Medidas alternativas contra el estrés

En mecánica de medios continuos , la medida de tensión más utilizada es el tensor de tensión de Cauchy , a menudo llamado simplemente tensor de tensión o "tensión verdadera". Sin embargo, se pueden definir varias medidas alternativas de tensión: ^{[1] [2] [3]}

1. El estrés de Kirchhoff ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$
2. La tensión nominal ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$
3. Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff
   1. La primera tensión de Piola-Kirchhoff ( ). Este tensor de tensiones es la transpuesta de la tensión nominal ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
   2. La segunda tensión de Piola-Kirchhoff o tensión PK2 ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$
4. El estrés de Biot ( ) ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Definiciones

Considere la situación que se muestra en la siguiente figura. Las siguientes definiciones utilizan las notaciones que se muestran en la figura.

En la configuración de referencia , la normal exterior a un elemento de superficie es y la tracción que actúa sobre esa superficie (suponiendo que se deforma como un vector genérico que pertenece a la deformación) es lo que genera un vector de fuerza . En la configuración deformada , el elemento de superficie cambia a con la normal exterior y el vector de tracción que genera una fuerza . Tenga en cuenta que esta superficie puede ser un corte hipotético dentro del cuerpo o una superficie real. La cantidad es el tensor de gradiente de deformación , es su determinante. ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle J}$

Estrés de Cauchy

La tensión de Cauchy (o tensión verdadera) es una medida de la fuerza que actúa sobre un elemento de área en la configuración deformada. Este tensor es simétrico y se define mediante

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

o

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

donde es la tracción y es la normal a la superficie sobre la que actúa la tracción. ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Estrés de Kirchhoff

La cantidad,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

Se denomina tensor de tensión de Kirchhoff , con determinante de . Se utiliza ampliamente en algoritmos numéricos en plasticidad de metales (donde no hay cambios en el volumen durante la deformación plástica). También se lo puede llamar tensor de tensión de Cauchy ponderado . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Estrés de Piola-Kirchhoff

Estrés nominal/Primera tensión de Piola-Kirchhoff

La tensión nominal es la transpuesta de la primera tensión de Piola-Kirchhoff (tensión PK1, también llamada tensión de ingeniería) y se define mediante ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

o

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

Esta tensión es asimétrica y es un tensor de dos puntos, como el gradiente de deformación.
La asimetría se deriva del hecho de que, como tensor, tiene un índice asociado a la configuración de referencia y otro a la configuración deformada. ^[4]

Segunda prueba de Piola-Kirchhoff

Si retrocedemos a la configuración de referencia obtenemos la tracción que actúa sobre esa superficie antes de la deformación suponiendo que se comporta como un vector genérico perteneciente a la deformación. En particular tenemos ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

o,

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

La tensión PK2 ( ) es simétrica y se define mediante la relación ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

Estrés biot

La tensión de Biot es útil porque es conjugada energéticamente con el tensor de estiramiento derecho . La tensión de Biot se define como la parte simétrica del tensor donde es el tensor de rotación obtenido a partir de una descomposición polar del gradiente de deformación. Por lo tanto, el tensor de tensión de Biot se define como ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

El estrés de Biot también se llama estrés de Jaumann.

La cantidad no tiene ninguna interpretación física. Sin embargo, la tensión de Biot no simetrizada tiene la interpretación ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Relaciones

Relaciones entre la tensión de Cauchy y la tensión nominal

De la fórmula de Nanson que relaciona las áreas en las configuraciones de referencia y deformada:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Ahora,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Por eso,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

En notación de índice,

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

Tenga en cuenta que y no son (generalmente) simétricos porque no es (generalmente) simétrico. ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Relaciones entre la tensión nominal y la segunda tensión P–K

Recuerde que

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

y

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

o (usando la simetría de ), ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

En notación de índice,

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

Alternativamente, podemos escribir

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

Relaciones entre la tensión de Cauchy y la segunda tensión P–K

Recuerde que

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

En términos del 2do estrés PK, tenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

En notación de índice,

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

Dado que la tensión de Cauchy (y por lo tanto la tensión de Kirchhoff) es simétrica, la segunda tensión PK también es simétrica.

Alternativamente, podemos escribir

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Claramente, de la definición de las operaciones de empuje hacia adelante y de retroceso , tenemos:

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Por lo tanto, el retroceso de es y el empuje hacia delante de es . ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

Resumen de la fórmula de conversión

Llave: $${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

Véase también

• Estrés (física)
• Teoría de la deformación finita
• Mecánica de medios continuos
• Material hiperelástico
• Material elástico Cauchy
• Análisis del plano crítico

Referencias

1. J. Bonet y RW Wood, Mecánica continua no lineal para análisis de elementos finitos , Cambridge University Press.
2. RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover.
3. LD Landau, EM Lifshitz, Teoría de la elasticidad , tercera edición
4. Elasticidad tridimensional. Elsevier. 1 de abril de 1988. ISBN 978-0-08-087541-5.