Secuencia regular de plegado de papel

En matemáticas, la secuencia regular de plegado de papel , también conocida como secuencia de curva de dragón , es una secuencia infinita de 0 y 1. Se obtiene a partir de la secuencia parcial repetida

1, ?, 0, ?, 1, ?, 0, ?, 1, ?, 0, ?, ...

completando los signos de interrogación con otra copia de la secuencia completa. Los primeros términos de la secuencia resultante son:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ... (secuencia A014577 en la OEIS )

Si una tira de papel se dobla varias veces por la mitad en la misma dirección, se obtendrán pliegues cuya dirección (izquierda o derecha) viene dada por el patrón de 0 y 1 en los primeros términos de la secuencia regular de plegado de papel. Al abrir cada pliegue para crear una esquina en ángulo recto (o, equivalentemente, al hacer una secuencia de giros a la izquierda y a la derecha a lo largo de una cuadrícula regular, siguiendo el patrón de la secuencia de plegado de papel) se produce una secuencia de cadenas poligonales que se aproxima al fractal de la curva del dragón : ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}-1}$ ${\displaystyle 2^{i}-1}$

Propiedades

El valor de cualquier término dado en la secuencia regular de plegado de papel, que comienza con , se puede encontrar recursivamente de la siguiente manera. Dividir por dos, tantas veces como sea posible, para obtener una factorización de la forma donde es un número impar . Entonces Así, por ejemplo, : dividir 12 por dos, dos veces, deja el número impar 3. Como otro ejemplo, porque 13 es congruente con 1 módulo 4. ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=m\cdot 2^{k}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\0&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$$ ${\displaystyle t_{12}=t_{3}=0}$ ${\displaystyle t_{13}=1}$

La palabra de plegado de papel 1101100111001001..., que se crea concatenando los términos de la secuencia de plegado de papel regular, es un punto fijo de las reglas de morfismo o sustitución de cadenas .

11 → 1101

01 → 1001

10 → 1100

00 → 1000

como sigue:

11 → 1101 → 11011001 → 1101100111001001 → 11011001110010011101100011001001 ...

De las reglas de morfismo se desprende que la palabra paperfolding contiene como máximo tres 0 consecutivos y como máximo tres 1 consecutivos.

La secuencia de plegado de papel también satisface la relación de simetría:

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=2^{k}\\1-t_{2^{k}-n}&{\text{if }}2^{k-1}<n<2^{k}\end{cases}}}$

lo que demuestra que la palabra paperfolding puede construirse como el límite de otro proceso iterado de la siguiente manera:

1

1 1 0

110 1 100

1101100 1 1100100

110110011100100 1 110110001100100

En cada iteración de este proceso, se coloca un 1 al final de la cadena de la iteración anterior, luego esta cadena se repite en orden inverso, reemplazando 0 por 1 y viceversa.

Función generadora

La función generadora de la secuencia de plegado de papel está dada por

${\displaystyle G(t_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}x^{n}\,.}$

De la construcción de la secuencia de plegado de papel se puede ver que G satisface la relación funcional

${\displaystyle G(t_{n};x)=G(t_{n};x^{2})+\sum _{n=0}^{\infty }x^{4n+1}=G(t_{n};x^{2})+{\frac {x}{1-x^{4}}}\,.}$

Constante de plegado de papel

Sustituyendo x = 0,5 en la función generadora se obtiene un número real entre 0 y 1 cuya expansión binaria es la palabra paperfolding

${\displaystyle G(t_{n};{\tfrac {1}{2}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n}}}}$

Este número se conoce como la constante de plegado del papel ^[2] y tiene el valor

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8^{2^{k}}}{2^{2^{k+2}}-1}}=0.85073618820186...}$(secuencia A143347 en la OEIS )

Secuencia general de plegado de papel

La secuencia regular de plegado de papel corresponde a plegar una tira de papel de manera consistente en la misma dirección. Si permitimos que la dirección del plegado varíe en cada paso, obtenemos una clase más general de secuencias. Dada una secuencia binaria ( f _i ), podemos definir una secuencia general de plegado de papel con instrucciones de plegado ( f _i ).

Para una palabra binaria w , sea w ^‡ el inverso del complemento de w . Defina un operador F _a como

${\displaystyle F_{a}:w\mapsto waw^{\ddagger }\ }$

y luego definir una secuencia de palabras dependiendo de ( f _i ) por w ₀ = ε,

${\displaystyle w_{n}=F_{f_{1}}(F_{f_{2}}(\cdots F_{f_{n}}(\varepsilon )\cdots ))\ .}$

El límite w de la sucesión w _n es una sucesión de plegado de papel. La sucesión de plegado de papel regular corresponde a la sucesión de plegado f _i = 1 para todo i .

Si n = m ·2 ^k donde m es impar entonces

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}f_{j}&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\1-f_{j}&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

que puede utilizarse como definición de una secuencia de plegado de papel. ^[3]

Propiedades

• Una secuencia de plegado de papel no es en última instancia periódica. ^[3]
• Una secuencia de plegado de papel es 2- automática si y solo si la secuencia de plegado es en última instancia periódica (1-automática).

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curva del dragón". MathWorld .
2. Weisstein, Eric W. "Constante de plegado de papel". MathWorld .
3. Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 104. Providence, RI : American Mathematical Society . pág. 235. ISBN. 0-8218-3387-1.Zbl 1033.11006  .

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-82332-6.Zbl 1086.11015  .