En geometría , una rotación impropia [1] (también llamada rotación-reflexión , [2] rotoreflexión, [1] reflexión rotatoria , [3] o rotoinversión [4] ) es una isometría en el espacio euclidiano que es una combinación de una rotación sobre un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. La reflexión y la inversión son cada una un caso especial de rotación impropia. Cualquier rotación impropia es una transformación afín y, en los casos que mantienen fijo el origen de coordenadas, una transformación lineal . [5] Se utiliza como una operación de simetría en el contexto de la simetría geométrica , la simetría molecular y la cristalografía , donde se dice que un objeto que no cambia mediante una combinación de rotación y reflexión tiene simetría de rotación impropia .
En tres dimensiones, la rotación impropia se define de manera equivalente como una combinación de rotación sobre un eje e inversión en un punto del eje. [1] Por esta razón, también se denomina rotoinversión o inversión rotatoria . Las dos definiciones son equivalentes porque la rotación en un ángulo θ seguida de reflexión es la misma transformación que la rotación en θ + 180° seguida de inversión (tomando el punto de inversión en el plano de reflexión). En ambas definiciones, las operaciones conmutan.
Una simetría tridimensional que sólo tiene un punto fijo es necesariamente una rotación impropia. [3]
Una rotación incorrecta de un objeto produce una rotación de su imagen especular . El eje se denomina eje de rotación-reflexión . [6] Se denomina rotación incorrecta n veces si el ángulo de rotación, antes o después de la reflexión, es de 360°/ n (donde n debe ser par). [6] Existen varios sistemas diferentes para nombrar rotaciones incorrectas individuales:
, como un subgrupo de índice 4 de [2 n ,2],
, generado como producto de 3 reflexiones.
En un sentido más amplio, una rotación impropia puede definirse como cualquier isometría indirecta ; es decir, un elemento de E (3)\E + (3): por lo tanto, también puede ser una reflexión pura en un plano, o tener un plano de deslizamiento . Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de −1.
Una rotación propia es una rotación ordinaria. En sentido amplio, una rotación propia se define como una isometría directa , es decir, un elemento de E + (3): también puede ser la identidad, una rotación con una traslación a lo largo del eje o una traslación pura. Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de 1.
Tanto en el sentido más estricto como en el más amplio, la composición de dos rotaciones impropias es una rotación propia, y la composición de una rotación impropia y una propia es una rotación impropia.
Al estudiar la simetría de un sistema físico bajo una rotación impropia (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vectores y pseudovectores (así como entre escalares y pseudoescalares , y en general entre tensores y pseudotensores ), ya que estos últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).