Rotación de la mecha

En física , la rotación de Wick , llamada así en honor al físico italiano Gian Carlo Wick , es un método para encontrar una solución a un problema matemático en el espacio de Minkowski a partir de una solución a un problema relacionado en el espacio euclidiano mediante una transformación que sustituye una variable de número imaginario por una variable de número real.

Las rotaciones de mecha son útiles debido a una analogía entre dos campos importantes pero aparentemente distintos de la física: la mecánica estadística y la mecánica cuántica . En esta analogía, la temperatura inversa desempeña un papel en la mecánica estadística formalmente similar al tiempo imaginario en la mecánica cuántica: es decir, $it$ , donde $t$ es el tiempo e $i$ es la unidad imaginaria ( $i 2 = -1$ ).

Más precisamente, en mecánica estadística, la medida de Gibbs $exp(- H / k B T)$ describe la probabilidad relativa del sistema de estar en cualquier estado dado a la temperatura $T$ , donde $H$ es una función que describe la energía de cada estado y $k B$ es la constante de Boltzmann . En mecánica cuántica, la transformación $exp(- itH / ħ)$ describe la evolución temporal, donde $H$ es un operador que describe la energía (el hamiltoniano ) y $ħ$ es la constante de Planck reducida . La primera expresión se parece a la última cuando $la$ reemplazamos $/$ $ħ$ con $1/ k B T$ , y este reemplazo se llama rotación de Wick. ^[1]

La rotación de Wick se llama rotación porque cuando representamos números complejos como un plano , la multiplicación de un número complejo por la unidad imaginaria es equivalente a rotar en sentido antihorario el vector que representa ese número en un ángulo de magnitud $π /2$ alrededor del origen. ^[2]

Descripción general

La rotación de Wick está motivada por la observación de que la métrica de Minkowski en unidades naturales (con la convención de firma métrica $(- + + +)$ )

ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

y la métrica euclidiana de cuatro dimensiones

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

son equivalentes si se permite que la coordenada $t$ tome valores imaginarios . La métrica de Minkowski se vuelve euclidiana cuando $t$ se restringe al eje imaginario , y viceversa. Tomar un problema expresado en el espacio de Minkowski con coordenadas $x$ , $y$ , $z$ , $t$ y sustituir $t = - iτ$ a veces produce un problema en coordenadas euclidianas reales $x$ , $y$ , $z$ , $τ$ que es más fácil de resolver. Esta solución puede entonces, bajo sustitución inversa, producir una solución al problema original.

Mecánica estadística y cuántica

La rotación de Wick conecta la mecánica estadística con la mecánica cuántica al reemplazar la temperatura inversa con el tiempo imaginario , o más precisamente reemplazando $1/ k B T$ con $it / ħ$ , donde $T$ es la temperatura, $k B$ es la constante de Boltzmann , $t$ es el tiempo y $ħ$ es la constante de Planck reducida .

Por ejemplo, considere un sistema cuántico cuyo hamiltoniano $H$ tiene valores propios $E j$ . Cuando este sistema está en equilibrio térmico a la temperatura $T$ , la probabilidad de encontrarlo en su $j$ º estado propio de energía es proporcional a $exp(-$ $E$ $j$ $/$ $k$ $B$ $T$ $)$ . Por lo tanto, el valor esperado de cualquier observable $Q$ que conmuta con el hamiltoniano es, hasta una constante normalizadora,

\sum_{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},

donde $j$ recorre todos los estados propios de energía y $Q j$ es el valor de $Q$ en el $j-$ ésimo estado propio.

Alternativamente, considere este sistema en una superposición de estados propios de energía , evolucionando durante un tiempo $t$ bajo el hamiltoniano $H$ . Después del tiempo $t$ , el cambio de fase relativo del $j$ º estado propio es $exp(- E j it / ħ)$ . Por lo tanto, la amplitud de probabilidad de que una superposición uniforme (igualmente ponderada) de estados

|\psi\rangle =\suma _{j}|j\rangle

evoluciona a una superposición arbitraria

|Q\rangle =\suma _{j}Q_{j}|j\rangle

es, hasta una constante normalizadora,

\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.

Tenga en cuenta que esta fórmula se puede obtener a partir de la fórmula de equilibrio térmico reemplazando $1/ k B T$ con $it / ħ$ .

Estática y dinámica

La rotación de la mecha relaciona los problemas de estática en $n$ dimensiones con los problemas de dinámica en $n - 1$ dimensiones, intercambiando una dimensión de espacio por una dimensión de tiempo. Un ejemplo simple donde $n = 2$ es un resorte colgante con puntos finales fijos en un campo gravitacional. La forma del resorte es una curva $y (x)$ . El resorte está en equilibrio cuando la energía asociada con esta curva está en un punto crítico (un extremo); este punto crítico es típicamente un mínimo, por lo que esta idea generalmente se llama "el principio de mínima energía". Para calcular la energía, integramos la densidad espacial de energía sobre el espacio:

E=\int _{x}[k({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,

donde $k$ es la constante del resorte y $V (y (x))$ es el potencial gravitacional.

El problema de dinámica correspondiente es el de una piedra lanzada hacia arriba. El camino que sigue la piedra es el que extremaliza la acción ; como antes, este extremo es típicamente un mínimo, por lo que se lo llama el " principio de mínima acción ". La acción es la integral temporal del lagrangiano :

S=\int _{t}[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V{\big (}y(t){\big )}\right]dt.

Obtenemos la solución del problema de dinámica (hasta un factor $i$ ) a partir del problema de estática mediante la rotación de Wick, reemplazando $y (x)$ por $y (it)$ y la constante elástica $k$ por la masa de la roca $m$ :

iS=\int _{t}[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V{\big (}y(it){\big )}\right]dt=i\int _{t}[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (}y(it){\big )}\right]d(it).

Tanto térmico/cuántico como estático/dinámico

En conjunto, los dos ejemplos anteriores muestran cómo la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica se relaciona con la mecánica estadística. Según la mecánica estadística, la forma de cada resorte de un conjunto a temperatura $T$ se desviará de la forma de menor energía debido a fluctuaciones térmicas; la probabilidad de encontrar un resorte con una forma dada disminuye exponencialmente con la diferencia de energía con respecto a la forma de menor energía. De manera similar, una partícula cuántica que se mueve en un potencial puede describirse mediante una superposición de trayectorias, cada una con una fase $exp(iS)$ : las variaciones térmicas en la forma a lo largo del conjunto se han convertido en incertidumbre cuántica en la trayectoria de la partícula cuántica.

Más detalles

La ecuación de Schrödinger y la ecuación del calor también están relacionadas por la rotación de Wick.

La rotación de Wick también relaciona una teoría cuántica de campos a una temperatura inversa finita $β$ con un modelo estadístico-mecánico sobre el "tubo" $R 3 \times S 1$ con la coordenada temporal imaginaria $τ$ siendo periódica con período $β$ . Sin embargo, hay una ligera diferencia. Las funciones estadístico-mecánicas $de n$ puntos satisfacen la positividad, mientras que las teorías cuánticas de campos rotadas por Wick satisfacen la positividad de reflexión . ^{[ se necesita más explicación ]}

Sin embargo, tenga en cuenta que la rotación de Wick no puede verse como una rotación en un espacio vectorial complejo que está equipado con la norma y la métrica convencionales inducidas por el producto interno , ya que en este caso la rotación se cancelaría y no tendría efecto.

Prueba rigurosa

Dirk Schlingemann demostró que se puede construir un vínculo más riguroso entre la teoría euclidiana y la teoría cuántica de campos utilizando los axiomas de Osterwalder-Schrader . ^[3]

Véase también

Referencias

^ Zee, Anthony (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2.ª ed.). Princeton University Press. pág. 289. ISBN 978-1-4008-3532-4.
^ Lancaster, Tom; Blundell, Stephen J. (17 de abril de 2014), "Teoría estadística de campos", Teoría cuántica de campos para aficionados dotados , Oxford University Press, págs. 228-229 , consultado el 12 de noviembre de 2023
^ Schlingemann, Dirk (1999). "De la teoría de campos euclidiana a la teoría de campos cuántica". Reseñas en física matemática . 11 (9): 1151–78. arXiv : hep-th/9802035 . Código Bibliográfico :1999RvMaP..11.1151S. doi :10.1142/S0129055X99000362. ISSN 0129-055X. S2CID 9851483.

Wick, GC (1954). "Propiedades de las funciones de onda de Bethe-Salpeter". Physical Review . 96 (4): 1124–1134. Código Bibliográfico :1954PhRv...96.1124W. doi :10.1103/PhysRev.96.1124.

Enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con Rotación de mecha .

Un resorte en tiempo imaginario: una hoja de trabajo sobre mecánica lagrangiana que ilustra cómo reemplazar la longitud por un tiempo imaginario convierte la parábola de un resorte colgante en la parábola invertida de una partícula lanzada
Gravedad euclidiana: una breve nota de Ray Streater sobre el programa "Gravedad euclidiana".