Serie arcotangente

Serie de potencias matemáticas del arcotangente

En matemáticas, la serie arcotangente , tradicionalmente llamada serie de Gregory , es la expansión de la serie de Taylor en el origen de la función arcotangente : ^[1]

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$

Esta serie converge en el disco complejo excepto (donde ). ${\displaystyle |x|\leq 1,}$ ${\displaystyle x=\pm i}$ ${\displaystyle \arctan \pm i=\infty }$

Fue descubierta por primera vez en el siglo XIV por el matemático indio Mādhava de Sangamagrāma ( c.  1340 - c. 1425), fundador de la escuela de Kerala , y está descrita en obras existentes de Nīlakaṇṭha Somayāji (c. 1500) y Jyeṣṭhadeva (c. 1530). El trabajo de Mādhava era desconocido en Europa, y la serie arcotangente fue redescubierta independientemente por James Gregory en 1671 y por Gottfried Leibniz en 1673. ^[2] En la literatura reciente, la serie arcotangente a veces se llama serie Mādhava-Gregory para reconocer la prioridad de Mādhava (véase también serie Mādhava ). ^[3]

El caso especial de la arcotangente de ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ se denomina tradicionalmente fórmula de Leibniz para π , o recientemente a veces fórmula de Mādhava–Leibniz :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots .}$

La convergencia extremadamente lenta de la serie de arcotangentes para hace que esta fórmula sea impráctica per se. Los matemáticos de la escuela de Kerala usaron términos de corrección adicionales para acelerar la convergencia. John Machin (1706) expresó ⁠ ⁠ como una suma de arcotangentes de valores más pequeños, lo que finalmente resultó en una variedad de fórmulas similares a las de Machin para ⁠ ⁠ . Isaac Newton (1684) y otros matemáticos aceleraron la convergencia de la serie mediante varias transformaciones. ${\displaystyle |x|\approx 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Prueba

La derivada de arctan x es 1 / (1 + x ² ) ; inversamente, la integral de 1 / (1 + x ² ) es arctan x .

Si entonces La derivada es ${\displaystyle y=\arctan x}$ ${\displaystyle \tan y=x.}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y.}$

Tomando el recíproco,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Esto a veces se utiliza como definición del arcotangente:

${\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}.}$

La serie de Maclaurin para es una serie geométrica : ${\textstyle x\mapsto \arctan 'x=1{\big /}\left(1+x^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{k}.}$

La serie de Maclaurin se puede encontrar mediante la integración ingenua término por término: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}&=\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+\cdots \right)du\\[5mu]&=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

Si bien esto resulta correcto, las integrales y las sumas infinitas no siempre se pueden intercambiar de esta manera. Para demostrar que la integral de la izquierda converge a la suma de la derecha para números reales, se puede escribir como la suma finita , ^[4] ${\displaystyle |x|\leq 1,}$ ${\displaystyle \arctan '}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots +{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{N}+{\frac {{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+x^{2}}}.}$

Nuevamente integrando ambos lados,

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\sum _{k=0}^{N}{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}+\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du.}$

En el límite, como la integral de la derecha arriba tiende a cero cuando debido a ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle |x|\leq 1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Biggl |}\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du\,{\Biggr |}\,&\leq \int _{0}^{1}{\frac {u^{2N+2}}{1+u^{2}}}\,du\\[5mu]&<\int _{0}^{1}u^{2N+2}du\,=\,{\frac {1}{2N+3}}\,\to \,0.\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

Convergencia

Las series para y convergen dentro del disco complejo , donde ambas funciones son holomorfas . Divergen para porque cuando , hay un polo : ${\textstyle \arctan '}$ ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle |x|<1}$ ${\displaystyle |x|>1}$ ${\displaystyle x=\pm i}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1-1}}={\frac {1}{0}}=\infty .}$

Cuando las sumas parciales alternan entre los valores y nunca convergen al valor ${\displaystyle x=\pm 1,}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\textstyle \arctan '(\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$

Sin embargo, su integral término por término, la serie para (apenas) converge cuando porque está en desacuerdo con su serie solo en el punto , por lo que la diferencia en las integrales se puede hacer arbitrariamente pequeña tomando suficientes términos: ${\textstyle \arctan ,}$ ${\displaystyle x=\pm 1,}$ ${\displaystyle \arctan '}$ ${\displaystyle \pm 1,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{1+u^{2}}}-\sum _{k=0}^{N}(-u^{2})^{k}{\biggr )}du=0}$

Debido a su convergencia extremadamente lenta (se necesitan cinco mil millones de términos para obtener 10 dígitos decimales correctos), la fórmula de Leibniz no es un método práctico muy efectivo para el cálculo. Encontrar formas de evitar esta convergencia lenta ha sido un tema de gran interés matemático. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Serie acelerada

Isaac Newton aceleró la convergencia de la serie arcotangente en 1684 (en un trabajo inédito; otros descubrieron el resultado de forma independiente y más tarde fue popularizado por el libro de texto de Leonhard Euler de 1755; Euler escribió dos pruebas en 1779), produciendo una serie que converge para ^[5] ${\textstyle |x|<\infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}\,{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\\[10mu]&={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{3}}}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {x^{7}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{4}}}+\cdots \\[10mu]&=C(x)\left(S(x)+{\frac {2}{3}}S(x)^{3}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}S(x)^{5}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}S(x)^{7}+\cdots \right),\end{aligned}}}$

donde y ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}C(x)=1{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$ ${\displaystyle \cos(\arctan x)}$ ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}S(x)=x{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$ ${\textstyle \sin(\arctan x).}$

Cada término de esta serie modificada es una función racional con sus polos en el plano complejo , el mismo lugar donde la función arcotangente tiene sus polos. Por el contrario, un polinomio como la serie de Taylor para la arcotangente fuerza todos sus polos al infinito. ${\displaystyle x=\pm i}$

Historia

La primera persona a la que se le puede atribuir la serie con seguridad es Mādhava de Sangamagrāma (c. 1340 – c. 1425). La referencia original (como ocurre con gran parte de la obra de Mādhava) se ha perdido, pero se le atribuye el descubrimiento por varios de sus sucesores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fundada por él. Entre las citas específicas de la serie se incluyen el Tantrasaṅgraha de Nīlakaṇṭha Somayāji (c. 1500), ^{[6] [7]} el Yuktibhāṣā de Jyeṣṭhadeva (c. 1530), ^[8] y el comentario Yukti-dipika de Sankara Variyar , donde se da en los versos 2.206 – 2.209. ^[9] ${\displaystyle \arctan }$

Véase también

• Lista de series matemáticas
• Serie Mādhava

Notas

1. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1989) [1968]. Una historia de las matemáticas (2.ª ed.). Wiley. págs. 428–429. ISBN 9780471097631.
2. Roy 1990.
3. Por ejemplo: Gupta 1973, Gupta 1987;
   Joseph, George Gheverghese (2011) [1.ª ed. 1991]. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (3.ª ed.). Princeton University Press. pág. 428.
   Levrie, Paul (2011). "Perdido y encontrado: una prueba ζ (2) no publicada". Mathematical Intelligencer . 33 : 29–32. doi :10.1007/s00283-010-9179-y. S2CID  121133743.
   Otras combinaciones de nombres incluyen,
   Serie Madhava–Gregory–Leibniz : Benko, David; Molokach, John (2013). "El problema de Basilea como reordenamiento de series". Revista de Matemáticas Universitarias . 44 (3): 171–176. doi :10.4169/college.math.j.44.3.171. S2CID  124737638.
   Serie Madhava–Leibniz–Gregory : Danesi, Marcel (2021). "1. Descubrimiento de π y sus manifestaciones". Pi ( π ) en la naturaleza, el arte y la cultura . Brill. pp. 1–30. doi :10.1163/9789004433397_002. ISBN 978-90-04-43337-3. Número de identificación del sujeto  242107102.
   Serie Nilakantha–Gregory : Campbell, Paul J. (2004). "Borwein, Jonathan y David Bailey, Matemáticas por experimentación ". Reseñas. Revista de Matemáticas . 77 (2): 163. doi :10.1080/0025570X.2004.11953245. S2CID  218541218.
   Fórmula de Gregory–Leibniz–Nilakantha : Gawrońska, Natalia; Słota, Damian; Wituła, Roman; Zielonka, Adam (2013). "Algunas generalizaciones de las series de potencias de Gregory y sus aplicaciones" (PDF) . Revista de Matemáticas Aplicadas y Mecánica Computacional . 12 (3): 79–91. doi :10.17512/jamcm.2013.3.09.
4. Shirali, Shailesh A. (1997). "Nīlakaṇṭha, Euler y π". Resonancia . 2 (5): 29–43. doi :10.1007/BF02838013. S2CID  121433151.Véase también la fe de erratas : Shirali, Shailesh A. (1997). "Apéndice a 'Nīlakaṇṭha, Euler y π'". Resonancia . 2 (11): 112. doi : 10.1007/BF02862651 .
5. Roy, Ranjan (2021) [1.ª ed. 2011]. Series y productos en el desarrollo de las matemáticas . Vol. 1 (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 215-216, 219-220.
   Sandifer, Ed (2009). "Estimación de π" (PDF) . Cómo lo hizo Euler .Reimpreso en How Euler Did Even More . Asociación Matemática de Estados Unidos. 2014. págs. 109–118.
   Newton, Isaac (1971). Whiteside, Derek Thomas (ed.). Los documentos matemáticos de Isaac Newton . Vol. 4, 1674–1684. Cambridge University Press. págs. 526–653.
   Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi Differentialis (en latín). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. §2.2.30 pág. 318.E 212. Capítulos 1–9 traducidos por John D. Blanton (2000) Fundamentos del cálculo diferencial . Springer. Traducido posteriormente por Ian Bruce (2011). Euler's Institutionum Calculi Differentialis. 17centurymaths.com. (Traducción al inglés de §2.2)
   Euler, Leonhard (1798) [escrito en 1779]. "Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae". Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. E 705.
   Hwang Chien-Lih (2005), "Una derivación elemental de la serie de Euler para la función arcotangente", The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi :10.1017/S0025557200178404
6. KV Sarma (ed.). "Tantrasamgraha con traducción al inglés" (PDF) (en sánscrito e inglés). Traducido por VS Narasimhan. Academia Nacional de Ciencias de la India. pág. 48. Archivado desde el original (PDF) el 9 de marzo de 2012. Consultado el 17 de enero de 2010 .
7. Tantrasamgraha , ed. KV Sarma, trad. VS Narasimhan en la Revista india de historia de la ciencia, número que comienza con el vol. 33, n.º 1 de marzo de 1998
8. KV Sarma y S Hariharan (ed.). "Un libro sobre fundamentos en matemáticas y astronomía indias: una evaluación analítica" (PDF) . Yuktibhāṣā de Jyeṣṭhadeva . Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2006 . Consultado el 9 de julio de 2006 .
9. CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: naturaleza de la demostración matemática y la transmisión del cálculo desde la India a Europa en el siglo XVI d. C. Historia de la ciencia, la filosofía y la cultura en la civilización india. Vol. X, parte 4. Nueva Delhi: Centro de Estudios de la Civilización. pág. 231. ISBN 978-81-317-0871-2.

Referencias

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• Gupta, Radha Charan (1973). "La serie Mādhava–Gregory". La educación matemática . 7 : B67–B70.
• Gupta, Radha Charan (1987). "Logros del sur de la India en matemáticas medievales". Ganịta Bhāratī . 9 (1–4): 15–40.Ampliación de una charla pronunciada en la Universidad de Jodhpur. Reimpreso en Ramasubramanian, K., ed. (2019). Gaṇitānanda: Selected Works of Radha Charan Gupta on History of Mathematics . Springer. págs. 417–442. doi :10.1007/978-981-13-1229-8_40.
• Horvath, Miklos (1983). «Sobre la cuadratura leibniziana del círculo» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
• Roy, Ranjan (1990). "El descubrimiento de la fórmula de la serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha" (PDF) . Revista de Matemáticas . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541.