Campo de residuos

Campo que surge de un anillo cociente por un ideal máximo

En matemáticas , el cuerpo de residuos es una construcción básica en álgebra conmutativa . Si R es un anillo conmutativo y m es un ideal maximal , entonces el cuerpo de residuos es el anillo cociente k = R / m , que es un cuerpo . ^[1] Con frecuencia, R es un anillo local y m es entonces su único ideal maximal.

En álgebra abstracta, el cuerpo de descomposición de un polinomio se construye utilizando cuerpos de residuos. Los cuerpos de residuos también se aplican en geometría algebraica , donde a cada punto x de un esquema X se le asocia su cuerpo de residuos k ( x ). ^[2] Se puede decir de manera un poco vaga que el cuerpo de residuos de un punto de una variedad algebraica abstracta es el 'dominio natural' para las coordenadas del punto. ^{[ aclaración necesaria ]}

Definición

Supóngase que R es un anillo local conmutativo , con ideal máximo m . Entonces, el campo de residuos es el anillo cociente R / m .

Supongamos ahora que X es un esquema y x es un punto de X . Por la definición de esquema, podemos encontrar un entorno afín U = Spec( A ) de x , con A algún anillo conmutativo . Considerado en el entorno U , el punto x corresponde a un ideal primo p ⊆ A (véase la topología de Zariski ). El anillo local de X en x es por definición la localización A _p de A por A \ p , y A _p tiene un ideal máximo m = p·A _p . Aplicando la construcción anterior, obtenemos el cuerpo de residuos del punto x :

k ( x ₎ : = Ap / p · Ap _.

Se puede demostrar que esta definición no depende de la elección del vecindario afín U. ^[3 ]

Un punto se llama K -racional para un cierto campo K , si k ( x ) = K . ^[4]

Ejemplo

Consideremos la línea afín A ¹ ( k ) = Spec( k [ t ]) sobre un cuerpo k . Si k es algebraicamente cerrado , hay exactamente dos tipos de ideales primos, a saber:

• ( t  −  a ), a ∈ k
• (0), el ideal cero.

Los campos de residuos son

• ${\displaystyle k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k}$
• ${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}$, el campo de función sobre k en una variable.

Si k no es algebraicamente cerrado, entonces surgen más tipos, por ejemplo, si k = R , entonces el ideal primo ( x ²  + 1) tiene un campo de residuos isomorfo a C.

Propiedades

• Para un esquema localmente de tipo finito sobre un cuerpo k , un punto x es cerrado si y solo si k ( x ) es una extensión finita del cuerpo base k . Esta es una formulación geométrica del Nullstellensatz de Hilbert . En el ejemplo anterior, los puntos del primer tipo son cerrados, teniendo cuerpo de residuos k , mientras que el segundo punto es el punto genérico , teniendo grado de trascendencia 1 sobre k .
• Un morfismo Spec( K ) → X , K algún cuerpo, es equivalente a dar un punto x ∈ X y una extensión K / k ( x ).
• La dimensión de un esquema de tipo finito sobre un cuerpo es igual al grado de trascendencia del campo de residuos del punto genérico.

Véase también

• Función aritmética zeta

Referencias

1. Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3.ª edición). Wiley. ISBN 9780471433347.
2. David Mumford (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos . Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 1358 (2.ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN. 3-540-63293-X.
3. Intuitivamente, el cuerpo de residuos de un punto es un invariante local. Los axiomas de los esquemas se establecen de tal manera que aseguren la compatibilidad entre varios vecindarios abiertos afines de un punto, lo que implica la afirmación.
4. Görtz, Ulrich y Wedhorn, Torsten. Geometría algebraica: Parte 1: Esquemas (2010) Vieweg+Teubner Verlag.

Lectura adicional

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157, sección II.2