la teoría de Newton sigue siendo un buen modelo, se extiende hasta aproximadamente 10 ⁷ años luz.

En la teoría de la relatividad especial, se consideran las cabinas de Einstein , cabinas que caen libremente en un campo gravitatorio. Según el experimento mental de Einstein, un hombre en una cabina de este tipo no experimenta (en una buena aproximación) gravedad y, por lo tanto, la cabina es un sistema inercial aproximado. Sin embargo, hay que suponer que el tamaño de la cabina es lo suficientemente pequeño como para que el campo gravitatorio sea aproximadamente paralelo en su interior. Esto puede reducir en gran medida los tamaños de dichos sistemas aproximados, en comparación con los sistemas newtonianos. Por ejemplo, un satélite artificial que orbita alrededor de la Tierra puede considerarse como una cabina. Sin embargo, instrumentos razonablemente sensibles podrían detectar "microgravedad" en una situación así porque las "líneas de fuerza" del campo gravitatorio de la Tierra convergen.

En general, la convergencia de los campos gravitatorios en el universo dicta la escala en la que se pueden considerar tales sistemas inerciales (locales). Por ejemplo, una nave espacial que cayera en un agujero negro o una estrella de neutrones (a cierta distancia) estaría sujeta a fuerzas de marea lo suficientemente fuertes como para aplastarla en ancho y desgarrarla en longitud. ^[2] Sin embargo, en comparación, tales fuerzas podrían ser incómodas solo para los astronautas en el interior (comprimiendo sus articulaciones, lo que dificulta extender sus extremidades en cualquier dirección perpendicular al campo gravitatorio de la estrella). Si reducimos aún más la escala, las fuerzas a esa distancia podrían no tener casi ningún efecto en un ratón. Esto ilustra la idea de que todos los sistemas en caída libre son localmente inerciales (libres de aceleración y gravedad) si la escala se elige correctamente. ^[2]

Electromagnetismo

Hay dos transformaciones galileanas consistentes que pueden utilizarse con campos electromagnéticos en determinadas situaciones.

Una transformación no es consistente si donde y son velocidades. Una transformación consistente producirá los mismos resultados cuando se transforma a una nueva velocidad en un paso o en múltiples pasos. No es posible tener una transformación galileana consistente que transforme tanto el campo magnético como el eléctrico. ^{[3] : 256} Existen transformaciones galileanas consistentes útiles que pueden aplicarse siempre que el campo magnético o el campo eléctrico sean dominantes. ${\displaystyle T\{*,v\}}$ ${\displaystyle T\{*,v_{1}+v_{2}\}\neq T\{*,v_{1}\}+T\{*,v_{2}\}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Sistema de campo magnético

Los sistemas de campo magnético son aquellos sistemas en los que el campo eléctrico en el marco de referencia inicial es insignificante, pero el campo magnético es fuerte. Cuando el campo magnético es dominante y la velocidad relativa, , es baja, entonces la siguiente transformación puede ser útil: ${\displaystyle v^{\mathbf {r} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}}$$ donde es la densidad de corriente libre, es la densidad de magnetización. El campo eléctrico se transforma bajo esta transformación al cambiar los marcos de referencia, pero el campo magnético y las cantidades relacionadas no cambian. ^{[3] : 261} Un ejemplo de esta situación es un cable que se mueve en un campo magnético como ocurriría en un generador o motor ordinario. El campo eléctrico transformado en el marco de referencia en movimiento podría inducir corriente en el cable. ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Sistema de campo eléctrico

Los sistemas de campo eléctrico son aquellos sistemas en los que el campo magnético en el marco de referencia inicial es insignificante, pero el campo eléctrico es intenso. Cuando el campo eléctrico es dominante y la velocidad relativa, , es baja, entonces puede resultar útil la siguiente transformación: ${\displaystyle v^{r}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}}$$

donde es la densidad de carga libre, es la densidad de polarización. El campo magnético y la densidad de corriente libre se transforman bajo esta transformación al cambiar los marcos de referencia, pero el campo eléctrico y las cantidades relacionadas permanecen inalteradas ^{[3] : 265} ${\displaystyle \rho _{\mathbf {f} }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Trabajo, energía cinética y momento

Como la distancia recorrida al aplicar una fuerza a un objeto depende del marco de referencia inercial, también depende el trabajo realizado. Debido a la ley de Newton de acciones recíprocas , existe una fuerza de reacción; esta realiza trabajo dependiendo del marco de referencia inercial en sentido opuesto. El trabajo total realizado es independiente del marco de referencia inercial.

En consecuencia, la energía cinética de un objeto, e incluso el cambio de esta energía debido a un cambio en la velocidad, depende del marco de referencia inercial. La energía cinética total de un sistema aislado también depende del marco de referencia inercial: es la suma de la energía cinética total en un marco de referencia del centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masas . Debido a la conservación del momento, este último no cambia con el tiempo, por lo que los cambios con el tiempo de la energía cinética total no dependen del marco de referencia inercial.

Por el contrario, aunque el momento de un objeto también depende del marco de referencia inercial, su cambio debido a un cambio en la velocidad no.

Véase también

• Espacio y tiempo absolutos
• Más rápido que la luz
• Formulación del tensor covariante de Galileo (sin relación con Galileo)
• Movimiento superlumínico

Notas y referencias

1. McComb, WD (1999). Dinámica y relatividad . Oxford [etc.]: Oxford University Press . Págs. 22-24. ISBN. 0-19-850112-9.
2. Taylor y Wheeler, Explorando los agujeros negros - Introducción a la relatividad general, Capítulo 2, 2000, pág. 2:6.
3. Woodson, Herbert H.; Melcher, James R. (1968). Electromechanical Dynamics (PDF) (1.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 251–329. Archivado desde el original (PDF) el 2022-12-20 . Consultado el 2022-08-21 .