operador de retraso

Operador para compensar elementos de series temporales.

En el análisis de series de tiempo , el operador de retraso (L) o el operador de desplazamiento hacia atrás (B) opera sobre un elemento de una serie de tiempo para producir el elemento anterior. Por ejemplo, dadas algunas series de tiempo

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

entonces

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$para todos ${\displaystyle t>1}$

o similarmente en términos del operador de retroceso B : para todos . De manera equivalente, esta definición se puede representar como ${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$ ${\displaystyle t>1}$

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$para todos ${\displaystyle t\geq 1}$

El operador de retraso (así como el operador de retroceso) se puede elevar a potencias enteras arbitrarias de modo que

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

y

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}$

Polinomios de retraso

Se pueden utilizar polinomios del operador de retraso, y esta es una notación común para los modelos ARMA (media móvil autorregresiva). Por ejemplo,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

especifica un modelo AR( p ).

Un polinomio de operadores de retraso se denomina polinomio de retraso de modo que, por ejemplo, el modelo ARMA se puede especificar de manera concisa como

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

donde y respectivamente representan los polinomios de retraso ${\displaystyle \varphi (L)}$ ${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

y

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Los polinomios de operadores de retraso siguen reglas de multiplicación y división similares a las de los números y polinomios de variables. Por ejemplo,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

significa lo mismo que

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

Al igual que con los polinomios de variables, un polinomio en el operador de retraso se puede dividir por otro usando división larga de polinomio . En general, dividir un polinomio por otro, cuando cada uno tiene un orden finito (exponente más alto), da como resultado un polinomio de orden infinito.

Un operador aniquilador , denotado , elimina las entradas del polinomio con potencia negativa (valores futuros). ${\displaystyle [\ ]_{+}}$

Tenga en cuenta que denota la suma de coeficientes: ${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Operador de diferencia

En el análisis de series de tiempo, el operador de primera diferencia: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

De manera similar, el segundo operador de diferencia funciona de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

El enfoque anterior se generaliza al operador de diferencia i -ésimo ${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Expectativa condicional

Es común en los procesos estocásticos preocuparse por el valor esperado de una variable dado un conjunto de información previo. Sea toda la información que es de conocimiento común en el momento t (a menudo se incluye un subíndice debajo del operador de expectativa); entonces el valor esperado de la realización de X , j pasos de tiempo en el futuro se puede escribir de manera equivalente como: ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

Con estas expectativas condicionales dependientes del tiempo, existe la necesidad de distinguir entre el operador de retroceso ( B ) que solo ajusta la fecha de la variable pronosticada y el operador de retraso ( L ) que ajusta igualmente la fecha de la variable pronosticada y el conjunto de información. :

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

Ver también

• Modelo autorregresivo
• Modelo de media móvil autorregresiva
• Modelo de media móvil
• operador de turno
• Transformada Z

Referencias

• Hamilton, James Douglas (1994). Análisis de series temporales . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-04289-6.
• Verbeek, Marno (2008). Una guía para la econometría moderna . John Wiley e hijos. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Operador diferencial . Investigación Wolfram . Consultado el 10 de noviembre de 2017 .
• Caja, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregorio C.; Ljung, Greta M. (2016). Análisis de series temporales: previsión y control (5ª ed.). Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.