En matemáticas , una secuencia de vectores ( x n ) en un espacio de Hilbert se denomina secuencia de Riesz si existen constantes tales que
![{\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todas las secuencias de escalares ( a n ) en el espacio ℓ p ℓ 2 . Una secuencia de Riesz se denomina base de Riesz si
.
Alternativamente, se puede definir la base de Riesz como una familia de la forma , donde es una base ortonormal para y es un operador biyectivo acotado. Por lo tanto, las bases de Riesz no necesitan ser ortonormales, es decir, son una generalización de las bases ortonormales. ![{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Criterio de Paley-Wiener
Sea una base ortonormal para un espacio de Hilbert y sea "cerca" de en el sentido de que ![{\displaystyle \{e_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización: x_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{e_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\|\suma a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\suma |a_{i}|^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algunas constantes , , y escalares arbitrarios . Entonces es una base de Riesz para . ![{\estilo de visualización \lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq \lambda <1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (n=1,2,3,\puntos)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización: x_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teoremas
Si H es un espacio de dimensión finita , entonces cada base de H es una base de Riesz.
Sea en el espacio L p L 2 ( R ), sea
![{\displaystyle \varphi _ {n}(x)=\varphi (xn)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y sea la transformada de Fourier de . Definamos las constantes c y C con . Entonces las siguientes son equivalentes:![{\displaystyle {\sombrero {\varphi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización {\varphi}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La primera de las condiciones anteriores es la definición de ( ) para formar una base de Riesz para el espacio que abarca .![{\displaystyle {\varphi _{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase también
Notas
Referencias
- Antoine, J.-P.; Balazs, P. (2012). "Marcos, semimarcos y escalas de Hilbert". Análisis funcional numérico y optimización . 33 (7–9). arXiv : 1203.0506 . doi :10.1080/01630563.2012.682128. ISSN 0163-0563.
- Christensen, Ole (2001), "Marcos, bases de Riesz y expansiones discretas de Gabor/Wavelet" (PDF) , Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 38 (3): 273–291, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00903-X
- Mallat, Stéphane (2008), Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales: el método disperso (PDF) (3.ª ed.), págs. 46–47, ISBN 9780123743701
- Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
- Young, Robert M. (2001). Introducción a las series de Fourier no armónicas, edición revisada, 93 . Academic Press. ISBN 978-0-12-772955-8.
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