Semicontinuidad

Propiedad de las funciones que es más débil que la continuidad.

En análisis matemático , la semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de funciones extendidas de valores reales que es más débil que la continuidad . Una función extendida de valor real es semicontinua superior (respectivamente, inferior ) en un punto si, en términos generales, los valores de la función para los argumentos cerca no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en un cierto punto para algunos , entonces el resultado es semicontinuo superior; si reducimos su valor a entonces el resultado es semicontinuo inferior. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Una función semicontinua superior que no es semicontinua inferior. El punto azul sólido indica ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Una función semicontinua inferior que no es semicontinua superior. El punto azul sólido indica ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

La noción de función semicontinua superior e inferior fue introducida y estudiada por primera vez por René Baire en su tesis de 1899. ^[1]

Definiciones

Supongamos que todo eso es un espacio topológico y es una función con valores en los números reales extendidos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

Semicontinuidad superior

Una función se llama semicontinua superior en un punto si para cada real existe una vecindad tal que para todos . ^[2] De manera equivalente, es semicontinua superior en si y solo si ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)<y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$

límite superior ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Una función se llama semicontinua superior si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^[2] ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) La función es semicontinua superior en cada punto de su dominio .

(2) Todos los conjuntos con están abiertos en , donde . ${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) Todos los conjuntos de supernivel con están cerrados . ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

(4) El hipógrafo está cerrado en . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) La función es continua cuando al codominio se le da la topología de orden izquierdo . Esto es solo una reformulación de la condición (2), ya que todos los intervalos generan la topología de orden izquierdo . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)}$

Semicontinuidad inferior

Una función se llama semicontinua inferior en un punto si para cada real existe una vecindad tal que para todos . De manera equivalente, es semicontinuo inferior en si y solo si ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)>y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$

límite inferior ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Una función se llama semicontinua inferior si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) La función es semicontinua inferior en cada punto de su dominio .

(2) Todos los conjuntos con están abiertos en , donde . ${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) Todos los conjuntos de subniveles están cerrados . ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

(4) El epígrafe se cierra en . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) La función es continua cuando al codominio se le da la topología de orden correcta . Esto es solo una reformulación de la condición (2), ya que todos los intervalos generan la topología de orden correcto . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (y,\infty ]}$

Ejemplos

Considere la función definida por partes por: ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$

${\displaystyle x_{0}=0,}$

La función piso que devuelve el mayor entero menor o igual a un número real dado es semicontinua en todas partes superiores. Del mismo modo, la función del techo es semicontinua inferior. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

La semicontinuidad superior e inferior no tienen relación con la continuidad desde la izquierda o desde la derecha para funciones de una variable real. La semicontinuidad se define en términos de un orden en el rango de funciones, no en el dominio. ^[3] Por ejemplo la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=0}$

Si es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y es el espacio de curvas en (con la distancia suprema ), entonces la longitud funcional que asigna a cada curva su longitud es semicontinua inferior. ^[4] Como ejemplo, considere aproximar la diagonal del cuadrado unitario mediante una escalera desde abajo. La escalera siempre tiene longitud 2, mientras que la línea diagonal solo tiene longitud . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Sea un espacio de medida y denotemos el conjunto de funciones positivas medibles dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a Entonces, según el lema de Fatou, la integral, vista como un operador de a, es semicontinua inferior. ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Propiedades

A menos que se especifique lo contrario, todas las funciones siguientes son desde un espacio topológico hasta los números reales extendidos. Varios de los resultados son válidos para la semicontinuidad en un punto específico, pero por brevedad solo se expresan a partir de la semicontinuidad en todo el dominio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• La función indicadora de un conjunto (definida por if y if ) es semicontinua superior si y solo si es un conjunto cerrado . Es semicontinuo inferior si y sólo si es un conjunto abierto . ^{[nota 1]} ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\notin A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• La suma de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior ^[5] (siempre que la suma esté bien definida, es decir, no sea la forma indeterminada ). Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$

• Si ambas funciones no son negativas, la función producto de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior. El resultado correspondiente es válido para funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle fg}$

• Una función es semicontinua inferior si y sólo si es semicontinua superior. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle -f}$

• La composición de las funciones semicontinuas superiores no es necesariamente semicontinua superior, pero si tampoco es decreciente, entonces es semicontinua superior. ^[6] ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$

• El mínimo y el máximo de dos funciones semicontinuas inferiores son semicontinuas inferiores. En otras palabras, el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores desde a (o hasta ) forma una red . Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El supremo (puntual) de una familia arbitraria de funciones semicontinuas inferiores (definida por ) es semicontinua inferior. ^[7] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

En particular, el límite de una secuencia creciente monótona de funciones continuas es semicontinuo inferior. (El teorema de Baire a continuación proporciona una inversa parcial). La función límite solo será semicontinua inferior en general, no continua. Un ejemplo lo dan las funciones definidas para for ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

Asimismo, el mínimo de una familia arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinua superior. Y el límite de una secuencia monótona decreciente de funciones continuas es semicontinuo superior.

• ( Teorema de Baire ) ^{[nota 2]} Supongamos que es un espacio métrico . Cada función semicontinua inferior es el límite de una secuencia creciente monótona de funciones continuas extendidas de valor real en ; Si no toma el valor , las funciones continuas pueden considerarse de valor real. ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

Y cada función semicontinua superior es el límite de una secuencia monótona decreciente de funciones continuas extendidas de valor real en ; Si no toma el valor, las funciones continuas pueden considerarse de valor real. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty ,}$

• Si es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo acotado cerrado ) y es semicontinuo superior, entonces tiene un máximo en Si es semicontinuo inferior, tiene un mínimo en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C.}$

( Prueba para el caso semicontinuo superior : según la condición (5) en la definición, es continuo cuando se le da la topología de orden izquierdo. Entonces su imagen es compacta en esa topología. Y los conjuntos compactos en esa topología son exactamente los conjuntos con un máximo . Para una demostración alternativa, consulte el artículo sobre el teorema del valor extremo .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(C)}$

• Cualquier función semicontinua superior en un espacio topológico arbitrario es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• El teorema de Tonelli en análisis funcional caracteriza la semicontinuidad inferior débil de funcionales no lineales en espacios L p en términos de la convexidad de otra función.

Ver también

• Continuidad direccional  : función matemática sin cambios repentinosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de inserción de Katětov-Tong  : sobre la existencia de una función continua entre los límites superior e inferior semicontinuos
• Función semicontinua de valor establecido

Notas

1. En el contexto del análisis convexo , la función característica de un conjunto se define de manera diferente, como si y si . Con esa definición, la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x\notin A}$
2. El resultado fue probado por René Baire en 1904 para una función de valor real definida en . Hans Hahn lo amplió a espacios métricos en 1917, y Hing Tong demostró en 1952 que la clase más general de espacios donde se cumple el teorema es la clase de espacios perfectamente normales . (Ver Engelking, Ejercicio 1.7.15(c), p. 62 para detalles y referencias específicas.) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Referencias

1. Muy bien, Matthieu. "Historia de las matemáticas - René Baire".
2. Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4
3. Willard, pág. 49, problema 7K
4. Giaquinta, Mariano (2007). Análisis matemático: estructuras lineales, métricas y continuidad. Giuseppe Modica (1 ed.). Boston: Birkhäuser. Teorema 11.3, p.396. ISBN 978-0-8176-4514-4. OCLC  213079540.
5. Puterman, Martín L. (2005). Procesos de decisión de Markov Programación dinámica estocástica discreta . Wiley-Interscience. págs.602. ISBN 978-0-471-72782-8.
6. Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica . Berlín: Springer. pag. 143.ISBN​ 9783540662358.
7. "Para demostrar que el supremo de cualquier colección de funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior".
8. Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4(g)
9. "Demuestre que la función semicontinua inferior es el supremo de una secuencia creciente de funciones continuas".

Bibliografía

• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funcionales integrales". Revisión SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi :10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• Bourbaki, Nicolás (1998). Elementos de matemáticas: topología general, 1–4 . Saltador. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolás (1998). Elementos de matemáticas: topología general, 5–10 . Saltador. ISBN 3-540-64563-2.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John MH (2003). Contraejemplos en el análisis . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42875-3.
• Hyers, Donald H.; Isaac, George; Rassias, Temístocles M. (1997). Temas de análisis y aplicaciones no lineales . Científico mundial. ISBN 981-02-2534-2.
• Stromberg, Karl (1981). Introducción al Análisis Real Clásico . Wadsworth. ISBN 978-0-534-98012-2.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. SEÑOR  1921556. OCLC  285163112 - vía Internet Archive .