Romboedro

Poliedro con seis rombos como caras

En geometría , un romboedro (también llamado hexaedro rómbico ^{[1] [2]} o, de manera imprecisa, romboide ^[a] ) es un caso especial de paralelepípedo en el que las seis caras son rombos congruentes . ^[3] Puede usarse para definir el sistema reticular romboédrico , un panal de abejas con celdas romboédricas. Un romboedro tiene dos vértices opuestos en los que todos los ángulos de las caras son iguales; un romboedro alargado tiene este ángulo común agudo, y un romboedro oblato tiene un ángulo obtuso en estos vértices. Un cubo es un caso especial de romboedro con todos los lados cuadrados .

Casos especiales

El ángulo común en los dos vértices se da aquí como . Hay dos formas generales del romboedro, oblato (aplanado) y prolado (estirado). ${\displaystyle \theta }$

En el caso oblato y en el caso prolado , pues la figura es un cubo. ${\displaystyle \theta >90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Ciertas proporciones de los rombos dan lugar a algunos casos especiales bien conocidos, que se dan típicamente tanto en las formas proladas como en las oblatas.

Geometría sólida

Para un romboedro unitario (es decir: con una longitud de lado de 1), ^[4] con un ángulo agudo rómbico , con un vértice en el origen (0, 0, 0) y con una arista que se encuentra a lo largo del eje x, los tres vectores generadores son ${\displaystyle \theta ~}$

y ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

y ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

y ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Las otras coordenadas se pueden obtener a partir de la suma vectorial ^[5] de los 3 vectores de dirección: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ y e ₁ + e ₂ + e ₃ .

El volumen de un romboedro, en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico , es una simplificación del volumen de un paralelepípedo , y está dado por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Podemos expresar el volumen de otra manera: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Como el área de la base (rómbica) está dada por , y como la altura de un romboedro está dada por su volumen dividido por el área de su base, la altura de un romboedro en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico está dada por ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Nota:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , donde ₃ es la tercera coordenada de e ₃ . ${\displaystyle z}$

La diagonal del cuerpo entre los vértices acutángulos es la más larga. Por simetría rotacional respecto de esa diagonal, las otras tres diagonales del cuerpo, entre los tres pares de vértices obtusángulos opuestos, tienen todas la misma longitud.

Relación con los tetraedros ortocéntricos

Cuatro puntos que forman vértices no adyacentes de un romboedro forman necesariamente los cuatro vértices de un tetraedro ortocéntrico , y todos los tetraedros ortocéntricos pueden formarse de esta manera. ^[6]

Red romboédrica

El sistema reticular romboédrico tiene celdas romboédricas, con 6 caras rómbicas congruentes que forman un trapezoedro trigonal ^{[ cita requerida ]} :

Véase también

• Listas de formas

Notas

1. Más exactamente, el romboide es una figura bidimensional.

Referencias

1. Miller, William A. (enero de 1989). "Recursos matemáticos: rompecabezas de dodecaedros rómbicos". Matemáticas en la escuela . 18 (1): 18–24. JSTOR  30214564.
2. Inchbald, Guy (julio de 1997). "Los duales de panal de Arquímedes". The Mathematical Gazette . 81 (491): 213–219. doi :10.2307/3619198. JSTOR  3619198.
3. Coxeter, HSM. Politopos regulares. Tercera edición. Dover. p.26.
4. Lines, L (1965). Geometría sólida: con capítulos sobre redes espaciales, paquetes de esferas y cristales . Publicaciones de Dover.
5. "Adición de vectores". Wolfram. 17 de mayo de 2016. Consultado el 17 de mayo de 2016 .
6. Court, NA (octubre de 1934), "Notas sobre el tetraedro ortocéntrico", American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi :10.2307/2300415, JSTOR  2300415.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Romboedro". MathWorld .
• Calculadora de volumen https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php