Medidas alternativas de estrés

En mecánica continua , la medida de tensión más comúnmente utilizada es el tensor de tensión de Cauchy , a menudo llamado simplemente tensor de tensión o "estrés verdadero". Sin embargo, se pueden definir varias medidas alternativas de estrés: ^{[1] [2] [3]}

1. El estrés de Kirchhoff ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$
2. La tensión nominal ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$
3. Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff
   1. El primer estrés de Piola-Kirchhoff ( ). Este tensor de tensión es la transpuesta de la tensión nominal ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
   2. El segundo estrés de Piola-Kirchhoff o estrés PK2 ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$
4. El estrés de Biot ( ) ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Definiciones

Considere la situación que se muestra en la siguiente figura. Las siguientes definiciones utilizan las notaciones que se muestran en la figura.

En la configuración de referencia , la normal exterior a un elemento de superficie es y la tracción que actúa sobre esa superficie (suponiendo que se deforme como un vector genérico perteneciente a la deformación) conduce a un vector de fuerza . En la configuración deformada , el elemento de superficie cambia a una normal hacia afuera y un vector de tracción que genera una fuerza . Tenga en cuenta que esta superficie puede ser un corte hipotético dentro del cuerpo o una superficie real. La cantidad es el tensor del gradiente de deformación , es su determinante. ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle J}$

estrés de cauchy

La tensión de Cauchy (o tensión verdadera) es una medida de la fuerza que actúa sobre un elemento de área en la configuración deformada. Este tensor es simétrico y se define mediante

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

o

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

donde es la tracción y es la normal a la superficie sobre la que actúa la tracción. ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

estrés de Kirchhoff

La cantidad,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

se llama tensor de tensión de Kirchhoff , con el determinante de . Se utiliza ampliamente en algoritmos numéricos sobre plasticidad de metales (donde no hay cambios de volumen durante la deformación plástica). También se le puede llamar tensor de tensión de Cauchy ponderado . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Estrés de Piola-Kirchhoff

Tensión nominal/Primera tensión de Piola-Kirchhoff

La tensión nominal es la transpuesta de la primera tensión de Piola-Kirchhoff (tensión PK1, también llamada tensión de ingeniería) y se define mediante ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

o

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

Esta tensión es asimétrica y es un tensor de dos puntos como el gradiente de deformación.
La asimetría deriva del hecho de que, como tensor, tiene un índice adjunto a la configuración de referencia y otro a la configuración deformada. ^[4]

Segundo estrés de Piola-Kirchhoff

Si volvemos a la configuración de referencia obtenemos la tracción que actúa sobre esa superficie antes de la deformación asumiendo que se comporta como un vector genérico perteneciente a la deformación. En particular tenemos ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

o,

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

La tensión PK2 ( ) es simétrica y se define mediante la relación ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

Estrés biológico

La tensión de Biot es útil porque es energía conjugada con el tensor de estiramiento correcto . La tensión de Biot se define como la parte simétrica del tensor donde está el tensor de rotación obtenido de una descomposición polar del gradiente de deformación. Por tanto, el tensor de tensión de Biot se define como ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

El estrés de Biot también se llama estrés de Jaumann.

La cantidad no tiene ninguna interpretación física. Sin embargo, el estrés de Biot no simetrizado tiene la interpretación ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Relaciones

Relaciones entre el estrés de Cauchy y el estrés nominal

De la fórmula de Nanson que relaciona áreas en las configuraciones de referencia y deformadas:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Ahora,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Por eso,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

En notación de índice,

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

Tenga en cuenta que y (generalmente) no son simétricos porque (generalmente) no son simétricos. ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Relaciones entre la tensión nominal y la segunda tensión P-K

Recordar que

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

y

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

o (usando la simetría de ), ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

En notación de índice,

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

Alternativamente podemos escribir

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

Relaciones entre el estrés de Cauchy y el segundo estrés P-K

Recordar que

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

En términos del segundo estrés PK, tenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

En notación de índice,

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

Dado que la tensión de Cauchy (y por tanto la tensión de Kirchhoff) es simétrica, la tensión del segundo PK también es simétrica.

Alternativamente podemos escribir

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

o,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Claramente, a partir de la definición de las operaciones de avance y retroceso , tenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Por lo tanto, es el retroceso de por y es el impulso de . ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

Resumen de la fórmula de conversión

Llave: $${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

Ver también

• Estrés (física)
• Teoría de la deformación finita
• Mecánica de Medios Continuos
• Material hiperelástico
• Material elástico Cauchy
• Análisis del plano crítico

Referencias

1. J. Bonet y RW Wood, Mecánica continua no lineal para análisis de elementos finitos , Cambridge University Press.
2. RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover.
3. LD Landau, EM Lifshitz, Teoría de la elasticidad , tercera edición
4. Elasticidad tridimensional. Elsevier. 1 de abril de 1988. ISBN 978-0-08-087541-5.