secuencia de riesz

En matemáticas , una secuencia de vectores ( x _n ) en un espacio de Hilbert se denomina secuencia de Riesz si existen constantes tales que ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

para todas las secuencias de escalares ( a _n ) en el espacio ℓ p ℓ ² . Una secuencia de Riesz se denomina base de Riesz si

${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H}$.

Alternativamente, se puede definir la base de Riesz como una familia de la forma , donde es una base ortonormal para y es un operador biyectivo acotado. Por lo tanto, las bases de Riesz no necesitan ser ortonormales, es decir, son una generalización de las bases ortonormales. ^[1] ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U:H\rightarrow H}$

Criterio de Paley-Wiener

Sea una base ortonormal para un espacio de Hilbert y sea "cerca" de en el sentido de que ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle \left\|\sum a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\sum |a_{i}|^{2}}}}$

para algunas constantes , , y escalares arbitrarios . Entonces es una base de Riesz para . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ${\displaystyle (n=1,2,3,\dotsc )}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle H}$

Teoremas

Si H es un espacio de dimensión finita , entonces cada base de H es una base de Riesz.

Sea en el espacio L p L ² ( R ), sea ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)}$

y sea la transformada de Fourier de . Definamos las constantes c y C con . Entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\varphi }}$ ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

La primera de las condiciones anteriores es la definición de ( ) para formar una base de Riesz para el espacio que abarca . ${\displaystyle {\varphi _{n}}}$

Véase también

• Base ortonormal
• Espacio de Hilbert
• Marco de un espacio vectorial

Notas

1. Antoine y Balazs 2012.
2. Joven 2001, pág. 35.
3. Paley y Wiener 1934, pág. 100.

Referencias

• Antoine, J.-P.; Balazs, P. (2012). "Marcos, semimarcos y escalas de Hilbert". Análisis funcional numérico y optimización . 33 (7–9). arXiv : 1203.0506 . doi :10.1080/01630563.2012.682128. ISSN  0163-0563.
• Christensen, Ole (2001), "Marcos, bases de Riesz y expansiones discretas de Gabor/Wavelet" (PDF) , Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 38 (3): 273–291, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00903-X
• Mallat, Stéphane (2008), Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales: el método disperso (PDF) (3.ª ed.), págs. 46–47, ISBN 9780123743701
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Young, Robert M. (2001). Introducción a las series de Fourier no armónicas, edición revisada, 93 . Academic Press. ISBN 978-0-12-772955-8.

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