Función de cresta

En matemáticas, una función de cresta es cualquier función que se puede escribir como la composición de una función univariante con una transformación afín , es decir: para algún y . La acuñación del término "función de cresta" se atribuye a menudo a BF Logan y LA Shepp. ^[1] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

Pertinencia

Una función de cresta no es susceptible a la maldición de la dimensionalidad ^{[ aclaración necesaria ]} , lo que la convierte en una herramienta instrumental en varios problemas de estimación. Esto es un resultado directo del hecho de que las funciones de cresta son constantes en direcciones: Sean vectores independientes que son ortogonales a , tales que estos vectores abarcan dimensiones. Entonces ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{d-1}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d-1}$

${\displaystyle f\left({\boldsymbol {x}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\cdot {\boldsymbol {a}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}0\right)=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})=f({\boldsymbol {x}})}$

para todos . En otras palabras, cualquier desplazamiento de en una dirección perpendicular a no cambia el valor de . ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ,1\leq i<d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle f}$

Las funciones de cresta desempeñan un papel esencial, entre otras cosas, en la búsqueda de proyecciones , en los modelos lineales generalizados y como funciones de activación en redes neuronales . Para un estudio general de las funciones de cresta, consulte ^[2] . Para libros sobre funciones de cresta, consulte ^{[3] [4]}

Referencias

1. Logan, BF; Shepp, LA (1975). "Reconstrucción óptima de una función a partir de sus proyecciones". Duke Mathematical Journal . 42 (4): 645–659. doi :10.1215/S0012-7094-75-04256-8.
2. Konyagin, SV; Kuleshov, AA; Maiorov, VE (2018). "Algunos problemas en la teoría de funciones de cresta". Proc. Steklov Inst. Math . 301 : 144–169. doi :10.1134/S0081543818040120. S2CID  126211876.
3. Pinkus, Allan (agosto de 2015). Funciones de cresta. Cambridge: Cambridge Tracts in Mathematics 205. Cambridge University Press. 215 pp. ISBN 9781316408124.
4. Ismailov, Vugar (diciembre de 2021). Funciones de cresta y aplicaciones en redes neuronales. Providence, RI: Mathematical Surveys and Monographs 263. American Mathematical Society. 186 pp. ISBN 978-1-4704-6765-4.