Grupo algebraico lineal

Subgrupo del grupo de matrices n×n invertibles

En matemáticas , un grupo algebraico lineal es un subgrupo del grupo de matrices invertibles (según la multiplicación de matrices ) que se define mediante ecuaciones polinómicas . Un ejemplo es el grupo ortogonal , definido por la relación donde es la transpuesta de . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$ ${\displaystyle M^{T}}$ ${\displaystyle M}$

Muchos grupos de Lie pueden considerarse grupos algebraicos lineales sobre el cuerpo de números reales o complejos . (Por ejemplo, cada grupo de Lie compacto puede considerarse un grupo algebraico lineal sobre R (necesariamente R -anisotrópico y reductivo), al igual que muchos grupos no compactos como el grupo de Lie simple SL( n , R ) .) Los grupos de Lie simples fueron clasificados por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En ese momento, no se hizo un uso especial del hecho de que la estructura del grupo puede definirse por polinomios, es decir, que estos son grupos algebraicos. Los fundadores de la teoría de grupos algebraicos incluyen a Maurer , Chevalley y Kolchin  (1948). En la década de 1950, Armand Borel construyó gran parte de la teoría de grupos algebraicos tal como existe hoy.

Uno de los primeros usos de la teoría fue definir los grupos de Chevalley .

Ejemplos

Para un entero positivo , el grupo lineal general sobre un cuerpo , que consta de todas las matrices invertibles, es un grupo algebraico lineal sobre . Contiene los subgrupos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

que consiste en matrices de la forma, respectivamente,

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$y . ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$

El grupo es un ejemplo de un grupo algebraico lineal unipotente , el grupo es un ejemplo de un grupo algebraico resoluble llamado subgrupo de Borel de . Es una consecuencia del teorema de Lie-Kolchin que cualquier subgrupo resoluble conexo de está conjugado en . Cualquier subgrupo unipotente puede conjugarse en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$

Otro subgrupo algebraico de es el grupo lineal especial de matrices con determinante 1. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$

El grupo se denomina grupo multiplicativo , y se denota habitualmente por . El grupo de puntos es el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero del cuerpo . El grupo aditivo , cuyos puntos son isomorfos al grupo aditivo de , también se puede expresar como un grupo matricial, por ejemplo, como el subgrupo en  : ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$ ${\displaystyle k^{*}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Estos dos ejemplos básicos de grupos algebraicos lineales conmutativos, los grupos multiplicativos y aditivos, se comportan de manera muy diferente en términos de sus representaciones lineales (como grupos algebraicos). Cada representación del grupo multiplicativo es una suma directa de representaciones irreducibles . (Todas sus representaciones irreducibles tienen dimensión 1, de la forma para un entero .) Por el contrario, la única representación irreducible del grupo aditivo es la representación trivial. Por lo tanto, cada representación de (como la representación bidimensional anterior) es una extensión iterada de representaciones triviales, no una suma directa (a menos que la representación sea trivial). La teoría de la estructura de los grupos algebraicos lineales analiza cualquier grupo algebraico lineal en términos de estos dos grupos básicos y sus generalizaciones, toros y grupos unipotentes, como se analiza a continuación. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$

Definiciones

Para un cuerpo algebraicamente cerrado k , gran parte de la estructura de una variedad algebraica X sobre k está codificada en su conjunto X ( k ) de k - puntos racionales , lo que permite una definición elemental de un grupo algebraico lineal. Primero, definamos una función del grupo abstracto GL ( n , k ) a k como regular si puede escribirse como un polinomio en las entradas de una matriz n × n A y en 1/det( A ), donde det es el determinante . Luego, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k es un subgrupo G ( k ) del grupo abstracto GL ( n , k ) para algún número natural n tal que G ( k ) se define por la desaparición de algún conjunto de funciones regulares.

Para un cuerpo arbitrario k , las variedades algebraicas sobre k se definen como un caso especial de esquemas sobre k . En ese lenguaje, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es un esquema de subgrupo cerrado y suave de GL ( n ) sobre k para algún número natural n . En particular, G se define por la desaparición de algún conjunto de funciones regulares en GL ( n ) sobre k , y estas funciones deben tener la propiedad de que para cada k - álgebra conmutativa R , G ( R ) es un subgrupo del grupo abstracto GL ( n , R ). (Por lo tanto, un grupo algebraico G sobre k no es solo el grupo abstracto G ( k ), sino más bien toda la familia de grupos G ( R ) para k - álgebras conmutativas R ; esta es la filosofía de describir un esquema por su funtor de puntos .)

En ambos lenguajes, se tiene la noción de un homomorfismo de grupos algebraicos lineales. Por ejemplo, cuando k es algebraicamente cerrado, un homomorfismo de G ⊂ GL ( m ) a H ⊂ GL ( n ) es un homomorfismo de grupos abstractos G ( k ) → H ( k ) que se define por funciones regulares en G . Esto convierte a los grupos algebraicos lineales sobre k en una categoría . En particular, esto define lo que significa que dos grupos algebraicos lineales sean isomorfos .

En el lenguaje de los esquemas, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es en particular un esquema de grupo sobre k , es decir, un esquema sobre k junto con un k -punto 1 ∈ G ( k ) y morfismos

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

sobre k que satisfacen los axiomas usuales para las aplicaciones de multiplicación e inversa en un grupo (asociatividad, identidad, inversas). Un grupo algebraico lineal también es suave y de tipo finito sobre k , y es afín (como esquema). Por el contrario, cada esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un cuerpo k tiene una representación fiel en GL ( n ) sobre k para algún n . ^[1] Un ejemplo es la incrustación del grupo aditivo G _a en GL (2), como se mencionó anteriormente. Como resultado, uno puede pensar en los grupos algebraicos lineales como grupos matriciales o, más abstractamente, como esquemas de grupo afín suaves sobre un cuerpo. (Algunos autores usan "grupo algebraico lineal" para significar cualquier esquema de grupo afín de tipo finito sobre un cuerpo).

Para una comprensión completa de los grupos algebraicos lineales, uno tiene que considerar esquemas de grupo más generales (no suaves). Por ejemplo, sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0. Entonces el homomorfismo f : G _m → G _m definido por x ↦ x ^p induce un isomorfismo de grupos abstractos k * → k *, pero f no es un isomorfismo de grupos algebraicos (porque x ^{1/ p} no es una función regular). En el lenguaje de los esquemas de grupo, hay una razón más clara por la que f no es un isomorfismo: f es sobreyectiva, pero tiene un núcleo no trivial , a saber, el esquema de grupo μ _p de raíces p ésimas de la unidad. Este problema no surge en característica cero. De hecho, cada esquema de grupo de tipo finito sobre un cuerpo k de característica cero es suave sobre k . ^[2] Un esquema de grupo de tipo finito sobre cualquier cuerpo k es suave sobre k si y solo si está geométricamente reducido , lo que significa que el cambio de base se reduce , donde es un cierre algebraico de k . ^[3] ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Puesto que un esquema afín X está determinado por su anillo O ( X ) de funciones regulares, un esquema de grupo afín G sobre un cuerpo k está determinado por el anillo O ( G ) con su estructura de álgebra de Hopf (que proviene de las funciones de multiplicación e inversa sobre G ). Esto da una equivalencia de categorías (flechas de inversión) entre esquemas de grupo afín sobre k y álgebras de Hopf conmutativas sobre k . Por ejemplo, el álgebra de Hopf correspondiente al grupo multiplicativo G _m = GL (1) es el anillo de polinomios de Laurent k [ x , x ⁻¹ ], con comultiplicación dada por

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

Nociones básicas

Para un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k , el componente identidad G ^o (el componente conexo que contiene el punto 1) es un subgrupo normal de índice finito . Por lo tanto, existe una extensión de grupo

${\displaystyle 1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,}$

donde F es un grupo algebraico finito. (Para k algebraicamente cerrado, F puede identificarse con un grupo finito abstracto). Debido a esto, el estudio de los grupos algebraicos se centra principalmente en los grupos conexos.

Varias nociones de la teoría abstracta de grupos se pueden extender a los grupos algebraicos lineales. Es sencillo definir lo que significa que un grupo algebraico lineal sea conmutativo , nilpotente o resoluble , por analogía con las definiciones de la teoría abstracta de grupos. Por ejemplo, un grupo algebraico lineal es resoluble si tiene una serie de composición de subgrupos algebraicos lineales tales que los grupos cocientes sean conmutativos. Además, el normalizador , el centro y el centralizador de un subgrupo cerrado H de un grupo algebraico lineal G se consideran naturalmente como esquemas de subgrupos cerrados de G. Si son suaves sobre k , entonces son grupos algebraicos lineales como se definió anteriormente.

Se puede preguntar hasta qué punto las propiedades de un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo k están determinadas por el grupo abstracto G ( k ). Un resultado útil en esta dirección es que si el cuerpo k es perfecto (por ejemplo, de característica cero), o si G es reductivo (como se define más adelante), entonces G es uniracional sobre k . Por lo tanto, si además k es infinito, el grupo G ( k ) es denso de Zariski en G . ^[4] Por ejemplo, bajo los supuestos mencionados, G es conmutativo, nilpotente o resoluble si y solo si G ( k ) tiene la propiedad correspondiente.

El supuesto de conectividad no puede omitirse en estos resultados. Por ejemplo, sea G el grupo μ ₃ ⊂ GL (1) de raíces cúbicas de la unidad sobre los números racionales Q . Entonces G es un grupo algebraico lineal sobre Q para el cual G ( Q ) = 1 no es denso de Zariski en G , porque es un grupo de orden 3. ${\displaystyle G({\overline {\mathbf {Q} }})}$

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, hay un resultado más fuerte acerca de los grupos algebraicos como variedades algebraicas: cada grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es una variedad racional . ^[5]

El álgebra de Lie de un grupo algebraico

El álgebra de Lie de un grupo algebraico G se puede definir de varias maneras equivalentes: como el espacio tangente T ₁ ( G ) en el elemento identidad 1 ∈ G ( k ), o como el espacio de derivaciones invariantes por la izquierda . Si k es algebraicamente cerrado, una derivación D : O ( G ) → O ( G ) sobre k del anillo de coordenadas de G es invariante por la izquierda si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

para cada x en G ( k ), donde λ _x : O ( G ) → O ( G ) se induce por multiplicación izquierda por x . Para un cuerpo arbitrario k , la invariancia izquierda de una derivación se define como una igualdad análoga de dos mapas lineales O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). ^[6] El corchete de Lie de dos derivaciones se define por [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁ .

El paso de G a es, por tanto, un proceso de diferenciación . Para un elemento x ∈ G ( k ), la derivada en 1 ∈ G ( k ) de la función de conjugación G → G , g ↦ xgx ⁻¹ , es un automorfismo de , dando la representación adjunta : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Sobre un cuerpo de característica cero, un subgrupo conexo H de un grupo algebraico lineal G está determinado de forma única por su álgebra de Lie . ^[7] Pero no toda subálgebra de Lie de corresponde a un subgrupo algebraico de G , como se ve en el ejemplo del toro G = ( G _m ) ² sobre C . En característica positiva, puede haber muchos subgrupos conexos diferentes de un grupo G con la misma álgebra de Lie (de nuevo, el toro G = ( G _m ) ² proporciona ejemplos). Por estas razones, aunque el álgebra de Lie de un grupo algebraico es importante, la teoría de la estructura de los grupos algebraicos requiere herramientas más globales. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Elementos semisimples y unipotentes

Para un cuerpo algebraicamente cerrado k , una matriz g en GL ( n , k ) se llama semisimple si es diagonalizable y unipotente si la matriz g − 1 es nilpotente . Equivalentemente, g es unipotente si todos los valores propios de g son iguales a 1. La forma canónica de Jordan para matrices implica que cada elemento g de GL ( n , k ) se puede escribir de forma única como un producto g = g _ss g _u tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _u conmutan entre sí.

Para cualquier cuerpo k , se dice que un elemento g de GL ( n , k ) es semisimple si se vuelve diagonalizable sobre la clausura algebraica de k . Si el cuerpo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de g también se encuentran en GL ( n , k ). Finalmente, para cualquier grupo algebraico lineal G ⊂ GL ( n ) sobre un cuerpo k , definamos un k -punto de G como semisimple o unipotente si es semisimple o unipotente en GL ( n , k ). (Estas propiedades son, de hecho, independientes de la elección de una representación fiel de G .) Si el cuerpo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de un k -punto de G están automáticamente en G . Es decir (la descomposición de Jordan ): cada elemento g de G ( k ) puede escribirse de forma única como un producto g = g _ss g _u en G ( k ) tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _u conmutan entre sí. ^[8] Esto reduce el problema de describir las clases de conjugación en G ( k ) a los casos semisimple y unipotente.

Toros

Un toro sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k significa un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ , el producto de n copias del grupo multiplicativo sobre k , para algún número natural n . Para un grupo algebraico lineal G , un toro maximal en G significa un toro en G que no está contenido en ningún toro mayor. Por ejemplo, el grupo de matrices diagonales en GL ( n ) sobre k es un toro maximal en GL ( n ), isomorfo a ( G _m ) ⁿ . Un resultado básico de la teoría es que cualesquiera dos toros maximal en un grupo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^[9] El rango de G significa la dimensión de cualquier toro maximal.

Para un cuerpo arbitrario k , un toro T sobre k significa un grupo algebraico lineal sobre k cuyo cambio de base a la clausura algebraica de k es isomorfo a ( G _m ) ⁿ sobre , para algún número natural n . Un toro dividido sobre k significa un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ sobre k para algún n . Un ejemplo de un toro no dividido sobre los números reales R es ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

con estructura de grupo dada por la fórmula para multiplicar números complejos x + iy . Aquí T es un toro de dimensión 1 sobre R . No está desdoblado, porque su grupo de puntos reales T ( R ) es el grupo del círculo , que no es isomorfo ni siquiera como grupo abstracto a G _m ( R ) = R *.

Todo punto de un toro sobre un cuerpo k es semisimple. Por el contrario, si G es un grupo algebraico lineal conexo tal que cada elemento de es semisimple, entonces G es un toro. ^[10] ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Para un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo general k , no se puede esperar que todos los toros maximales en G sobre k sean conjugados por elementos de G ( k ). Por ejemplo, tanto el grupo multiplicativo G _m como el grupo circular T anteriores ocurren como toros maximales en SL (2) sobre R . Sin embargo, siempre es cierto que cualesquiera dos toros maximales divididos en G sobre k (es decir, toros divididos en G que no están contenidos en un toro dividido más grande ) son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^[11] Como resultado, tiene sentido definir el k -rango o rango dividido de un grupo G sobre k como la dimensión de cualquier toro maximalista dividido en G sobre k .

Para cualquier toro máximo T en un grupo algebraico lineal G sobre un campo k , Grothendieck demostró que es un toro máximo en . ^[12] De ello se deduce que cualesquiera dos toros máximos en G sobre un campo k tienen la misma dimensión, aunque no necesitan ser isomorfos. ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Grupos unipotentes

Sea U _n el grupo de matrices triangulares superiores en GL ( n ) con entradas diagonales iguales a 1, sobre un cuerpo k . Un esquema de grupo sobre un cuerpo k (por ejemplo, un grupo algebraico lineal) se llama unipotente si es isomorfo a un esquema de subgrupo cerrado de U _n para algún n . Es sencillo comprobar que el grupo U _n es nilpotente. Como resultado, todo esquema de grupo unipotente es nilpotente.

Un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es unipotente si y sólo si cada elemento de es unipotente. ^[13] ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

El grupo B _n de matrices triangulares superiores en GL ( n ) es un producto semidirecto

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

donde T _n es el toro diagonal ( G _m ) ⁿ . De manera más general, cada grupo algebraico lineal resoluble conexo es un producto semidirecto de un toro con un grupo unipotente, T ⋉ U . ^[14]

Un grupo unipotente conexo suave sobre un campo perfecto k (por ejemplo, un campo algebraicamente cerrado) tiene una serie de composición con todos los grupos cocientes isomorfos al grupo aditivo G _a . ^[15]

Subgrupos de Borel

Los subgrupos de Borel son importantes para la teoría de la estructura de los grupos algebraicos lineales. Para un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , un subgrupo de Borel de G significa un subgrupo resoluble conexo suave máximo. Por ejemplo, un subgrupo de Borel de GL ( n ) es el subgrupo B de matrices triangulares superiores (todas las entradas debajo de la diagonal son cero).

Un resultado básico de la teoría es que dos subgrupos de Borel cualesquiera de un grupo conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^[16] (Una prueba estándar utiliza el teorema de punto fijo de Borel : para un grupo resoluble conexo G que actúa sobre una variedad propia X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , hay un k -punto en X que está fijado por la acción de G ). La conjugación de los subgrupos de Borel en GL ( n ) equivale al teorema de Lie-Kolchin : cada subgrupo resoluble conexo suave de GL ( n ) es conjugado a un subgrupo del subgrupo triangular superior en GL ( n ).

Para un cuerpo arbitrario k , un subgrupo de Borel B de G se define como un subgrupo sobre k tal que, sobre un cierre algebraico de k , es un subgrupo de Borel de . Por lo tanto, G puede tener o no un subgrupo de Borel sobre k . ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle B_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Para un esquema de subgrupo cerrado H de G , el espacio cociente G / H es un esquema cuasi-proyectivo suave sobre k . ^[17] Un subgrupo suave P de un grupo conexo G se llama parabólico si G / P es proyectivo sobre k (o equivalentemente, propio sobre k ). Una propiedad importante de los subgrupos de Borel B es que G / B es una variedad proyectiva, llamada variedad bandera de G . Es decir, los subgrupos de Borel son subgrupos parabólicos. Más precisamente, para k algebraicamente cerrado, los subgrupos de Borel son exactamente los subgrupos parabólicos mínimos de G ; a la inversa, cada subgrupo que contiene un subgrupo de Borel es parabólico. ^[18] Por lo tanto, se pueden enumerar todos los subgrupos parabólicos de G (hasta la conjugación por G ( k )) enumerando todos los subgrupos algebraicos lineales de G que contienen un subgrupo de Borel fijo. Por ejemplo, los subgrupos P ⊂ GL (3) sobre k que contienen el subgrupo de Borel B de matrices triangulares superiores son B mismo, todo el grupo GL (3) y los subgrupos intermedios

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$y ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Las variedades homogéneas proyectivas correspondientes GL (3)/ P son (respectivamente): la variedad bandera de todas las cadenas de subespacios lineales

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

con V _i de dimensión i ; un punto; el espacio proyectivo P ^{2 de líneas (} subespacios lineales unidimensionales ) en A ³ ; y el espacio proyectivo dual P ² de planos en A ³ .

Grupos semisimples y reductivos

Un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se denomina semisimple si todo subgrupo normal resoluble conexo suave de G es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se denomina reductivo si todo subgrupo normal unipotente conexo suave de G es trivial. ^[19] (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos sean conexos). Un grupo semisimple es reductivo. Un grupo G sobre un cuerpo arbitrario k se denomina semisimple o reductivo si es semisimple o reductivo. Por ejemplo, el grupo SL ( n ) de matrices n × n con determinante 1 sobre cualquier cuerpo k es semisimple, mientras que un toro no trivial es reductivo pero no semisimple. Asimismo, GL ( n ) es reductivo pero no semisimple (porque su centro G _m es un subgrupo normal resoluble conexo suave no trivial). ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Todo grupo de Lie compacto conexo tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción da una correspondencia biunívoca entre grupos de Lie compactos conexos y grupos reductivos complejos, hasta el isomorfismo. ^[20]

Un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k se llama simple (o k - simple ) si es semisimple, no trivial, y cada subgrupo normal conexo suave de G sobre k es trivial o igual a G. ^[21] (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple" . ) Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, en que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier entero n al menos 2 y cualquier cuerpo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple, y su centro es el esquema de grupo μ _n de raíces n- ésimas de la unidad.

Todo grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto k es (de manera única) una extensión de un grupo reductivo R por un grupo unipotente conexo suave U , llamado radical unipotente de G :

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

Si k tiene característica cero, entonces se tiene la descomposición de Levi más precisa : cada grupo algebraico lineal conexo G sobre k es un producto semidirecto de un grupo reductivo por un grupo unipotente. ^[22] ${\displaystyle R\ltimes U}$

Clasificación de los grupos reductores

Los grupos reductivos incluyen los grupos algebraicos lineales más importantes en la práctica, como los grupos clásicos : GL ( n ), SL ( n ), los grupos ortogonales SO ( n ) y los grupos simplécticos Sp (2 n ). Por otra parte, la definición de grupos reductivos es bastante "negativa", y no está claro que se pueda esperar decir mucho sobre ellos. Notablemente, Claude Chevalley dio una clasificación completa de los grupos reductivos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado: están determinados por datos raíz . ^[23] En particular, los grupos simples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k se clasifican (hasta cocientes por esquemas de subgrupos centrales finitos) por sus diagramas de Dynkin . Es sorprendente que esta clasificación sea independiente de la característica de k . Por ejemplo, los grupos de Lie excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ y E ₈ pueden definirse en cualquier característica (e incluso como esquemas de grupo sobre Z ). La clasificación de grupos finitos simples dice que la mayoría de los grupos finitos simples surgen como el grupo de k puntos de un grupo algebraico simple sobre un cuerpo finito k , o como variantes menores de esa construcción.

Todo grupo reductivo sobre un cuerpo es el cociente, mediante un esquema de subgrupo central finito, del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Para un cuerpo arbitrario k , un grupo reductivo G se llama partido si contiene un toro maximal partido sobre k (es decir, un toro partido en G que permanece máximo sobre un cierre algebraico de k ). Por ejemplo, GL ( n ) es un grupo reductivo partido sobre cualquier cuerpo k . Chevalley demostró que la clasificación de grupos reductivos partidos es la misma sobre cualquier cuerpo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede ser difícil, dependiendo del cuerpo base. Por ejemplo, cada forma cuadrática no degenerada q sobre un cuerpo k determina un grupo reductivo SO ( q ), y cada álgebra simple central A sobre k determina un grupo reductivo SL ₁ ( A ). Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrados, y se entienden para algunos otros cuerpos como los cuerpos numéricos , pero para cuerpos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.

Aplicaciones

Teoría de la representación

Una razón de la importancia de los grupos reductivos proviene de la teoría de la representación. Toda representación irreducible de un grupo unipotente es trivial. De manera más general, para cualquier grupo algebraico lineal G escrito como una extensión

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1}$

con U unipotente y R reductivo, toda representación irreducible de G se factoriza a través de R . ^[24] Esto centra la atención en la teoría de representación de grupos reductivos. (Para ser claros, las representaciones consideradas aquí son representaciones de G como un grupo algebraico . Por lo tanto, para un grupo G sobre un cuerpo k , las representaciones están en espacios vectoriales k , y la acción de G está dada por funciones regulares. Es un problema importante pero diferente clasificar representaciones continuas del grupo G ( R ) para un grupo reductivo real G , o problemas similares sobre otros cuerpos).

Chevalley demostró que las representaciones irreducibles de un grupo reductivo dividido sobre un cuerpo k son de dimensión finita y están indexadas por pesos dominantes . ^[25] Esto es lo mismo que ocurre en la teoría de representación de grupos de Lie compactos conexos, o la teoría de representación de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples complejas . Para k de característica cero, todas estas teorías son esencialmente equivalentes. En particular, cada representación de un grupo reductivo G sobre un cuerpo de característica cero es una suma directa de representaciones irreducibles, y si G está dividido, los caracteres de las representaciones irreducibles están dados por la fórmula de caracteres de Weyl . El teorema de Borel-Weil da una construcción geométrica de las representaciones irreducibles de un grupo reductivo G en característica cero, como espacios de secciones de fibrados de líneas sobre la variedad de banderas G / B.

La teoría de la representación de grupos reductivos (distintos de los toros) sobre un cuerpo de característica positiva p es menos conocida. En esta situación, una representación no necesita ser una suma directa de representaciones irreducibles. Y aunque las representaciones irreducibles están indexadas por pesos dominantes, las dimensiones y caracteres de las representaciones irreducibles se conocen solo en algunos casos. Andersen, Jantzen y Soergel (1994) determinaron estos caracteres (probando la conjetura de Lusztig ) cuando la característica p es suficientemente grande en comparación con el número de Coxeter del grupo. Para primos pequeños p , ni siquiera hay una conjetura precisa.

Acciones grupales y teoría de invariantes geométricos

Una acción de un grupo algebraico lineal G sobre una variedad (o esquema) X sobre un cuerpo k es un morfismo

${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

que satisface los axiomas de una acción grupal . Como en otros tipos de teoría de grupos, es importante estudiar las acciones grupales, ya que los grupos surgen naturalmente como simetrías de objetos geométricos.

Parte de la teoría de las acciones de grupo es la teoría de invariantes geométricos , que pretende construir una variedad cociente X / G , describiendo el conjunto de órbitas de un grupo algebraico lineal G sobre X como una variedad algebraica. Surgen varias complicaciones. Por ejemplo, si X es una variedad afín, entonces se puede intentar construir X / G como Spec del anillo de invariantes O ( X ) ^G . Sin embargo, Masayoshi Nagata demostró que el anillo de invariantes no necesita ser generado finitamente como un k -álgebra (y por lo tanto Spec del anillo es un esquema pero no una variedad), una respuesta negativa al 14º problema de Hilbert . En la dirección positiva, el anillo de invariantes se genera finitamente si G es reductivo, por el teorema de Haboush , demostrado en característica cero por Hilbert y Nagata.

La teoría del invariante geométrico implica más sutilezas cuando un grupo reductivo G actúa sobre una variedad proyectiva X . En particular, la teoría define subconjuntos abiertos de puntos "estables" y "semistables" en X , con el morfismo cociente definido únicamente en el conjunto de puntos semiestables.

Nociones relacionadas

Los grupos algebraicos lineales admiten variantes en varias direcciones. Si se descarta la existencia de la función inversa , se obtiene la noción de monoide algebraico lineal . ^[26] ${\displaystyle i\colon G\to G}$

Grupos de mentiras

Para un grupo algebraico lineal G sobre los números reales R , el grupo de puntos reales G ( R ) es un grupo de Lie , esencialmente porque los polinomios reales, que describen la multiplicación sobre G , son funciones suaves . Del mismo modo, para un grupo algebraico lineal G sobre C , G ( C ) es un grupo de Lie complejo . Gran parte de la teoría de los grupos algebraicos se desarrolló por analogía con los grupos de Lie.

Hay varias razones por las que un grupo de Lie puede no tener la estructura de un grupo algebraico lineal sobre R.

• Un grupo de Lie con un grupo infinito de componentes G/G ^o no puede realizarse como un grupo algebraico lineal.
• Un grupo algebraico G sobre R puede ser conexo como un grupo algebraico mientras que el grupo de Lie G ( R ) no es conexo, y lo mismo para los grupos simplemente conexos . Por ejemplo, el grupo algebraico SL (2) es simplemente conexo sobre cualquier cuerpo, mientras que el grupo de Lie SL (2, R ) tiene un grupo fundamental isomorfo a los enteros Z . La doble cubierta H de SL (2, R ), conocida como el grupo metapléctico , es un grupo de Lie que no puede verse como un grupo algebraico lineal sobre R . Más fuertemente, H no tiene una representación fiel de dimensión finita.
• Anatoly Maltsev demostró que cada grupo de Lie nilpotente simplemente conexo puede ser visto como un grupo algebraico unipotente G sobre R de una manera única. ^[27] (Como variedad, G es isomorfo al espacio afín de alguna dimensión sobre R .) Por el contrario, hay grupos de Lie resolubles simplemente conexos que no pueden ser vistos como grupos algebraicos reales. Por ejemplo, la cubierta universal H del producto semidirecto S ¹ ⋉ R ² tiene centro isomorfo a Z , que no es un grupo algebraico lineal, y por lo tanto H no puede ser visto como un grupo algebraico lineal sobre R .

Variedades abelianas

Los grupos algebraicos que no son afines se comportan de forma muy diferente. En particular, un esquema de grupo conexo suave que es una variedad proyectiva sobre un cuerpo se denomina variedad abeliana . A diferencia de los grupos algebraicos lineales, toda variedad abeliana es conmutativa. No obstante, las variedades abelianas tienen una rica teoría. Incluso el caso de las curvas elípticas (variedades abelianas de dimensión 1) es central para la teoría de números , con aplicaciones que incluyen la prueba del Último Teorema de Fermat .

Categorías de Tannakian

Las representaciones de dimensión finita de un grupo algebraico G , junto con el producto tensorial de representaciones, forman una categoría tannakiana Rep _G . De hecho, las categorías tannakianas con un "funtor de fibra" sobre un cuerpo son equivalentes a los esquemas de grupos afines. (Todo esquema de grupo afín sobre un cuerpo k es pro-algebraico en el sentido de que es un límite inverso de esquemas de grupos afines de tipo finito sobre k . ^[28] ) Por ejemplo, el grupo de Mumford-Tate y el grupo de Galois motívico se construyen utilizando este formalismo. Ciertas propiedades de un grupo (pro-)algebraico G pueden leerse a partir de su categoría de representaciones. Por ejemplo, sobre un cuerpo de característica cero, Rep _G es una categoría semisimple si y solo si el componente identidad de G es pro-reductivo. ^[29]

Véase también

• Los grupos de tipo Lie son los grupos simples finitos construidos a partir de grupos algebraicos simples sobre cuerpos finitos.
• Teorema de Lang
• Variedad bandera generalizada , descomposición de Bruhat , par BN , grupo de Weyl , subgrupo de Cartan , grupo de tipo adjunto , inducción parabólica
• Forma real (teoría de Lie) , diagrama de Satake
• Grupo algebraico adélico , conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
• Clasificación Langlands , programa Langlands , programa Langlands geométrico
• Torsor , cohomología no abeliana , grupo especial , invariante cohomológico , dimensión esencial , conjetura de Kneser-Tits , conjetura de Serre II
• Grupo pseudo-reductivo
• Teoría diferencial de Galois
• Distribución en un grupo algebraico lineal

Notas

1. Milne (2017), Corolario 4.10.
2. Milne (2017), Corolario 8.39.
3. Milne (2017), Proposición 1.26(b).
4. Borel (1991), Teorema 18.2 y Corolario 18.4.
5. Borel (1991), Observación 14.14.
6. Milne (2017), sección 10.e.
7. Borel (1991), sección 7.1.
8. Milne (2017), Teorema 9.18.
9. Borel (1991), Corolario 11.3.
10. Milne (2017), Corolario 17.25
11. Springer (1998), Teorema 15.2.6.
12. Borel (1991), 18.2(i).
13. Milne (2017), Corolario 14.12.
14. Borel (1991), Teorema 10.6.
15. Borel (1991), Teorema 15.4(iii).
16. Borel (1991), Teorema 11.1.
17. Milne (2017), Teoremas 7.18 y 8.43.
18. Borel (1991), Corolario 11.2.
19. Milne (2017), Definición 6.46.
20. Bröcker y tom Dieck (1985), sección III.8; Conrad (2014), sección D.3.
21. Conrad (2014), después de la Proposición 5.1.17.
22. Conrad (2014), Proposición 5.4.1.
23. Springer (1998), 9.6.2 y 10.1.1.
24. Milne (2017), Lema 19.16.
25. Milne (2017), Teorema 22.2.
26. Renner, Lex (2006), Monoides algebraicos lineales , Springer.
27. Milne (2017), Teorema 14.37.
28. Deligne y Milne (1982), Corolario II.2.7.
29. Deligne y Milne (1982), Observación II.2.28.

Referencias

• Andersen, HH ; Jantzen, JC ; Soergel, W. (1994), Representaciones de grupos cuánticos en una raíz p de la unidad y de grupos semisimples en característica p : Independencia de p, Astérisque, vol. 220, Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1272539
• Borel, Armand (1991) [1969], Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, Sr.  1102012
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representaciones de grupos de mentiras compactas , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9, Sr.  0781344
• Conrad, Brian (2014), "Esquemas de grupos reductivos" (PDF) , Autour des schémas en groupes , vol. 1, París: Société Mathématique de France , págs. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, Sr.  3309122
• Deligne, Pierre ; Milne, JS (1982), "Categorías de Tannakian", Ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura , Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer Nature , págs. 101–228, ISBN 3-540-11174-3, Sr.  0654325
• De Medts, Tom (2019), Grupos algebraicos lineales (apuntes del curso) (PDF) , Universidad de Gante
• Humphreys, James E. (1975), Grupos algebraicos lineales , Springer, ISBN 0-387-90108-6, Sr.  0396773
• Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 49 (1): 1–42, doi :10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, MR  0024884
• Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupos de tipo finito sobre un campo, Cambridge University Press , ISBN 978-1107167483, Sr.  3729270
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.), Nueva York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, Sr.  1642713

Enlaces externos

• "Grupo algebraico lineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]