En geometría , el símbolo de Wythoff es una notación que representa una construcción de Wythoff de un poliedro uniforme o teselación plana dentro de un triángulo de Schwarz . Fue utilizado por primera vez por Coxeter , Longuet-Higgins y Miller en su enumeración de los poliedros uniformes. Más tarde, se desarrolló el diagrama de Coxeter para marcar politopos uniformes y panales en el espacio n-dimensional dentro de un símplex fundamental.
Un símbolo de Wythoff consta de tres números y una barra vertical. Representa un poliedro o mosaico uniforme, aunque el mismo mosaico/poliedro puede tener diferentes símbolos de Wythoff de diferentes generadores de simetría. Por ejemplo, el cubo regular puede representarse mediante 3 | 2 4 con simetría O h y 2 4 | 2 como un prisma cuadrado con 2 colores y simetría D 4h , así como 2 2 2 | con 3 colores y simetría D 2h .
Con una ligera extensión, el símbolo de Wythoff puede aplicarse a todos los poliedros uniformes. Sin embargo, los métodos de construcción no conducen a todas las teselas uniformes en el espacio euclidiano o hiperbólico.
La construcción de Wythoff comienza eligiendo un punto generador en un triángulo fundamental. Este punto debe elegirse a la misma distancia de todos los bordes en los que no se encuentra y luego se traza una línea perpendicular desde él hasta cada uno de esos bordes.
Los tres números del símbolo de Wythoff, p , q y r , representan los vértices del triángulo de Schwarz utilizado en la construcción, que sonπ/pag , π/q , y π/a radianes respectivamente. El triángulo también se representa con los mismos números, escritos ( p q r ). La barra vertical en el símbolo especifica una posición categórica del punto generador dentro del triángulo fundamental de acuerdo con lo siguiente:
En esta notación, los espejos se etiquetan según el orden de reflexión del vértice opuesto. Los valores p , q y r se enumeran antes de la barra si el espejo correspondiente está activo.
Un uso especial es el símbolo | p q r, que se utiliza para el caso en que todos los espejos están activos, pero se ignoran las imágenes reflejadas impares. La figura resultante tiene solo simetría rotacional.
El punto generador puede estar encendido o apagado en cada espejo, activado o no. Esta distinción crea 8 (2 3 ) formas posibles, pero aquella en la que el punto generador está en todos los espejos es imposible. El símbolo que normalmente haría referencia a eso se reutiliza para los mosaicos de snub.
El símbolo de Wythoff es funcionalmente similar al diagrama más general de Coxeter-Dynkin , en el que cada nodo representa un espejo y los arcos entre ellos (marcados con números) son los ángulos entre los espejos. (Se omite un arco que representa un ángulo recto). Un nodo se rodea con un círculo si el punto generador no está en el espejo.
Los triángulos fundamentales se dibujan en colores alternos como imágenes especulares. La secuencia de triángulos ( p 3 2) cambia de esférica ( p = 3, 4, 5), a euclidiana ( p = 6), a hiperbólica ( p ≥ 7). Los mosaicos hiperbólicos se muestran como una proyección de disco de Poincaré .