Intersección de teoría de esquemas

En geometría algebraica , la intersección teórica de esquemas de los subesquemas cerrados X , Y de un esquema W es el producto de fibra de las inmersiones cerradas . Se denota por . ${\displaystyle X\times _{W}Y}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

Localmente, W se da para algún anillo R y X , Y para algunos ideales I , J. Por lo tanto, localmente, la intersección se da como ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

Aquí utilizamos (para esta identidad, consulte el producto tensorial de módulos#Ejemplos ). ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$

Ejemplo : Sea una variedad proyectiva con el anillo de coordenadas homogéneo S/I , donde S es un anillo polinomial. Si es una hipersuperficie definida por algún polinomio homogéneo f en S , entonces ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

Si f es lineal (grados = 1), se llama sección de hiperplano . Véanse también: teorema de Bertini .

Ahora bien, una intersección teórica de esquemas puede no ser una intersección correcta , digamos, desde el punto de vista de la teoría de la intersección . Por ejemplo, ^[1] let = los subesquemas cerrados afines de 4 espacios y X , Y definidos por los ideales y . Dado que X es la unión de dos planos, cada uno de los cuales se cruza con Y en el origen con multiplicidad uno, por la linealidad de la intersección multiplicidad , esperamos que X e Y se crucen en el origen con multiplicidad dos. Por otro lado, se ve que la intersección teórica del esquema consiste en el origen con multiplicidad tres. Es decir, una multiplicidad teórica de esquemas de una intersección puede diferir de una multiplicidad teórica de intersección, esta última dada por la fórmula Tor de Serre . Resolver esta disparidad es uno de los puntos de partida de la geometría algebraica derivada , que pretende introducir la noción de intersección derivada. ${\displaystyle W=\operatorname {Spec} (k[x,y,z,w])}$ ${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$ ${\displaystyle (x-z,y-w)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

intersección adecuada

Sea X un esquema regular y V , W subesquemas integrales cerrados. Entonces una componente irreducible P de se llama propia si la desigualdad (debido a Serre) : ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

es una igualdad. ^[2] La intersección es adecuada si todos sus componentes irreducibles son adecuados (en particular, la intersección vacía se considera adecuada). Se dice que dos ciclos algebraicos se cruzan correctamente si las variedades de los ciclos se cruzan correctamente. ${\displaystyle V\cap W}$

Por ejemplo, dos divisores (ciclos de codimensión uno) en una variedad suave se cruzan correctamente si y sólo si no comparten ningún componente irreducible común. El lema móvil de Chow (en una variedad suave) dice que una intersección se puede hacer adecuada después de reemplazar un divisor por un divisor linealmente equivalente adecuado (cf. teorema de Kleiman ).

La desigualdad de Serre anterior puede fallar en general para un esquema ambiental no regular. Por ejemplo, ^[3] sea . Entonces tiene codimensión uno, mientras que tiene codimensión tres. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$ ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle V\cap W}$

Algunos autores, como Bloch, definen una intersección adecuada sin asumir que X es regular: en las notaciones anteriores, una componente P es adecuada si

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).}$

Ver también

• intersección completa
• Homomorfismo de Gysin

Referencias

1. Hartshorne 1977, Apéndice A: Ejemplo 1.1.1.
2. Fulton 1998, § 20.4.
3. Fulton 1998, ejemplo 7.1.6.

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, señor  1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157