Secuencia Somos

En matemáticas , una sucesión de Somos es una sucesión de números definida por una determinada relación de recurrencia , que se describe a continuación. Fueron descubiertas por el matemático Michael Somos . A partir de la forma de su recurrencia definitoria (que implica división), se esperaría que los términos de la sucesión fueran fracciones, pero, sin embargo, muchas sucesiones de Somos tienen la propiedad de que todos sus miembros son números enteros.

Ecuaciones de recurrencia

Para un número entero k mayor que 1, la secuencia Somos- k se define por la ecuación ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}}$

cuando k es impar, o por la ecuación análoga

${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2})^{2}}$

cuando k es par, junto con los valores iniciales

a _i = 1 para i  <  k .

Para k = 2 o 3, estas recursiones son muy simples (no hay adición en el lado derecho) y definen la secuencia de todos los unos (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). En el primer caso no trivial, k  = 4, la ecuación definitoria es

${\displaystyle a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}$

mientras que para k  = 5 la ecuación es

${\displaystyle a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}\,.}$

Estas ecuaciones se pueden reorganizar en la forma de una relación de recurrencia , en la que el valor a _n en el lado izquierdo de la recurrencia se define mediante una fórmula en el lado derecho, dividiendo la fórmula por a _{n  −  k} . Para k  = 4, esto da como resultado la recurrencia

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}}$

mientras que para k  = 5 da la recurrencia

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.}$

Si bien en la definición habitual de las secuencias Somos, los valores de a _i para i  <  k se establecen todos iguales a 1, también es posible definir otras secuencias utilizando las mismas recurrencias con diferentes valores iniciales.

Valores de secuencia

Los valores en la secuencia Somos-4 son

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (secuencia A006720 en la OEIS ).

Los valores en la secuencia Somos-5 son

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (secuencia A006721 en la OEIS ).

Los valores en la secuencia Somos-6 son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (secuencia A006722 en la OEIS ).

Los valores en la secuencia Somos-7 son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (secuencia A006723 en la OEIS ).

Los primeros 17 valores de la secuencia Somos-8 son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 61, 187, 775, 5827, 14815 [el siguiente valor es fraccionario]. ^[1]

Integridad

La forma de las recurrencias que describen las sucesiones de Somos implica divisiones, lo que hace que parezca probable que las sucesiones definidas por estas recurrencias contengan valores fraccionarios. Sin embargo, para k  ≤ 7 las sucesiones de Somos contienen solo valores enteros. ^{[2] [3] [4]} Varios matemáticos han estudiado el problema de probar y explicar esta propiedad entera de las sucesiones de Somos; está estrechamente relacionada con la combinatoria de las álgebras de clusters . ^{[5] [3] [6] [7]}

Para k  ≥ 8, las secuencias definidas de forma análoga contienen eventualmente valores fraccionarios. Para Somos-8, el primer valor fraccionario es el término 18 con valor 420514/7.

Para k  < 7, cambiar los valores iniciales (pero utilizando la misma relación de recurrencia) generalmente también da como resultado valores fraccionarios.

Véase también

• La secuencia de Göbel

Referencias

1. Mase, Takafumi (2013), "El fenómeno de Laurent y los sistemas integrables discretos" (PDF) , La amplitud y profundidad de los sistemas integrables discretos no lineales , RIMS Kôkyûroku Bessatsu, vol. B41, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kioto, págs. 43–64, MR  3220414
2. Malouf, Janice L. (1992), "Una secuencia de números enteros a partir de una recursión racional", Discrete Mathematics , 110 (1–3): 257–261, doi : 10.1016/0012-365X(92)90714-Q.
3. Carroll, Gabriel D.; Speyer, David E. (2004), "La recurrencia del cubo", Electronic Journal of Combinatorics , 11 : R73, arXiv : math.CO/0403417 , doi :10.37236/1826, S2CID  1446749.
4. "Una cronología básica de secuencias de Somos", professor.uml.edu , consultado el 27 de noviembre de 2023
5. Fomín, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), "El fenómeno Laurent", Avances en matemáticas aplicadas , 28 (2): 119–144, arXiv : math.CO/0104241 , doi :10.1006/aama.2001.0770, S2CID  119157629.
6. Hone, Andrew NW (2023), "Arrojando luz sobre las secuencias de sombras de Somos", Glasgow Mathematical Journal , 65 (S1): S87–S101, arXiv : 2111.10905 , doi :10.1017/S0017089522000167, MR  4594276
7. Stone, Alex (18 de noviembre de 2023), "El asombroso comportamiento de las secuencias recursivas", Quanta Magazine

Enlaces externos

• Sitio de secuencia Somos de Jim Propp
• Weisstein, Eric W. , "Secuencia Somos", MathWorld
• El número del alborotador. Vídeo de Numberphile sobre las secuencias de Somos