Subestructuración dinámica

La Subestructuración Dinámica (DS) es una herramienta de ingeniería utilizada para modelar y analizar la dinámica de sistemas mecánicos mediante sus componentes o subestructuras. Usando el enfoque de subestructuración dinámica uno es capaz de analizar el comportamiento dinámico de las subestructuras por separado y luego calcular la dinámica ensamblada usando procedimientos de acoplamiento. La subestructuración dinámica tiene varias ventajas sobre el análisis del sistema completamente ensamblado:

• Las subestructuras se pueden modelar en el dominio que sea más apropiado, por ejemplo, las subestructuras obtenidas experimentalmente se pueden combinar con modelos numéricos .
• Los sistemas grandes y/o complejos se pueden optimizar a nivel de subestructura.
• La carga de cálculo numérico se puede reducir ya que resolver varias subestructuras es computacionalmente menos exigente que resolver un sistema grande.
• Los modelos de subestructura de diferentes grupos de desarrollo se pueden compartir y combinar sin exponer los detalles del modelado.

La subestructuración dinámica está especialmente diseñada para la simulación de vibraciones mecánicas , lo que tiene implicaciones para muchos aspectos del producto, como sonido / acústica , fatiga /durabilidad, comodidad y seguridad . Además, la subestructuración dinámica es aplicable a cualquier escala de tamaño y frecuencia . Por lo tanto, es un paradigma ampliamente utilizado en aplicaciones industriales que van desde la ingeniería automotriz y aeroespacial hasta el diseño de turbinas eólicas y maquinaria de precisión de alta tecnología .

Historia

Dos niveles de descomposición de dominios en subestructuración dinámica.

Las raíces de la subestructuración dinámica se pueden encontrar en el campo de la descomposición de dominios . En 1890, el matemático Hermann Schwarz ideó un procedimiento iterativo para la descomposición de dominios que permite resolver subdominios acoplados continuos. Sin embargo, muchos de los modelos analíticos de subdominios continuos acoplados no tienen soluciones de forma cerrada , lo que llevó a técnicas de discretización y aproximación como el método de Ritz ^[1] (que a veces se denomina método de Rayleigh-Ritz debido a la similitud entre los subdominios de Ritz). formulación y la relación de Rayleigh ), el método de los elementos límite (BEM) y el método de los elementos finitos (FEM). Estos métodos pueden considerarse técnicas de descomposición de dominios de "primer nivel".

El método de los elementos finitos demostró ser el método más eficaz y la invención del microprocesador hizo posible resolver fácilmente una gran variedad de problemas físicos. ^[2] Para analizar problemas aún más grandes y complejos, se inventaron métodos para optimizar la eficiencia de los cálculos discretizados. El primer paso fue reemplazar los solucionadores directos por solucionadores iterativos como el método del gradiente conjugado . ^[3] La falta de robustez y la lenta convergencia de estos solucionadores no los convirtieron en una alternativa interesante al principio. Sin embargo, el auge de la computación paralela en la década de 1980 impulsó su popularidad. Los problemas complejos ahora podrían resolverse dividiendo el problema en subdominios, cada uno procesado por un procesador independiente, y resolviendo el acoplamiento de la interfaz de forma iterativa. Esto puede verse como una descomposición del dominio de segundo nivel, como se visualiza en la figura.

La eficiencia del modelado dinámico podría aumentar aún más reduciendo la complejidad de los subdominios individuales. Esta reducción de los subdominios (o subestructuras en el contexto de la dinámica estructural) se realiza representando las subestructuras por medio de sus respuestas generales. La expresión de las subestructuras separadas mediante su respuesta general en lugar de su discretización detallada condujo al llamado método de subestructuración dinámica. Este paso de reducción también permitió reemplazar la descripción matemática de los dominios por información obtenida experimentalmente. Este paso de reducción también se visualiza mediante la flecha de reducción en la figura.

Los primeros métodos de subestructuración dinámica se desarrollaron en la década de 1960 y se conocían más comúnmente con el nombre de síntesis en modo de componentes (CMS). Los beneficios de la subestructuración dinámica fueron rápidamente descubiertos por las comunidades científica y de ingeniería y se convirtió en un importante tema de investigación en el campo de la dinámica estructural y las vibraciones . Siguieron importantes avances, que dieron como resultado, por ejemplo, el método clásico de Craig-Bampton. El método Craig-Bampton emplea condensación estática ( reducción de Guyana ) y técnicas de truncamiento modal para reducir eficazmente los grados de libertad en un sistema. ^[4]

Debido a las mejoras en la tecnología de procesamiento de señales y sensores en la década de 1980, las técnicas de subestructuración también se volvieron atractivas para la comunidad experimental . Se crearon métodos relacionados con la modificación dinámica estructural en los que se aplicaron técnicas de acoplamiento directamente a funciones de respuesta de frecuencia (FRF) medidas. El método obtuvo una amplia popularidad cuando Jetmundsen et al. formuló el método clásico de subestructuración basada en frecuencia (FBS), ^[5] que sentó las bases para la subestructuración dinámica basada en frecuencia. En 2006, De Klerk et al. introdujeron una notación sistemática. ^[6] para simplificar la notación difícil y elaborada que se había utilizado anteriormente. La simplificación se realizó mediante dos matrices booleanas que manejan toda la "contabilidad" involucrada en el montaje de subestructuras ^[7]

Dominios

Cinco dominios utilizados normalmente para la subestructuración dinámica.

La subestructuración dinámica puede verse mejor como un conjunto de herramientas independientes del dominio para ensamblar modelos de componentes, en lugar de un método de modelado en sí mismo. Generalmente, la subestructuración dinámica se puede utilizar para todos los dominios que sean adecuados para simular el comportamiento de múltiples entradas/múltiples salidas . ^[7] Cinco dominios que son muy adecuados para la subestructuración son:

• Dominio físico
• Dominio modal
• Dominio de frecuencia
• Dominio del tiempo
• Dominio del espacio de estados

El dominio físico se refiere a métodos que se basan en matrices de masa, amortiguamiento y rigidez (linealizadas), generalmente obtenidas a partir de modelos numéricos FEM. Las soluciones populares para resolver el sistema asociado de ecuaciones diferenciales de segundo orden son los esquemas de integración temporal de Newmark ^[8] y el esquema de Hilbert-Hughes-Taylor. ^[9] El dominio modal se refiere a técnicas de síntesis en modo de componentes (CMS), como el método de Craig-Bampton, Rubin y McNeal. Estos métodos proporcionan bases de reducción modal eficientes y técnicas de ensamblaje para modelos numéricos en el dominio físico. El dominio de la frecuencia se conoce más popularmente como subestructuración basada en frecuencia (FBS). Basado en la formulación clásica de Jetmundsen et al. ^[5] y la reformulación de De Klerk et al., ^[9] se ha convertido en el dominio más comúnmente utilizado para subestructurar, debido a la facilidad de expresar las ecuaciones diferenciales de un sistema dinámico (mediante Funciones de Respuesta de Frecuencia , FRFs) y la conveniencia de implementar modelos obtenidos experimentalmente. El dominio del tiempo se refiere al concepto recientemente propuesto de subestructuración basada en impulsos (IBS), ^[10] que expresa el comportamiento de un sistema dinámico utilizando un conjunto de funciones de respuesta a impulsos (IRF). El dominio del espacio de estados, finalmente, se refiere a los métodos propuestos por Sjövall et al. ^[11] que emplean técnicas de identificación de sistemas comunes a la teoría de control .

En la siguiente tabla se presenta una descripción general de las ecuaciones rectoras de los cinco dominios mencionados aquí.

Como la subestructuración dinámica es un conjunto de herramientas independiente del dominio, es aplicable a las ecuaciones dinámicas de todos los dominios. Para establecer el ensamblaje de la subestructura en un dominio particular, se deben implementar dos condiciones de interfaz. Esto se explica a continuación, seguido de algunas técnicas de subestructuración comunes.

Condiciones de interfaz

Para establecer un acoplamiento/desacoplamiento de subestructuración en cada uno de los dominios mencionados anteriormente, se deben cumplir dos condiciones:

• Compatibilidad de coordenadas, es decir, los nodos de conexión de dos subestructuras deben tener el mismo desplazamiento de interfaz .
• Equilibrio de fuerzas, es decir, las fuerzas de interfaz entre los nodos que se conectan tienen igual magnitud y signo opuesto.

Estas son las dos condiciones esenciales que mantienen unidas las subestructuras y, por lo tanto, permiten construir un conjunto de múltiples componentes. Tenga en cuenta que las condiciones son comparables con las leyes de Kirchhoff para circuitos eléctricos , en cuyo caso se aplican condiciones similares a las corrientes y voltajes a través de componentes eléctricos en una red; ver también Analogías mecánico-eléctricas .

Conectividad de subestructura

Montaje de dos subestructuras A y B, conectadas por los DoF y fuerzas de interfaz de los nodos de acoplamiento. ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}}$

Considere dos subestructuras A y B como se muestra en la figura. Las dos subestructuras comprenden un total de seis nodos; los desplazamientos de los nodos se describen mediante un conjunto de Grados de Libertad (DoF). Los DoF de los seis nodos se dividen de la siguiente manera:

1. DoF de los nodos internos de la subestructura A;
2. DoF de los nodos de acoplamiento de las subestructuras A y B, es decir, DoF de interfaz;
3. DoF de los nodos internos de la subestructura B.

Tenga en cuenta que la denotación 1, 2 y 3 indica la función de los nodos/DoF en lugar de la cantidad total. Definamos los conjuntos de DoF para las dos subestructuras A y B en forma concatenada. Los desplazamientos y fuerzas aplicadas están representados por los conjuntos y . Con el fin de subestructurar, se introduce un conjunto de fuerzas de interfaz que solo contiene entradas distintas de cero en los DoF de la interfaz: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}^{A}\\\mathbf {u} _{2}^{A}\\\mathbf {u} _{2}^{B}\\\mathbf {u} _{3}^{B}\\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{1}^{A}\\\mathbf {f} _{2}^{A}\\\mathbf {f} _{2}^{B}\\\mathbf {f} _{3}^{B}\\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}\\\mathbf {g} _{2}^{B}\\\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {u} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \in \mathbb {R} ^{n}}$

La relación entre los desplazamientos dinámicos y las fuerzas aplicadas del problema desacoplado se rige por una ecuación dinámica particular, como la que se presenta en la tabla anterior. Las ecuaciones de movimiento desacopladas se complementan con términos/ecuaciones adicionales de compatibilidad y equilibrio, como se analiza a continuación. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Compatibilidad

La condición de compatibilidad requiere que los DoF de la interfaz tengan el mismo signo y valor en ambos lados de la interfaz: . Esta condición se puede expresar utilizando la denominada matriz booleana con signo , ^[6] denotada por . Para el ejemplo dado, esto se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {u} _{2}^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {u} _{2}^{B}-\mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {B} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} &-\mathbf {I} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}}$

En algunos casos, los nodos de interfaz de las subestructuras no son conformes, por ejemplo cuando dos subestructuras se entrelazan por separado. En tales casos, se debe utilizar una matriz no booleana para imponer una compatibilidad de interfaz débil. ^{[12] [13]} ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Una segunda forma en la que se puede expresar la condición de compatibilidad es mediante sustitución de coordenadas por un conjunto de coordenadas generalizadas . El conjunto contiene las coordenadas únicas que quedan después del montaje de las subestructuras. Cada par coincidente de DoF de interfaz se describe mediante una única coordenada generalizada, lo que significa que la condición de compatibilidad se aplica automáticamente. Expresar usando da: ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {L} \mathbf {q} \quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {u} _{1}^{A}=\mathbf {q} _{1}\\\mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {q} _{2}\\\mathbf {u} _{2}^{B}=\mathbf {q} _{2}\\\mathbf {u} _{3}^{B}=\mathbf {q} _{3}\\\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {L} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}}$

La matriz se conoce como matriz de localización booleana . Se puede exponer una relación útil entre matriz y observando que la compatibilidad debe ser válida para cualquier conjunto de coordenadas físicas expresadas por . De hecho, sustituyendo en la ecuación : ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {Lq} }$ ${\displaystyle \mathbf {Bu} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {Bu} =\mathbf {B} \mathbf {L} \mathbf {q} =\mathbf {0} \quad \forall \mathbf {q} }$

Por tanto representa el espacio nulo de : ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {L} ={\text{null}}(\mathbf {B} )\\\mathbf {B} ^{T}={\text{null}}(\mathbf {L} ^{T})\end{cases}}}$

Esto significa en la práctica que sólo es necesario definir o ; la otra matriz booleana se calcula utilizando la propiedad del espacio nulo. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Equilibrio

La segunda condición que debe cumplirse para el montaje de la subestructura es el equilibrio de fuerzas para igualar las fuerzas de la interfaz . Para el ejemplo actual, esta condición se puede escribir como . De manera similar a la ecuación de compatibilidad, la condición de equilibrio de fuerzas se puede expresar usando una matriz booleana. Se hace uso de la transposición de la matriz de localización booleana que se introdujo para escribir compatibilidad: ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}^{A}=-\mathbf {g} _{2}^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {g} _{1}^{A}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}+\mathbf {g} _{2}^{B}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{3}^{B}=\mathbf {0} \end{cases}}}$

Las ecuaciones para y establecen que las fuerzas de interfaz en los nodos internos son cero y, por lo tanto, no están presentes. La ecuación para establece correctamente el equilibrio de fuerzas entre un par coincidente de DoF de interfaz de acuerdo con la tercera ley de Newton . ${\displaystyle \mathbf {g} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}}$

Una segunda notación en la que se puede expresar la condición de equilibrio es introduciendo un conjunto de multiplicadores de Lagrange . La sustitución de estos multiplicadores de Lagrange es posible ya que difieren sólo en signo, no en valor. Usando nuevamente la matriz booleana firmada : ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}^{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {g} _{1}^{A}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}={\boldsymbol {\lambda }}\\\mathbf {g} _{2}^{B}=-{\boldsymbol {\lambda }}\\\mathbf {g} _{3}^{B}=\mathbf {0} \\\end{cases}}}$

El conjunto define la intensidad de las fuerzas de interfaz . Cada multiplicador de Lagrange representa la magnitud de dos fuerzas de interfaz coincidentes en el conjunto. Al definir las fuerzas de la interfaz utilizando multiplicadores de Lagrange , el equilibrio de fuerzas se satisface automáticamente. Esto se puede ver sustituyendo en la primera ecuación de equilibrio: ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {B^{T}} {\boldsymbol {\lambda }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =-\mathbf {L} ^{T}\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {0} \quad \forall \mathbf {\mathbf {g} } }$

Nuevamente, aquí se usa la propiedad del espacio nulo de las matrices booleanas, a saber: . ${\displaystyle \mathbf {L^{T}} \mathbf {B^{T}} =\mathbf {0} }$

Las dos condiciones presentadas anteriormente se pueden aplicar para establecer acoplamiento/desacoplamiento en una multitud de dominios y, por lo tanto, son independientes de variables como tiempo, frecuencia, modo, etc. Se presentan algunas implementaciones de las condiciones de interfaz para los dominios más comunes de subestructuración. abajo.

Subestructuración en el dominio físico.

El dominio físico es el dominio que tiene la interpretación física más sencilla. Para cada sistema dinámico linealizado discreto se puede escribir un equilibrio entre las fuerzas aplicadas externamente y las fuerzas internas originadas por la inercia intrínseca, la amortiguación viscosa y la elasticidad. Esta relación se rige por una de las fórmulas más elementales en vibraciones estructurales :

${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {\ddot {u}} (t)+\mathbf {C} \mathbf {\dot {u}} (t)+\mathbf {K} \mathbf {u} (t)=\mathbf {f} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {M} ,\mathbf {C} ,\mathbf {K} }$representan la matriz de masa , amortiguamiento y rigidez del sistema. Estas matrices a menudo se obtienen a partir del modelado de elementos finitos (FEM) y se denominan modelo numérico de la estructura. Además, representa los DoF y el vector de fuerza que dependen del tiempo . Esta dependencia se omite en las siguientes ecuaciones para mejorar la legibilidad. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle (t)}$

Acoplamiento en el dominio físico

El acoplamiento de subestructuras en el dominio físico requiere primero escribir las ecuaciones de movimiento desacopladas de las subestructuras en forma diagonal de bloques: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {M} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {M} ^{(1)},\dots ,\mathbf {M} ^{(n)})={\begin{bmatrix}\mathbf {M} ^{(1)}&.&.\\.&\ddots &.\\.&.&\mathbf {M} ^{(n)}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {C} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {C} ^{(1)},\dots ,\mathbf {C} ^{(n)})\quad \mathbf {K} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {K} ^{(1)},\dots ,\mathbf {K} ^{(n)})}$

${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {u} ^{(n)}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {f} ^{(n)}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {g} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {g} ^{(n)}\end{bmatrix}}}$

A continuación, se pueden distinguir dos enfoques de ensamblaje: ensamblaje primario y dual.

Asamblea primaria

Para el ensamblaje primario, se define un conjunto único de grados de libertad para satisfacer la compatibilidad . Además, se agrega una segunda ecuación para imponer el equilibrio de fuerzas en la interfaz. Esto da como resultado las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico acopladas: ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {Lq} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {ML{\ddot {q}}+CL{\dot {q}}+KLq=f+g} \\\mathbf {L^{T}g=0} \end{cases}}}$

Multiplicando previamente la primera ecuación por y observando que , el conjunto primal se reduce a: ${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {L^{T}g} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {{\tilde {M}}{\ddot {q}}+{\tilde {C}}{\dot {q}}+{\tilde {K}}q=L^{T}f} \quad {\begin{cases}\mathbf {{\tilde {M}}=L^{T}ML} \\\mathbf {{\tilde {C}}=L^{T}CL} \\\mathbf {{\tilde {K}}=L^{T}KL} \end{cases}}}$

Las matrices del sistema ensambladas primariamente se pueden utilizar para una simulación transitoria mediante cualquier algoritmo de paso de tiempo estándar . Tenga en cuenta que la técnica de ensamblaje primario es análoga al ensamblaje de superelementos en métodos de elementos finitos .

Montaje doble

En la formulación de ensamblaje dual, se retiene el conjunto global de DoF y se realiza un ensamblaje satisfaciendo a priori la condición de equilibrio . Nuevamente, los multiplicadores de Lagrange representan las fuerzas de la interfaz que conectan los DoF en la interfaz. Como son incógnitas, se mueven al lado izquierdo de la ecuación. Para satisfacer la compatibilidad, se agrega una segunda ecuación al sistema, que ahora opera sobre los desplazamientos: ${\displaystyle \mathbf {g=-B^{T}{\boldsymbol {\lambda }}} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku+B^{T}{\boldsymbol {\lambda }}=f} \\\mathbf {Bu=0} \end{cases}}}$

El sistema dualmente ensamblado se puede escribir en forma matricial como:

${\displaystyle \mathbf {\begin{bmatrix}\mathbf {M} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}\mathbf {\ddot {u}} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {C} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\dot {u}} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} &\mathbf {B} ^{T}\\\mathbf {B} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}}$

Este sistema de doble ensamblaje también se puede utilizar en una simulación transitoria mediante un algoritmo de paso de tiempo estándar. ^[9]

Subestructuración en el dominio de la frecuencia.

Para escribir las ecuaciones de subestructuración basada en frecuencia (FBS), primero se debe colocar el equilibrio dinámico en el dominio de la frecuencia. Empezando por el equilibrio dinámico en el dominio físico:

${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {\ddot {u}} (t)+\mathbf {C} \mathbf {\dot {u}} (t)+\mathbf {K} \mathbf {u} (t)=\mathbf {f} (t)}$

Tomando la transformada de Fourier de esta ecuación se obtiene el equilibrio dinámico en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle \mathbf {Z} (\omega )\mathbf {u} (\omega )=\mathbf {f} (\omega )\quad {\text{with}}\quad \mathbf {Z} (\omega )={\bigr [}-\omega ^{2}\mathbf {M} +j\omega \mathbf {C} +\mathbf {K} {\bigr ]}}$

La matriz se conoce como matriz de rigidez dinámica. Esta matriz consta de funciones dependientes de la frecuencia de valores complejos que describen la fuerza requerida para generar una unidad de desplazamiento armónico en un determinado DoF. La inversa de la matriz se define como y produce la notación de admitancia más intuitiva: ${\displaystyle \mathbf {Z} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (\omega )\triangleq (\mathbf {Z} (\omega ))^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\omega )=\mathbf {Y} (\omega )\mathbf {f} (\omega )}$

La matriz de receptancia contiene las funciones de respuesta de frecuencia (FRF) de la estructura que describen la respuesta de desplazamiento a una fuerza de entrada unitaria. Otras variantes de la matriz de receptancia son la matriz de movilidad y aceleración, que describen respectivamente la respuesta de velocidad y aceleración. Los elementos de la matriz dinámica de rigidez (o impedancia en general) y de receptancia (o admitancia en general) se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {Y} (\omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Impedance:}}\quad Z_{ij}(\omega )={\frac {f_{i}(\omega )}{u_{j}(\omega )}}\quad u_{k\neq j}=0\\{\text{Admittance:}}\quad Y_{ij}(\omega )={\frac {u_{i}(\omega )}{f_{j}(\omega )}}\quad f_{k\neq j}=0\end{aligned}}}$

Acoplamiento en el dominio de la frecuencia.

Para acoplar dos subestructuras en el dominio de la frecuencia se utilizan las matrices de admitancia e impedancia de ambas subestructuras. Utilizando la definición de subestructuras A y B presentada anteriormente, se definen las siguientes matrices de impedancia y admitancia (tenga en cuenta que la dependencia de la frecuencia se omite en los términos para mejorar la legibilidad): ${\displaystyle (\omega )}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathbf {Z} ^{A}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}\\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}\\\end{bmatrix}}&\mathbf {Z} ^{B}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\\[18pt]\mathbf {Y} ^{A}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{11}^{A}&\mathbf {Y} _{12}^{A}\\\mathbf {Y} _{21}^{A}&\mathbf {Y} _{22}^{A}\\\end{bmatrix}}&\mathbf {Y} ^{B}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{22}^{B}&\mathbf {Y} _{23}^{B}\\\mathbf {Y} _{32}^{B}&\mathbf {Y} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\end{array}}}$

Las dos matrices de admitancia e impedancia se pueden poner en forma de bloque diagonal para alinearlas con el conjunto global de DoF : ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Z} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Z} ^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Z} ^{B}\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {Y} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Y} ^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Y} ^{B}\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{11}^{A}&\mathbf {Y} _{12}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {Y} _{21}^{A}&\mathbf {Y} _{22}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{22}^{B}&\mathbf {Y} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{32}^{B}&\mathbf {Y} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Los términos cero fuera de la diagonal muestran que en este punto no hay acoplamiento entre las dos subestructuras. Para crear este acoplamiento, se puede utilizar el método de ensamblaje primario o dual. Ambos métodos de ensamblaje hacen uso de las ecuaciones dinámicas como se definió anteriormente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Z} \mathbf {u} &=\mathbf {f} +\mathbf {g} \\\mathbf {u} &=\mathbf {Y} (\mathbf {f} +\mathbf {g} )\\\end{aligned}}}$

En estas ecuaciones se vuelve a utilizar para definir el conjunto de fuerzas de interfaz, que aún se desconocen. ${\displaystyle \mathbf {g} }$

Asamblea primaria

Para obtener el sistema primario de ecuaciones se define un conjunto único de coordenadas: . Por definición de una matriz de localización booleana apropiada , queda un conjunto único de DoF para los cuales la condición de compatibilidad se cumple a priori ( condición de compatibilidad ). Para satisfacer la condición de equilibrio se añade una segunda ecuación a las ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {Lq} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {Z} \mathbf {L} \mathbf {q} =\mathbf {f} +\mathbf {g} \\\mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =\mathbf {0} \end{cases}}}$

Al multiplicar previamente la primera ecuación por se obtiene la notación de las ecuaciones de movimiento ensambladas para las coordenadas generalizadas : ${\displaystyle \mathbf {L} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {Z}} \mathbf {q} =\mathbf {\tilde {f}} \quad {\text{with}}\quad {\begin{cases}\mathbf {\tilde {Z}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {Z} \mathbf {L} \\\mathbf {\tilde {f}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {f} \end{cases}}}$

Este resultado se puede reescribir en forma de admisión como:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {\tilde {Y}} \mathbf {\tilde {f}} \quad {\text{with}}\quad \mathbf {\tilde {Y}} \ =(\mathbf {\tilde {Z}} )^{-1}}$

Este último resultado da acceso a las respuestas generalizadas como resultado de las fuerzas aplicadas generalizadas , es decir, invirtiendo la matriz de impedancia ensamblada primariamente. ${\displaystyle \mathbf {\tilde {f}} }$

El procedimiento de ensamblaje primario es de interés principalmente cuando se tiene acceso a la dinámica en forma de impedancia, por ejemplo a partir del modelado de elementos finitos. Cuando sólo se tiene acceso a la dinámica en notación de admitancia, ^[14] la formulación dual es un enfoque más adecuado.

Montaje doble

Un sistema de doble ensamblaje comienza con el sistema escrito en la notación de admitancia. Para un sistema dualmente ensamblado, la condición de equilibrio de fuerzas se satisface a priori sustituyendo las fuerzas de interfaz por multiplicadores de Lagrange: . La condición de compatibilidad se aplica agregando una ecuación adicional: ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {u} =\mathbf {Y} (\mathbf {f} -\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }})\\\mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \end{cases}}}$

Sustituyendo la primera línea en la segunda y resolviendo se obtiene: ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=(\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T})^{-1}\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {f} }$

El término representa la incompatibilidad causada por las respuestas desacopladas de las subestructuras a las fuerzas aplicadas . Multiplicando la incompatibilidad con la rigidez de la interfaz combinada, es decir , se determinan las fuerzas que mantienen unidas las subestructuras. La respuesta acoplada se obtiene sustituyendo el calculado nuevamente en la ecuación original: ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle (\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {u} =\mathbf {Y} \mathbf {f} -\mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T}(\mathbf {BYB^{T}} )^{-1}\mathbf {BYf} \\[3pt]&\mathbf {u} =\mathbf {\tilde {Y}} \mathbf {f} \quad {\text{with:}}\quad \mathbf {\tilde {Y}} ={\big (}\mathbf {I} -\mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T}(\mathbf {BYB^{T}} )^{-1}\mathbf {B} {\big )}\mathbf {Y} \end{aligned}}}$

Este método de acoplamiento se conoce como método de subestructuración basada en frecuencia multiplicadora de Lagrange (LM-FBS). ^[6] El método LM-FBS permite un montaje rápido y sencillo de un número arbitrario de subestructuras de forma sistemática. Tenga en cuenta que el resultado es teóricamente el mismo que se obtuvo anteriormente mediante la aplicación del ensamblaje primario. ${\displaystyle \mathbf {\tilde {Y}} }$

Desacoplamiento en el dominio de la frecuencia

Desacoplamiento de la subestructura B del conjunto AB

Además del acoplamiento de subestructuras, también es posible desacoplar subestructuras de conjuntos. ^{[15] [16] [17] [18]} Usando el signo más como operador de acoplamiento de subestructura, el procedimiento de acoplamiento podría describirse simplemente como AB = A + B. Usando una notación similar, el desacoplamiento podría formularse como AB - B = R. A menudo se requieren procedimientos de desacoplamiento para eliminar subestructuras que se agregaron con fines de medición, por ejemplo, para arreglar la estructura. De manera similar al acoplamiento, existe una formulación primaria y dual para los procedimientos de desacoplamiento.

Desmontaje primario

Como resultado del acoplamiento primario, la matriz de impedancia del sistema ensamblado se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{AB}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{AB}&\mathbf {Z} _{12}^{AB}&\mathbf {Z} _{13}^{AB}\\\mathbf {Z} _{21}^{AB}&\mathbf {Z} _{22}^{AB}&\mathbf {Z} _{23}^{AB}\\\mathbf {Z} _{31}^{AB}&\mathbf {Z} _{32}^{AB}&\mathbf {Z} _{33}^{AB}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}+\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}}$

Utilizando esta relación, la siguiente operación trivial de resta sería suficiente para desacoplar la subestructura B del conjunto AB:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}+\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}}$

Al colocar la impedancia de AB y B en forma de bloque diagonal, con un signo menos para la impedancia de B para tener en cuenta la operación de resta, la misma ecuación que se usó para el acoplamiento primario ahora se puede usar para realizar los procedimientos de desacoplamiento primario.

${\displaystyle \mathbf {Z} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} ^{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Z} ^{B}\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {\tilde {Z}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {Z} \mathbf {L} }$

con:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Por tanto, el desmontaje primario puede entenderse como el ensamblaje de la estructura AB con la impedancia negativa de la subestructura B. Una limitación del desmontaje primario es que todos los DoF de la subestructura que se va a desacoplar deben estar exactamente representados en la situación ensamblada. Para situaciones de desacoplamiento numérico esto no debería plantear ningún problema; sin embargo, para casos experimentales esto puede resultar problemático. Una solución a este problema la podemos encontrar en el desmontaje dual.

Doble desmontaje

De manera similar al ensamblaje dual, el desmontaje dual aborda el problema de desacoplamiento utilizando las matrices de admitancia. Desacoplar en el dominio dual significa encontrar una fuerza que garantice la compatibilidad, pero que actúe en la dirección opuesta. Esta fuerza recién encontrada contrarrestaría la fuerza que se aplica al conjunto debido a la dinámica de la subestructura B. Escribiendo esto en ecuaciones de movimiento:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {u} ^{AB}=\mathbf {Y} ^{AB}\mathbf {f} +\mathbf {Y} ^{AB}\mathbf {g} \\\mathbf {u} ^{B}=-\mathbf {Y} ^{B}\mathbf {g} \end{cases}}}$

Para escribir la dinámica de ambos sistemas en una ecuación, utilizando la notación ensambladora LM-FBS, se definen las siguientes matrices:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Y} ^{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Y} ^{B}\end{bmatrix}}\\[3pt]\mathbf {u} =&{\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}^{AB}\\\mathbf {u} _{2}^{AB}\\\mathbf {u} _{3}^{AB}\\\mathbf {u} _{2}^{B}\\\mathbf {u} _{3}^{B}\end{bmatrix}};\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{1}^{AB}\\\mathbf {f} _{2}^{AB}\\\mathbf {0} \\\mathbf {0} \\\mathbf {0} \end{bmatrix}};\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{AB}\\\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{B}\\\mathbf {0} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Para hacer cumplir la compatibilidad, se utiliza un enfoque similar al de la tarea de ensamblaje. Definición de una matriz para hacer cumplir la compatibilidad: ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &-\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}}$

Utilizando esta notación, el procedimiento de desmontaje se puede realizar utilizando exactamente la misma ecuación que se utilizó para el montaje dual:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {u} =\mathbf {Y} (\mathbf {f} -\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }})\\\mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \end{cases}}}$

Esto significa que los procedimientos de acoplamiento y desacoplamiento que utilizan LM-FBS requieren pasos idénticos, siendo la única diferencia la forma en que se define la matriz de admitancia global. En efecto, las subestructuras a acoplar aparecen con un signo más, mientras que las estructuras desacopladas llevan un signo menos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{coupling}}\quad \mathbf {Y} &\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{B}\end{bmatrix}}\\{\text{decoupling}}\quad \mathbf {Y} &\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Y} _{B}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Las técnicas de desacoplamiento más avanzadas utilizan el hecho de que los puntos internos de la subestructura B aparecen tanto en las admitancias de AB como de B, por lo que pueden usarse para mejorar el proceso de desacoplamiento. Estas técnicas se describen en ^{[17] [18]}

Ver también

• Vibración
• método de elementos finitos
• Desgarro e interconexión de elementos finitos (FETI)
• Ingeniería Mecánica
• ingeniería acústica
• resonancia mecánica
• Forma de modo
• Análisis modal
• Análisis modal usando FEM
• Agitador (dispositivo de prueba)
• Conferencia Internacional de Análisis Modal SEM (IMAC)
• Wiki de subestructuración dinámica SEM/IMAC
• Dinámica estructural
• Acústica estructural
• Ruido, vibración y aspereza.
• Análisis de ruta de transferencia
• control de vibraciones
• Aislamiento de vibraciones

Referencias

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16. D'Ambrogio, Walter; Fregolent, Annalisa (1 de enero de 2011). Proulx, Tom (ed.). Desacoplamiento directo de subestructuras mediante formulación primaria y dual . Actas de conferencias de la serie de la Sociedad de Mecánica Experimental. Springer Nueva York. págs. 47–76. doi :10.1007/978-1-4419-9305-2_5. ISBN 9781441993045.
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