Blanuša gruñe

Dos gráficos de 3 regulares con 18 vértices y 27 aristas

En el campo matemático de la teoría de grafos , los snarks de Blanuša son dos gráficos de 3 regularidades con 18 vértices y 27 aristas. ^[2] Fueron descubiertos por el matemático yugoslavo Danilo Blanuša en 1946 y llevan su nombre. ^[3] Cuando se descubrió, sólo se conocía un snark: el gráfico de Petersen .

Como snarks , los snarks de Blanuša son gráficos cúbicos conectados, sin puentes, con índice cromático igual a 4. Ambos tienen número cromático 3, diámetro 4 y circunferencia 5. No son hamiltonianos pero son hipohamiltonianos . ^[4] Ambos tienen un grosor de libro 3 y un número de cola 2. ^[5]

Propiedades algebraicas

El grupo de automorfismo del primer Blanuša snark es de orden 8 y es isomorfo al grupo diédrico D ₄ , el grupo de simetrías de un cuadrado.

El grupo de automorfismo del segundo Blanuša snark es un grupo abeliano de orden 4 isomorfo al grupo de cuatro de Klein , el producto directo del grupo cíclico Z /2 Z consigo mismo.

El polinomio característico del primer y segundo snark de Blanuša son respectivamente:

${\displaystyle (x-3)(x-1)^{3}(x+1)(x+2)(x^{4}+x^{3}-7x^{2}-5x+6)(x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+4)^{2}\ }$

${\displaystyle (x-3)(x-1)^{3}(x^{3}+2x^{2}-3x-5)(x^{3}+2x^{2}-x-1)(x^{4}+x^{3}-7x^{2}-6x+7)(x^{4}+x^{3}-5x^{2}-4x+3).\ }$

Blanuša generalizado sarcástico

Existe una generalización del primer y segundo snark de Blanuša en dos infinitas familias de snarks de orden 8 n +10 denotados y . Los snarks Blanuša son los miembros más pequeños de esas dos infinitas familias. ^[6] ${\displaystyle B_{n}^{1}}$ ${\displaystyle B_{n}^{2}}$

En 2007, J. Mazák demostró que el índice cromático circular del tipo 1 generalizado Blanuša snarks es igual a . ^[7] ${\displaystyle B_{n}^{1}}$ ${\displaystyle 3+{\frac {2}{n}}}$

En 2008, M. Ghebleh demostró que el índice cromático circular del tipo 2 generalizado Blanuša snarks es igual a . ^[8] ${\displaystyle B_{n}^{2}}$ ${\displaystyle 3+{\frac {1}{\lfloor 1+3n/2\rfloor }}}$

Galería

• 
  El número cromático del primer snark de Blanuša es 3.
• 
  El índice cromático del primer snark de Blanuša es 4.
• 
  El número cromático del segundo snark de Blanuša es 3.
• 
  El índice cromático del segundo Blanuša snark es 4.

Referencias

1. Orbanić, Alen; Pisanski, Tomaž; Randić, Milán; Servacio, Brigitte (2004). "Blanuša doble". Matemáticas. Comunitario. 9 (1): 91-103.
2. Weisstein, Eric W. "Blanuša sarcasmo". MundoMatemático .
3. Blanuša, D. , "Problema cetiriju boja". Estera Glasnik. Fiz. Astro. Ser. II. 1, 31-42, 1946.
4. Eckhard Steen, Matemáticas "Sobre los Snarks bicríticos". Eslovaca, 1997.
5. Wolz, Jessica; Ingeniería de Trazados Lineales con SAT. Tesis de maestría, Universidad de Tübingen, 2018
6. Read, RC y Wilson, RJ Un atlas de gráficos. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, págs. 276 y 280, 1998.
7. J. Mazák, Índice cromático circular de snarks, tesis de maestría, Universidad Comenius de Bratislava, 2007.
8. M. Ghebleh, Índice cromático circular de Blanuša Snarks generalizados, The Electronic Journal of Combinatorics, vol 15, 2008.