El esquema Semi-Lagrangiano (SLS) es un método numérico ampliamente utilizado en modelos numéricos de predicción meteorológica para la integración de las ecuaciones que gobiernan el movimiento atmosférico. Una descripción lagrangiana de un sistema (como la atmósfera ) se centra en seguir parcelas de aire individuales a lo largo de sus trayectorias, a diferencia de la descripción euleriana , que considera la tasa de cambio de las variables del sistema fijadas en un punto particular del espacio. Un esquema semi-Lagrangiano utiliza el marco euleriano, pero las ecuaciones discretas provienen de la perspectiva lagrangiana.
La tasa de cambio lagrangiana de una cantidad está dada por
donde puede ser un campo escalar o vectorial y es el campo de velocidades. El primer término en el lado derecho de la ecuación anterior es la tasa de cambio local o euleriana y el segundo término a menudo se denomina término de advección . Tenga en cuenta que la tasa de cambio lagrangiana también se conoce como derivada material .
Se puede demostrar que las ecuaciones que gobiernan el movimiento atmosférico se pueden escribir en forma lagrangiana.
donde los componentes del vector son las variables (dependientes) que describen una porción de aire (como velocidad, presión, temperatura, etc.) y la función representa los términos fuente y/o sumidero.
En un esquema lagrangiano, se rastrean parcelas de aire individuales, pero claramente hay ciertos inconvenientes: el número de parcelas puede ser muy grande y a menudo puede ocurrir que una gran cantidad de parcelas se agrupen, dejando regiones relativamente grandes del espacio completamente vacías. Estos vacíos pueden causar problemas computacionales, por ejemplo al calcular derivadas espaciales de diversas cantidades. Hay formas de evitar esto, como la técnica conocida como Hidrodinámica de Partículas Suavizadas , donde una variable dependiente se expresa en forma no local, es decir, como una integral de sí misma multiplicada por una función central.
Los esquemas semi-lagrangianos evitan el problema de tener regiones del espacio esencialmente libres de parcelas.
Los esquemas semi-lagrangianos utilizan una cuadrícula regular (euleriana), al igual que los métodos de diferencias finitas. La idea es la siguiente: en cada paso de tiempo se calcula el punto de origen de un paquete. Luego se utiliza un esquema de interpolación para estimar el valor de la variable dependiente en los puntos de la cuadrícula que rodean el punto de donde se originó la partícula. Las referencias enumeradas contienen más detalles sobre cómo se aplica el esquema Semi-Lagrangiano.
