Salto de rango variable

El salto de rango variable es un modelo utilizado para describir el transporte de portadores en un semiconductor desordenado o en un sólido amorfo mediante saltos en un rango de temperatura extendido. ^[1] Tiene una dependencia de temperatura característica de

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}}$

donde es la conductividad y es un parámetro que depende del modelo considerado. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$

Salto de rango variable de Mott

El salto de rango variable de Mott describe la conducción a baja temperatura en sistemas fuertemente desordenados con estados de portadores de carga localizados ^[2] y tiene una dependencia de temperatura característica de

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}}$

para conductancia tridimensional (con = 1/4), y se generaliza a d -dimensiones ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)}}}$.

La conducción por salto a bajas temperaturas es de gran interés debido a los ahorros que la industria de semiconductores podría lograr si pudiera reemplazar los dispositivos monocristalinos con capas de vidrio. ^[3]

Derivación

El artículo original de Mott introdujo una suposición simplificadora de que la energía de salto depende inversamente del cubo de la distancia de salto (en el caso tridimensional). Más tarde se demostró que esta suposición era innecesaria, y esta prueba se sigue aquí. ^[4] En el artículo original, se vio que la probabilidad de salto a una temperatura dada dependía de dos parámetros, R la separación espacial de los sitios, y W , su separación energética. Apsley y Hughes notaron que en un sistema verdaderamente amorfo, estas variables son aleatorias e independientes y, por lo tanto, se pueden combinar en un solo parámetro, el rango entre dos sitios, que determina la probabilidad de salto entre ellos. ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

Mott demostró que la probabilidad de saltar entre dos estados de separación espacial y separación energética W tiene la forma: ${\displaystyle \textstyle R}$

${\displaystyle P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]}$

donde α ⁻¹ es la longitud de atenuación para una función de onda localizada similar al hidrógeno. Esto supone que el salto a un estado con mayor energía es el proceso limitante de la velocidad.

Ahora definimos , el rango entre dos estados, por lo que . Los estados pueden considerarse como puntos en una matriz aleatoria de cuatro dimensiones (tres coordenadas espaciales y una coordenada de energía), con la "distancia" entre ellos dada por el rango . ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT}$ ${\displaystyle \textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

La conducción es el resultado de muchas series de saltos a través de esta matriz de cuatro dimensiones y, como se favorecen los saltos de corto alcance, es la "distancia" promedio del vecino más cercano entre los estados la que determina la conductividad general. Por lo tanto, la conductividad tiene la forma

${\displaystyle \sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})}$

donde es el rango promedio del vecino más cercano. El problema es, por lo tanto, calcular esta cantidad. ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

El primer paso es obtener , el número total de estados dentro de un rango de algún estado inicial en el nivel de Fermi. Para dimensiones d , y bajo supuestos particulares esto resulta ser ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$

donde . Las suposiciones particulares son simplemente que es mucho menor que el ancho de banda y cómodamente mayor que el espaciamiento interatómico. ${\displaystyle \textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

Entonces, la probabilidad de que un estado con rango sea el vecino más cercano en el espacio de cuatro dimensiones (o en general, el espacio ( d +1)-dimensional) es ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]}$

la distribución del vecino más cercano.

Para el caso d -dimensional entonces

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}}$.

Esto se puede evaluar haciendo una simple sustitución de en la función gamma , ${\displaystyle \textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Después de un poco de álgebra esto da

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}}$

y por lo tanto que

${\displaystyle \sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1}}}\right)}$.

Densidad de estados no constante

Cuando la densidad de estados no es constante (ley de potencia impar N(E)), la conductividad de Mott también se recupera, como se muestra en este artículo.

Salto de rango variable Efros-Shklovskii

El salto de rango variable de Efros-Shklovskii (ES) es un modelo de conducción que tiene en cuenta la brecha de Coulomb , un pequeño salto en la densidad de estados cerca del nivel de Fermi debido a interacciones entre electrones localizados. ^[5] Debe su nombre a Alexei L. Efros y Boris Shklovskii, quienes lo propusieron en 1975. ^[5]

La consideración de la brecha de Coulomb cambia la dependencia de la temperatura a

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2}}}$

para todas las dimensiones (es decir = 1/2). ^{[6] [7]} ${\displaystyle \beta }$

Véase también

• Portal de física

• Ventaja de movilidad

Notas

1. Hill, RM (16 de abril de 1976). "Saltos de rango variable". Physica Status Solidi A . 34 (2): 601–613. Código Bibliográfico :1976PSSAR..34..601H. doi :10.1002/pssa.2210340223. ISSN  0031-8965.
2. Mott, NF (1969). "Conducción en materiales no cristalinos". Revista filosófica . 19 (160). Informa UK Limited: 835–852. Código Bibliográfico :1969PMag...19..835M. doi :10.1080/14786436908216338. ISSN  0031-8086.
3. PVE McClintock, DJ Meredith, JK Wigmore. Materia a bajas temperaturas . Blackie. 1984 ISBN 0-216-91594-5 . 
4. Apsley, N.; Hughes, HP (1974). "Dependencia de la temperatura y del campo de la conducción por saltos en sistemas desordenados". Revista filosófica . 30 (5). Informa UK Limited: 963–972. Código Bibliográfico :1974PMag...30..963A. doi :10.1080/14786437408207250. ISSN  0031-8086.
5. Efros, AL; Shklovskii, BI (1975). "Brecha de Coulomb y conductividad a baja temperatura de sistemas desordenados". Journal of Physics C: Solid State Physics . 8 (4): L49. Bibcode :1975JPhC....8L..49E. doi :10.1088/0022-3719/8/4/003. ISSN  0022-3719.
6. Li, Zhaoguo (2017). "Transición entre la conducción por saltos de rango variable de Efros-Shklovskii y Mott en películas delgadas de germanio policristalino". Ciencia y tecnología de semiconductores . 32 (3). et. al: 035010. Bibcode :2017SeScT..32c5010L. doi :10.1088/1361-6641/aa5390. S2CID  99091706.
7. Rosenbaum, Ralph (1991). "Transición de conductividad de salto de rango variable de Mott a Efros-Shklovskii en películas de InxOy". Physical Review B . 44 (8): 3599–3603. Bibcode :1991PhRvB..44.3599R. doi :10.1103/physrevb.44.3599. ISSN  0163-1829. PMID  9999988.