El esquema semilagrangiano (SLS) es un método numérico que se utiliza ampliamente en los modelos numéricos de predicción meteorológica para la integración de las ecuaciones que rigen el movimiento atmosférico. Una descripción lagrangiana de un sistema (como la atmósfera ) se centra en el seguimiento de las parcelas de aire individuales a lo largo de sus trayectorias, a diferencia de la descripción euleriana , que considera la tasa de cambio de las variables del sistema fijadas en un punto particular del espacio. Un esquema semilagrangiano utiliza el marco euleriano, pero las ecuaciones discretas provienen de la perspectiva lagrangiana.
La tasa de cambio lagrangiana de una cantidad está dada por
donde puede ser un campo escalar o vectorial y es el campo de velocidad. El primer término del lado derecho de la ecuación anterior es la tasa de cambio local o euleriana de y el segundo término se suele denominar término de advección . Tenga en cuenta que la tasa de cambio lagrangiana también se conoce como derivada material .
Se puede demostrar que las ecuaciones que gobiernan el movimiento atmosférico se pueden escribir en forma lagrangiana.
donde los componentes del vector son las variables (dependientes) que describen una parcela de aire (como velocidad, presión, temperatura, etc.) y la función representa términos de fuente y/o sumidero.
En un esquema lagrangiano, se trazan parcelas de aire individuales, pero existen claramente ciertos inconvenientes: el número de parcelas puede ser realmente muy grande y a menudo puede suceder que una gran cantidad de parcelas se agrupen, dejando regiones relativamente grandes del espacio completamente vacías. Tales vacíos pueden causar problemas computacionales, por ejemplo, al calcular derivadas espaciales de varias cantidades. Hay formas de evitar esto, como la técnica conocida como hidrodinámica de partículas suavizadas , donde una variable dependiente se expresa en forma no local, es decir, como una integral de sí misma multiplicada por una función kernel.
Los esquemas semilagrangianos evitan el problema de tener regiones del espacio esencialmente libres de parcelas.
Los esquemas semilagrangianos utilizan una cuadrícula regular (euleriana), al igual que los métodos de diferencias finitas. La idea es la siguiente: en cada paso de tiempo se calcula el punto de origen de una parcela. Luego se utiliza un esquema de interpolación para estimar el valor de la variable dependiente en los puntos de la cuadrícula que rodean el punto de origen de la partícula. Las referencias que se incluyen contienen más detalles sobre cómo se aplica el esquema semilagrangiano.
