Serie Edgeworth

La serie A de Gram–Charlier (nombrada en honor a Jørgen Pedersen Gram y Carl Charlier ), y la serie de Edgeworth (nombrada en honor a Francis Ysidro Edgeworth ) son series que aproximan una distribución de probabilidad en términos de sus cumulantes . ^[1] Las series son las mismas; pero, la disposición de los términos (y por lo tanto la precisión del truncamiento de la serie) difieren. ^[2] La idea clave de estas expansiones es escribir la función característica de la distribución cuya función de densidad de probabilidad f se va a aproximar en términos de la función característica de una distribución con propiedades conocidas y adecuadas, y recuperar f a través de la transformada de Fourier inversa .

Serie Gram–Charlier A

Examinamos una variable aleatoria continua. Sea la función característica de su distribución cuya función de densidad es f , y sus cumulantes . Desarrollamos en términos de una distribución conocida con función de densidad de probabilidad ψ , función característica y cumulantes . La densidad ψ se elige generalmente como la de la distribución normal , pero también son posibles otras opciones. Por la definición de los cumulantes, tenemos (véase Wallace, 1958) ^[3] ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]}$y

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\gamma _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right],}$

lo que da la siguiente identidad formal:

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]{\hat {\psi }}(t)\,.}$

Por las propiedades de la transformada de Fourier, es la transformada de Fourier de , donde D es el operador diferencial con respecto a x . Por lo tanto, después de cambiar con en ambos lados de la ecuación, encontramos para f la expansión formal ${\displaystyle (it)^{r}{\hat {\psi }}(t)}$ ${\displaystyle (-1)^{r}[D^{r}\psi ](-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\psi (x)\,.}$

Si se elige ψ como la densidad normal

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

con media y varianza como dadas por f , es decir, media y varianza , entonces la expansión se convierte en ${\displaystyle \mu =\kappa _{1}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\kappa _{2}}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\phi (x),}$

ya que para todo r > 2, los cumulantes superiores de la distribución normal son 0. Al expandir los términos exponenciales y agruparlos según el orden de las derivadas, llegamos a la serie A de Gram-Charlier. Tal expansión se puede escribir de manera compacta en términos de polinomios de Bell como ${\displaystyle \gamma _{r}=0}$

${\displaystyle \exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n}){\frac {(-D)^{n}}{n!}}.}$

Dado que la derivada n-ésima de la función gaussiana se da en términos del polinomio de Hermite como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sigma ^{n}}}He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\phi (x),}$

Esto nos da la expresión final de la serie A de Gram-Charlier como

${\displaystyle f(x)=\phi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Integrando la serie obtenemos la función de distribución acumulativa

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=\Phi (x)-\phi (x)\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n-1}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n-1}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

donde es la CDF de la distribución normal. ${\displaystyle \Phi }$

Si incluimos sólo los dos primeros términos de corrección a la distribución normal, obtenemos

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}He_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}He_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

con y . ${\displaystyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$ ${\displaystyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

Tenga en cuenta que no se garantiza que esta expresión sea positiva y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad válida. La serie A de Gram-Charlier diverge en muchos casos de interés: converge solo si decae más rápido que en el infinito (Cramér 1957). Cuando no converge, la serie tampoco es una verdadera expansión asintótica , porque no es posible estimar el error de la expansión. Por esta razón, la serie de Edgeworth (ver la siguiente sección) generalmente se prefiere a la serie A de Gram-Charlier. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp(-(x^{2})/4)}$

La serie Edgeworth

Edgeworth desarrolló una expansión similar como una mejora del teorema del límite central . ^[4] La ventaja de la serie de Edgeworth es que el error está controlado, de modo que es una verdadera expansión asintótica .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finitas , y sean sus sumas estandarizadas: ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z_{i}-\mu }{\sigma }}.}$

Denotemos las funciones de distribución acumulativa de las variables . Entonces, por el teorema del límite central, ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\Phi (x)\equiv \int _{-\infty }^{x}{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}q^{2}}dq}$

para cada , siempre que la media y la varianza sean finitas. ${\displaystyle x}$

La estandarización de asegura que los dos primeros cumulantes de sean y Ahora supongamos que, además de tener media y varianza , las variables aleatorias iid tienen cumulantes más altos . A partir de las propiedades de aditividad y homogeneidad de los cumulantes, los cumulantes de en términos de los cumulantes de son para , ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}=1.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}={\frac {n\kappa _{r}}{\sigma ^{r}n^{r/2}}}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\quad \mathrm {where} \quad \lambda _{r}={\frac {\kappa _{r}}{\sigma ^{r}}}.}$

Si ampliamos la expresión formal de la función característica de en términos de la distribución normal estándar, es decir, si establecemos ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}),}$

Entonces las diferencias acumuladas en la expansión son

${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}-\gamma _{1}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}-\gamma _{2}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}-\gamma _{r}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}};\qquad r\geq 3.}$

La serie A de Gram-Charlier para la función de densidad de es ahora ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {1}{r!}}B_{r}\left(0,0,{\frac {\lambda _{3}}{n^{1/2}}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\right)He_{r}(x).}$

La serie de Edgeworth se desarrolla de manera similar a la serie A de Gram–Charlier, solo que ahora los términos se agrupan según las potencias de . Los coeficientes del término n ^{− m /2} se pueden obtener agrupando los monomios de los polinomios de Bell correspondientes a las particiones enteras de m . Por lo tanto, tenemos la función característica como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)=\left[1+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(it)}{n^{j/2}}}\right]\exp(-t^{2}/2)\,,}$

donde es un polinomio de grado . Nuevamente, después de la transformada inversa de Fourier, la función de densidad se deduce como ${\displaystyle P_{j}(x)}$ ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(-D)}{n^{j/2}}}\phi (x)\,.}$

Asimismo, integrando la serie, obtenemos la función de distribución

${\displaystyle F_{n}(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{j/2}}}{\frac {P_{j}(-D)}{D}}\phi (x)\,.}$

Podemos escribir explícitamente el polinomio como ${\displaystyle P_{m}(-D)}$

${\displaystyle P_{m}(-D)=\sum \prod _{i}{\frac {1}{k_{i}!}}\left({\frac {\lambda _{l_{i}}}{l_{i}!}}\right)^{k_{i}}(-D)^{s},}$

donde la suma es sobre todas las particiones enteras de m tales que y y ${\displaystyle \sum _{i}ik_{i}=m}$ ${\displaystyle l_{i}=i+2}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}k_{i}l_{i}.}$

Por ejemplo, si m = 3, entonces hay tres formas de particionar este número: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. Por lo tanto, necesitamos examinar tres casos:

• 1 + 1 + 1 = 1 · k ₁ , entonces tenemos k ₁ = 3, l ₁ = 3 y s = 9.
• 1 + 2 = 1 · k ₁ + 2 · k ₂ , entonces tenemos k ₁ = 1, k ₂ = 1, l ₁ = 3, l ₂ = 4 y s = 7.
• 3 = 3 · k ₃ , entonces tenemos k ₃ = 1, l ₃ = 5 y s = 5.

Por lo tanto, el polinomio requerido es

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}(-D)&={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)^{3}(-D)^{9}+{\frac {1}{1!1!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)\left({\frac {\lambda _{4}}{4!}}\right)(-D)^{7}+{\frac {1}{1!}}\left({\frac {\lambda _{5}}{5!}}\right)(-D)^{5}\\&={\frac {\lambda _{3}^{3}}{1296}}(-D)^{9}+{\frac {\lambda _{3}\lambda _{4}}{144}}(-D)^{7}+{\frac {\lambda _{5}}{120}}(-D)^{5}.\end{aligned}}}$

Los primeros cinco términos de la expansión son ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)&=\phi (x)\\&\quad -{\frac {1}{n^{\frac {1}{2}}}}\left({\tfrac {1}{6}}\lambda _{3}\,\phi ^{(3)}(x)\right)\\&\quad +{\frac {1}{n}}\left({\tfrac {1}{24}}\lambda _{4}\,\phi ^{(4)}(x)+{\tfrac {1}{72}}\lambda _{3}^{2}\,\phi ^{(6)}(x)\right)\\&\quad -{\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}}}\left({\tfrac {1}{120}}\lambda _{5}\,\phi ^{(5)}(x)+{\tfrac {1}{144}}\lambda _{3}\lambda _{4}\,\phi ^{(7)}(x)+{\tfrac {1}{1296}}\lambda _{3}^{3}\,\phi ^{(9)}(x)\right)\\&\quad +{\frac {1}{n^{2}}}\left({\tfrac {1}{720}}\lambda _{6}\,\phi ^{(6)}(x)+\left({\tfrac {1}{1152}}\lambda _{4}^{2}+{\tfrac {1}{720}}\lambda _{3}\lambda _{5}\right)\phi ^{(8)}(x)+{\tfrac {1}{1728}}\lambda _{3}^{2}\lambda _{4}\,\phi ^{(10)}(x)+{\tfrac {1}{31104}}\lambda _{3}^{4}\,\phi ^{(12)}(x)\right)\\&\quad +O\left(n^{-{\frac {5}{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí, φ ^{( j )} ( x ) es la derivada j -ésima de φ(·) en el punto x . Recordando que las derivadas de la densidad de la distribución normal están relacionadas con la densidad normal por , (donde es el polinomio de Hermite de orden n ), esto explica las representaciones alternativas en términos de la función de densidad. Blinnikov y Moessner (1998) han dado un algoritmo simple para calcular términos de orden superior de la expansión. ${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}He_{n}(x)\phi (x)}$ ${\displaystyle He_{n}}$

Téngase en cuenta que en el caso de distribuciones en red (que tienen valores discretos), la expansión de Edgeworth debe ajustarse para tener en cuenta los saltos discontinuos entre los puntos de la red. ^[6]

Ilustración: densidad de la media muestral de tres distribuciones χ²

Densidad de la media muestral de tres variables chi2. El gráfico compara la densidad real, la aproximación normal y dos expansiones de Edgeworth.

Tome y la media de la muestra . ${\displaystyle X_{i}\sim \chi ^{2}(k=2),\,i=1,2,3\,(n=3)}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{3}}\sum _{i=1}^{3}X_{i}}$

Podemos utilizar varias distribuciones para : ${\displaystyle {\bar {X}}}$

• La distribución exacta, que sigue una distribución gamma : . ${\displaystyle {\bar {X}}\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha =n\cdot k/2,\theta =2/n\right)=\mathrm {Gamma} \left(\alpha =3,\theta =2/3\right)}$
• La distribución normal asintótica: . ${\displaystyle {\bar {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(k,2\cdot k/n)=N(2,4/3)}$
• Dos expansiones de Edgeworth, de grados 2 y 3.

Discusión de resultados

• Para muestras finitas, no se garantiza que una expansión de Edgeworth sea una distribución de probabilidad adecuada ya que los valores de CDF en algunos puntos pueden superar . ${\displaystyle [0,1]}$
• Garantizan errores absolutos (asintóticamente) , pero los errores relativos se pueden evaluar fácilmente comparando el término principal de Edgeworth en el resto con el término principal general. ^[2]

Véase también

• Expansión de Cornish-Fisher
• Árbol binomial de Edgeworth

Referencias

1. Stuart, A., y Kendall, MG (1968). La teoría avanzada de la estadística. Hafner Publishing Company.
2. Kolassa, John E. (2006). Métodos de aproximación de series en estadística (3.ª ed.). Springer. ISBN 0387322272.
3. Wallace, DL (1958). "Aproximaciones asintóticas a distribuciones". Anales de estadística matemática . 29 (3): 635–654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 . JSTOR  2237255.
4. Hall, P. (2013). El bootstrap y la expansión de Edgeworth. Springer Science & Business Media.
5. Weisstein, Eric W. "Serie Edgeworth". MathWorld .
6. Kolassa, John E.; McCullagh, Peter (1990). "Serie de Edgeworth para distribuciones reticulares". Anales de Estadística . 18 (2): 981–985. doi : 10.1214/aos/1176347637 . JSTOR  2242145.

Lectura adicional

• H. Cramér . (1957). Métodos matemáticos de estadística . Princeton University Press, Princeton.
• Wallace, DL (1958). "Aproximaciones asintóticas a distribuciones". Anales de estadística matemática . 29 (3): 635–654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 .
• M. Kendall y A. Stuart. (1977), La teoría avanzada de la estadística , Vol 1: Teoría de la distribución, 4ª edición, Macmillan, Nueva York.
• P. McCullagh (1987). Métodos tensoriales en estadística . Chapman and Hall, Londres.
• DR Cox y OE Barndorff-Nielsen (1989). Técnicas asintóticas para uso en estadística . Chapman y Hall, Londres.
• P. Hall (1992). La expansión de Bootstrap y Edgeworth . Springer, Nueva York.
• "Serie Edgeworth", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Blinnikov, S.; Moessner, R. (1998). "Expansiones para distribuciones casi gaussianas" (PDF) . Serie de suplementos de astronomía y astrofísica . 130 : 193–205. arXiv : astro-ph/9711239 . Código Bibliográfico :1998A&AS..130..193B. doi :10.1051/aas:1998221.
• Martin, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Ineficiencia y sesgo del valor en riesgo modificado y del déficit esperado". Journal of Risk . 19 (6): 59–84. doi :10.21314/JOR.2017.365.
• JE Kolassa (2006). Métodos de aproximación de series en estadística (3.ª ed.). (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, Nueva York.