En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Bloch describe el comportamiento de funciones holomorfas definidas en el disco unitario . Da un límite inferior al tamaño de un disco en el que existe una función inversa a una holomorfa. Lleva el nombre de André Bloch .
Sea f una función holomorfa en el disco unitario | z | ≤ 1 para el cual
El teorema de Bloch establece que existe un disco S ⊂ D en el que f es biholomórfico y f(S) contiene un disco con radio 1/72.
Si f es una función holomorfa en el disco unitario con la propiedad | f′ (0)| = 1, entonces sea L f el radio del disco más grande contenido en la imagen de f .
El teorema de Landau establece que existe una constante L definida como el mínimo de L f sobre todas esas funciones f , y que L es mayor que la constante de Bloch L ≥ B.
Este teorema lleva el nombre de Edmund Landau .
El teorema de Bloch se inspiró en el siguiente teorema de Georges Valiron :
Teorema. Si f es una función completa no constante , entonces existen discos D de radio arbitrariamente grande y funciones analíticas φ en D tales que f (φ ( z )) = z para z en D.
El teorema de Bloch corresponde al teorema de Valiron mediante el llamado principio de Bloch .
Primero probamos el caso en el que f (0) = 0, f′ (0) = 1 y | f′ ( z )| ≤ 2 en el disco unitario.
Por la fórmula integral de Cauchy , tenemos un límite
donde γ es el círculo de radio r en sentido antihorario alrededor de z , y 0 < r < 1 − | z |.
Según el teorema de Taylor , para cada z en el disco unitario, existe 0 ≤ t ≤ 1 tal que f ( z ) = z + z 2 f″ ( tz ) / 2.
Por lo tanto, si | z | = 1/3 y | w | < 1/6, tenemos
Según el teorema de Rouché , el rango de f contiene el disco de radio 1/6 alrededor de 0.
Sea D ( z 0 , r ) el disco abierto de radio r alrededor de z 0 . Para una función analítica g : D ( z 0 , r ) → C tal que g ( z 0 ) ≠ 0, el caso anterior se aplica a ( g ( z 0 + rz ) − g ( z 0 )) / ( rg′ ( 0)) implica que el rango de g contiene D ( g ( z 0 ), | g′ (0)| r / 6).
Para el caso general, sea f una función analítica en el disco unitario tal que | f′ (0)| = 1, yz 0 = 0.
Repitiendo este argumento, encontramos un disco de radio de al menos 1/24 en el rango de f , demostrando el teorema, o encontramos una secuencia infinita ( z n ) tal que | z norte − z norte −1 | < 1/2 n +1 y | f′ ( z norte )| > 2| f′ ( z norte −1 )|.
En el último caso, la secuencia está en D (0, 1/2), por lo que f′ no está acotada en D (0, 1/2), una contradicción.
En la demostración anterior del teorema de Landau, el teorema de Rouché implica que no sólo podemos encontrar un disco D de radio al menos 1/24 en el rango de f , sino que también hay un pequeño disco D 0 dentro del disco unitario tal que por cada w ∈ D hay un único z ∈ D 0 con f ( z ) = w . Por lo tanto, f es una función analítica biyectiva de D 0 ∩ f −1 ( D ) a D , por lo que su inversa φ también es analítica según el teorema de la función inversa .
El número B se llama constante de Bloch . El límite inferior 1/72 del teorema de Bloch no es el mejor posible. El teorema de Bloch nos dice B ≥ 1/72, pero aún se desconoce el valor exacto de B.
Los límites más conocidos para B en la actualidad son
donde Γ es la función Gamma . El límite inferior fue demostrado por Chen y Gauthier, y el límite superior se remonta a Ahlfors y Grunsky.
La constante óptima L definida de manera similar en el teorema de Landau se llama constante de Landau . También se desconoce su valor exacto, pero se sabe que
En su artículo, Ahlfors y Grunsky conjeturaron que sus límites superiores son en realidad los valores verdaderos de B y L.
Para funciones holomorfas inyectivas en el disco unitario, se puede definir de manera similar una constante A. Se sabe que
