salto tau

Método aproximado para la simulación de un sistema estocástico.

En teoría de la probabilidad , el salto tau , o salto τ , es un método aproximado para la simulación de un sistema estocástico . ^[1] Se basa en el algoritmo de Gillespie , realizando todas las reacciones durante un intervalo de longitud tau antes de actualizar las funciones de propensión. ^[2] Al actualizar las tarifas con menos frecuencia, esto a veces permite una simulación más eficiente y, por lo tanto, la consideración de sistemas más grandes.

Se han considerado muchas variantes del algoritmo básico. ^{[3] [4] [5] [6] [7]}

Algoritmo

El algoritmo es análogo al método de Euler para sistemas deterministas, pero en lugar de realizar un cambio fijo

${\displaystyle x(t+\tau )=x(t)+\tau x'(t)}$

el cambio es

${\displaystyle x(t+\tau )=x(t)+P(\tau x'(t))}$

donde es una variable aleatoria con distribución de Poisson con media . ${\displaystyle P(\tau x'(t))}$ ${\displaystyle \tau x'(t)}$

Dado un estado con eventos que ocurren a velocidad y con vectores de cambio de estado (donde indexa las variables de estado e indexa los eventos), el método es el siguiente: ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\{X_{i}(t)\}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle R_{j}(\mathbf {x} (t))}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

1. Inicialice el modelo con las condiciones iniciales . ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\{X_{i}(t_{0})\}}$
2. Calcular las tarifas del evento . ${\displaystyle R_{j}(\mathbf {x} (t))}$
3. Elija un paso de tiempo . Esto puede ser fijo o mediante algún algoritmo que dependa de las distintas tasas de eventos. ${\displaystyle \tau }$
4. Para cada evento se genera , que es el número de veces que ocurre cada evento durante el intervalo de tiempo . ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle K_{j}\sim {\text{Poisson}}(R_{j}\tau )}$ ${\displaystyle [t,t+\tau )}$
5. Actualizar el estado por

   ${\displaystyle \mathbf {x} (t+\tau )=\mathbf {x} (t)+\sum _{j}K_{j}v_{ij}}$

   ¿Dónde está el cambio en la variable de estado debido al evento ? En este punto puede ser necesario comprobar que ninguna población haya alcanzado valores poco realistas (como una población que se vuelve negativa debido a la naturaleza ilimitada de la variable de Poisson ). ${\displaystyle v_{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle K_{j}}$

6. Repita desde el Paso 2 en adelante hasta que se cumpla alguna condición deseada (por ejemplo, una variable de estado particular llega a 0 o se alcanza el tiempo). ${\displaystyle t_{1}}$

Algoritmo para una selección eficiente del tamaño del paso

Este algoritmo está descrito por Cao et al. ^[4] La idea es limitar el cambio relativo en la tasa de cada evento por una tolerancia específica (Cao et al. recomiendan , aunque puede depender de las características específicas del modelo). Esto se logra limitando el cambio relativo en cada variable de estado por , donde depende de la tasa que cambia más para un cambio dado en . Normalmente es igual a la tasa de eventos de orden más alto, pero esto puede ser más complejo en diferentes situaciones (especialmente en modelos epidemiológicos con tasas de eventos no lineales). ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon =0.03}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \epsilon /g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$

Este algoritmo generalmente requiere calcular valores auxiliares (donde está el número de variables de estado ) y solo debería requerir reutilizar valores calculados previamente . Un factor importante en esto, dado que es un valor entero, entonces hay un valor mínimo por el cual puede cambiar, evitando que el cambio relativo esté limitado por 0, lo que resultaría en tender también a 0. ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle R_{j}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle \tau }$

1. Para cada variable de estado , calcule los valores auxiliares. ${\displaystyle X_{i}}$

   ${\displaystyle \mu _{i}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}R_{j}(\mathbf {x} )}$

   ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}^{2}R_{j}(\mathbf {x} )}$

2. Para cada variable de estado , determine el evento de mayor orden en el que está involucrada y obtenga ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$
3. Calcular el paso de tiempo como ${\displaystyle \tau }$

   ${\displaystyle \tau =\min _{i}{\left\{{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}}{|\mu _{i}(\mathbf {x} )|}},{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}^{2}}{\sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )}}\right\}}}$

Este cálculo se utiliza luego en el Paso 3 del algoritmo de salto. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Referencias

1. Gillespie, DT (2001). "Simulación estocástica acelerada aproximada de sistemas que reaccionan químicamente" (PDF) . La Revista de Física Química . 115 (4): 1716-1733. Código Bib : 2001JChPh.115.1716G. doi :10.1063/1.1378322.
2. Erhard, F.; Friedel, CC; Zimmer, R. (2010). "FERN - Simulación estocástica y evaluación de redes de reacción". Biología de Sistemas para Redes de Señalización . pag. 751. doi :10.1007/978-1-4419-5797-9_30. ISBN 978-1-4419-5796-2.
3. Cao, Y.; Gillespie, DT ; Petzold, LR (2005). "Evitar poblaciones negativas en el salto tau de Poisson explícito". La Revista de Física Química . 123 (5): 054104. Código bibliográfico : 2005JChPh.123e4104C. CiteSeerX 10.1.1.123.3650 . doi :10.1063/1.1992473. PMID  16108628. S2CID  1652735. 
4. Cao, Y.; Gillespie, DT ; Petzold, LR (2006). "Selección eficiente del tamaño de paso para el método de simulación de salto tau" (PDF) . La Revista de Física Química . 124 (4): 044109. Código bibliográfico : 2006JChPh.124d4109C. doi : 10.1063/1.2159468. PMID  16460151.
5. Anderson, David F. (7 de febrero de 2008). "Incorporación de controles posteriores al salto en el salto tau". La Revista de Física Química . 128 (5): 054103. arXiv : 0708.0377 . Código bibliográfico : 2008JChPh.128e4103A. doi : 10.1063/1.2819665. ISSN  0021-9606. PMID  18266441. S2CID  1166923.
6. Chatterjee, Abhijit; Vlachos, Dionisios G.; Katsoulakis, Markos A. (8 de enero de 2005). "Simulación estocástica acelerada con salto τ basada en distribución binomial". La Revista de Física Química . 122 (2): 024112. Código bibliográfico : 2005JChPh.122b4112C. doi : 10.1063/1.1833357. ISSN  0021-9606. PMID  15638577.
7. Moraes, Álvaro; Tempone, Raúl; Vilanova, Pedro (24 de abril de 2014). "Híbrido Chernoff Tau-Leap". Modelado y simulación multiescala . 12 (2): 581–615. CiteSeerX 10.1.1.756.9799 . doi :10.1137/130925657. ISSN  1540-3467.