Relatividad general

Theory of gravitation as curved spacetime

Simulación por computadora en cámara lenta del sistema binario de agujeros negros GW150914 visto por un observador cercano, durante 0,33 s de su espiral final , fusión y caída . El campo estelar detrás de los agujeros negros está muy distorsionado y parece rotar y moverse, debido a la lente gravitacional extrema , ya que el espacio-tiempo en sí mismo está distorsionado y arrastrado por los agujeros negros giratorios . ^[1]

La relatividad general , también conocida como teoría general de la relatividad y como teoría de la gravedad de Einstein , es la teoría geométrica de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915 y es la descripción actual de la gravitación en la física moderna . La relatividad general generaliza la relatividad especial y refina la ley de gravitación universal de Newton , proporcionando una descripción unificada de la gravedad como una propiedad geométrica del espacio y el tiempo , o espacio-tiempo de cuatro dimensiones . En particular, la curvatura del espacio-tiempo está directamente relacionada con la energía y el momento de cualquier materia y radiación presente . La relación está especificada por las ecuaciones de campo de Einstein , un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden .

La ley de gravitación universal de Newton , que describe la gravedad clásica, puede verse como una predicción de la relatividad general para la geometría casi plana del espacio-tiempo alrededor de distribuciones de masa estacionarias. Sin embargo, algunas predicciones de la relatividad general van más allá de la ley de gravitación universal de Newton en la física clásica . Estas predicciones se refieren al paso del tiempo, la geometría del espacio, el movimiento de los cuerpos en caída libre y la propagación de la luz, e incluyen la dilatación del tiempo gravitacional , el efecto de lente gravitacional , el desplazamiento al rojo gravitacional de la luz, el retardo temporal de Shapiro y las singularidades / agujeros negros . Hasta ahora, se ha demostrado que todas las pruebas de la relatividad general están de acuerdo con la teoría. Las soluciones dependientes del tiempo de la relatividad general nos permiten hablar sobre la historia del universo y han proporcionado el marco moderno para la cosmología , lo que conduce al descubrimiento del Big Bang y la radiación de fondo de microondas cósmico . A pesar de la introducción de una serie de teorías alternativas , la relatividad general sigue siendo la teoría más simple consistente con los datos experimentales .

Sin embargo, la conciliación de la relatividad general con las leyes de la física cuántica sigue siendo un problema, ya que no existe una teoría autoconsistente de la gravedad cuántica . Aún no se sabe cómo se puede unificar la gravedad con las tres fuerzas no gravitacionales: fuerte , débil y electromagnética .

La teoría de Einstein tiene implicaciones astrofísicas , incluida la predicción de los agujeros negros —regiones del espacio en las que el espacio y el tiempo están distorsionados de tal manera que nada, ni siquiera la luz , puede escapar de ellos—. Los agujeros negros son el estado final de las estrellas masivas . Se cree que los microcuásares y los núcleos galácticos activos son agujeros negros estelares y agujeros negros supermasivos . También predice el efecto de lente gravitacional , donde la curvatura de la luz da como resultado múltiples imágenes del mismo fenómeno astronómico distante. Otras predicciones incluyen la existencia de ondas gravitacionales , que han sido observadas directamente por la colaboración de física LIGO y otros observatorios. Además, la relatividad general ha proporcionado la base de los modelos cosmológicos de un universo en expansión .

Ampliamente reconocida como una teoría de extraordinaria belleza , la relatividad general ha sido descrita a menudo como la más hermosa de todas las teorías físicas existentes. ^[2]

Historia

La teoría de Henri Poincaré sobre la dinámica del electrón de 1905 era una teoría relativista que aplicó a todas las fuerzas, incluida la gravedad. Mientras que otros pensaban que la gravedad era instantánea o de origen electromagnético, él sugirió que la relatividad era "algo debido a nuestros métodos de medición". En su teoría, demostró que las ondas gravitacionales se propagan a la velocidad de la luz. ^[3] Poco después, Einstein comenzó a pensar en cómo incorporar la gravedad a su marco relativista. En 1907, comenzando con un simple experimento mental que involucraba a un observador en caída libre (FFO), se embarcó en lo que sería una búsqueda de ocho años de una teoría relativista de la gravedad. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó en la presentación a la Academia Prusiana de Ciencias en noviembre de 1915 de lo que ahora se conoce como las ecuaciones de campo de Einstein, que forman el núcleo de la teoría general de la relatividad de Einstein. ^[4] Estas ecuaciones especifican cómo la geometría del espacio y el tiempo se ve influenciada por cualquier materia y radiación presentes. ^[5] Una versión de la geometría no euclidiana , llamada geometría de Riemann , permitió a Einstein desarrollar la relatividad general al proporcionar el marco matemático clave en el que ajustó sus ideas físicas de la gravedad. ^[6] Esta idea fue señalada por el matemático Marcel Grossmann y publicada por Grossmann y Einstein en 1913. ^[7]

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y se consideran difíciles de resolver. Einstein utilizó métodos de aproximación para elaborar las predicciones iniciales de la teoría. Pero en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein, la métrica de Schwarzschild . Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas finales del colapso gravitacional y los objetos conocidos hoy como agujeros negros. En el mismo año, se dieron los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos cargados eléctricamente , lo que finalmente resultó en la solución de Reissner-Nordström , que ahora se asocia con los agujeros negros cargados eléctricamente . ^[8] En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, asumió un universo estático, agregando un nuevo parámetro a sus ecuaciones de campo originales, la constante cosmológica , para que coincida con esa presunción observacional. ^[9] Sin embargo, en 1929, el trabajo de Hubble y otros había demostrado que nuestro universo se está expandiendo. Esto se describe fácilmente mediante las soluciones cosmológicas en expansión encontradas por Friedmann en 1922, que no requieren una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos del Big Bang , en los que nuestro universo ha evolucionado a partir de un estado anterior extremadamente caliente y denso. ^[10] Einstein declaró más tarde que la constante cosmológica era el mayor error de su vida. ^[11]

Durante ese período, la relatividad general siguió siendo una curiosidad entre las teorías físicas. Era claramente superior a la gravedad newtoniana , siendo consistente con la relatividad especial y explicando varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. Einstein mostró en 1915 cómo su teoría explicaba el avance anómalo del perihelio del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario ("factores de ajuste"), ^[12] y en 1919 una expedición dirigida por Eddington confirmó la predicción de la relatividad general sobre la desviación de la luz de las estrellas por el Sol durante el eclipse solar total del 29 de mayo de 1919 , ^[13] haciendo instantáneamente famoso a Einstein. ^[14] Sin embargo, la teoría permaneció fuera de la corriente principal de la física teórica y la astrofísica hasta los desarrollos entre aproximadamente 1960 y 1975, ahora conocidos como la edad de oro de la relatividad general . ^[15] Los físicos comenzaron a comprender el concepto de agujero negro y a identificar a los cuásares como una de las manifestaciones astrofísicas de estos objetos. ^[16] Pruebas cada vez más precisas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, ^[17] y la cosmología relativista también se volvió susceptible de pruebas observacionales directas. ^[18]

La relatividad general ha adquirido una reputación de teoría de extraordinaria belleza. ^{[2] [19] [20]} Subrahmanyan Chandrasekhar ha señalado que en múltiples niveles, la relatividad general exhibe lo que Francis Bacon ha denominado una "extrañeza en la proporción" ( es decir , elementos que provocan asombro y sorpresa). Yuxtapone conceptos fundamentales (espacio y tiempo versus materia y movimiento) que previamente se habían considerado como completamente independientes. Chandrasekhar también señaló que las únicas guías de Einstein en su búsqueda de una teoría exacta fueron el principio de equivalencia y su idea de que una descripción adecuada de la gravedad debería ser geométrica en su base, de modo que había un "elemento de revelación" en la forma en que Einstein llegó a su teoría. ^[21] Otros elementos de belleza asociados con la teoría general de la relatividad son su simplicidad y simetría, la forma en que incorpora la invariancia y la unificación, y su perfecta consistencia lógica. ^[22]

En el prefacio de La relatividad: teoría especial y teoría general , Einstein dijo: "El presente libro tiene como objetivo, en la medida de lo posible, dar una visión exacta de la teoría de la relatividad a aquellos lectores que, desde un punto de vista científico y filosófico general, están interesados ​​en la teoría, pero que no están familiarizados con el aparato matemático de la física teórica. La obra presupone un nivel de educación correspondiente al de un examen de matriculación universitaria y, a pesar de la brevedad del libro, una buena dosis de paciencia y fuerza de voluntad por parte del lector. El autor no ha escatimado esfuerzos en su esfuerzo por presentar las ideas principales en la forma más simple e inteligible y, en general, en la secuencia y conexión en que realmente se originaron". ^[23]

De la mecánica clásica a la relatividad general

La relatividad general puede entenderse examinando sus similitudes y desviaciones con la física clásica. El primer paso es darse cuenta de que la mecánica clásica y la ley de la gravedad de Newton admiten una descripción geométrica. La combinación de esta descripción con las leyes de la relatividad especial da como resultado una derivación heurística de la relatividad general. ^{[24] [25]}

Geometría de la gravedad newtoniana

Según la relatividad general, los objetos que se encuentran en un campo gravitatorio se comportan de manera similar a los que se encuentran dentro de un recinto en aceleración. Por ejemplo, un observador verá caer una pelota de la misma manera en un cohete (izquierda) que en la Tierra (derecha), siempre que la aceleración del cohete sea igual a 9,8 m/s2 ⁽ la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra).

En la base de la mecánica clásica está la noción de que el movimiento de un cuerpo puede describirse como una combinación de movimiento libre (o inercial ) y desviaciones de este movimiento libre. Tales desviaciones son causadas por fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo de acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton , que establece que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la masa (inercial) de ese cuerpo multiplicada por su aceleración . ^[26] Los movimientos inerciales preferidos están relacionados con la geometría del espacio y el tiempo: en los marcos de referencia estándar de la mecánica clásica, los objetos en movimiento libre se mueven a lo largo de líneas rectas a velocidad constante. En el lenguaje moderno, sus trayectorias son geodésicas , líneas rectas del mundo en el espacio-tiempo curvo . ^[27]

Por el contrario, se podría esperar que los movimientos inerciales, una vez identificados mediante la observación de los movimientos reales de los cuerpos y teniendo en cuenta las fuerzas externas (como el electromagnetismo o la fricción ), se puedan utilizar para definir la geometría del espacio, así como una coordenada de tiempo . Sin embargo, existe una ambigüedad una vez que entra en juego la gravedad. Según la ley de la gravedad de Newton, y verificada independientemente por experimentos como el de Eötvös y sus sucesores (véase el experimento de Eötvös ), existe una universalidad de la caída libre (también conocida como el principio de equivalencia débil , o la igualdad universal de la masa inercial y la masa pasivo-gravitacional): la trayectoria de un cuerpo de prueba en caída libre depende solo de su posición y velocidad inicial, pero no de ninguna de sus propiedades materiales. ^[28] Una versión simplificada de esto se materializa en el experimento del ascensor de Einstein , ilustrado en la figura de la derecha: para un observador en una habitación cerrada, es imposible decidir, mediante el mapeo de la trayectoria de cuerpos como una pelota caída, si la habitación está estacionaria en un campo gravitacional y la pelota acelerando, o en el espacio libre a bordo de un cohete que está acelerando a una velocidad igual a la del campo gravitacional versus la pelota que al soltarse tiene aceleración nula. ^[29]

Dada la universalidad de la caída libre, no hay una distinción observable entre el movimiento inercial y el movimiento bajo la influencia de la fuerza gravitatoria. Esto sugiere la definición de una nueva clase de movimiento inercial, a saber, el de los objetos en caída libre bajo la influencia de la gravedad. Esta nueva clase de movimientos preferidos también define una geometría del espacio y el tiempo: en términos matemáticos, es el movimiento geodésico asociado con una conexión específica que depende del gradiente del potencial gravitatorio . El espacio, en esta construcción, todavía tiene la geometría euclidiana ordinaria . Sin embargo, el espacio- tiempo en su conjunto es más complicado. Como se puede demostrar utilizando experimentos mentales simples siguiendo las trayectorias de caída libre de diferentes partículas de prueba, el resultado de transportar vectores del espacio-tiempo que pueden denotar la velocidad de una partícula (vectores similares al tiempo) variará con la trayectoria de la partícula; matemáticamente hablando, la conexión newtoniana no es integrable . De esto, se puede deducir que el espacio-tiempo es curvo. La teoría de Newton-Cartan resultante es una formulación geométrica de la gravedad newtoniana que utiliza únicamente conceptos covariantes , es decir, una descripción que es válida en cualquier sistema de coordenadas deseado. ^[30] En esta descripción geométrica, los efectos de marea (la aceleración relativa de los cuerpos en caída libre) se relacionan con la derivada de la conexión, mostrando cómo la geometría modificada es causada por la presencia de masa. ^[31]

Generalización relativista

Cono de luz

Por intrigante que pueda ser la gravedad geométrica newtoniana, su base, la mecánica clásica, es meramente un caso límite de la mecánica relativista (especial). ^[32] En el lenguaje de la simetría : donde la gravedad puede ser descuidada, la física es invariante de Lorentz como en la relatividad especial en lugar de invariante de Galileo como en la mecánica clásica. (La simetría definitoria de la relatividad especial es el grupo de Poincaré , que incluye traslaciones, rotaciones, impulsos y reflexiones). Las diferencias entre los dos se vuelven significativas cuando se trata de velocidades que se acercan a la velocidad de la luz y con fenómenos de alta energía. ^[33]

Con la simetría de Lorentz, entran en juego estructuras adicionales. Se definen por el conjunto de conos de luz (ver imagen). Los conos de luz definen una estructura causal: para cada evento A , hay un conjunto de eventos que pueden, en principio, influir o ser influenciados por A a través de señales o interacciones que no necesitan viajar más rápido que la luz (como el evento B en la imagen), y un conjunto de eventos para los cuales tal influencia es imposible (como el evento C en la imagen). Estos conjuntos son independientes del observador . ^[34] Junto con las líneas del mundo de partículas en caída libre, los conos de luz se pueden utilizar para reconstruir la métrica semi-riemanniana del espacio-tiempo, al menos hasta un factor escalar positivo. En términos matemáticos, esto define una estructura conforme ^[35] o geometría conforme.

La relatividad especial se define en ausencia de gravedad. Para aplicaciones prácticas, es un modelo adecuado siempre que la gravedad pueda ser descuidada. Si se pone en juego la gravedad y se supone la universalidad del movimiento de caída libre, se aplica un razonamiento análogo al de la sección anterior: no hay marcos inerciales globales . En cambio, hay marcos inerciales aproximados que se mueven junto con partículas en caída libre. Traducido al lenguaje del espacio-tiempo: las líneas rectas temporales que definen un marco inercial sin gravedad se deforman en líneas que son curvas entre sí, lo que sugiere que la inclusión de la gravedad requiere un cambio en la geometría del espacio-tiempo. ^[36]

A priori, no está claro si los nuevos marcos locales en caída libre coinciden con los marcos de referencia en los que se cumplen las leyes de la relatividad especial (esa teoría se basa en la propagación de la luz y, por lo tanto, en el electromagnetismo, que podría tener un conjunto diferente de marcos preferidos ). Pero utilizando diferentes supuestos sobre los marcos de la relatividad especial (como que estén fijos en la Tierra o en caída libre), se pueden derivar diferentes predicciones para el corrimiento al rojo gravitacional, es decir, la forma en que la frecuencia de la luz cambia a medida que la luz se propaga a través de un campo gravitacional (véase más abajo). Las mediciones reales muestran que los marcos de caída libre son aquellos en los que la luz se propaga como lo hace en la relatividad especial. ^[37] La ​​generalización de esta afirmación, es decir, que las leyes de la relatividad especial se cumplen con una buena aproximación en marcos de referencia en caída libre (y no giratorios), se conoce como el principio de equivalencia de Einstein , un principio rector crucial para generalizar la física relativista especial para incluir la gravedad. ^[38]

Los mismos datos experimentales muestran que el tiempo medido por relojes en un campo gravitatorio —el tiempo propio , para dar el término técnico— no sigue las reglas de la relatividad especial. En el lenguaje de la geometría del espacio-tiempo, no se mide con la métrica de Minkowski . Como en el caso newtoniano, esto sugiere una geometría más general. A escalas pequeñas, todos los marcos de referencia que están en caída libre son equivalentes y aproximadamente minkowskianos. En consecuencia, ahora estamos tratando con una generalización curva del espacio de Minkowski. El tensor métrico que define la geometría —en particular, cómo se miden las longitudes y los ángulos— no es la métrica de Minkowski de la relatividad especial, es una generalización conocida como métrica semi- o pseudo-riemanniana . Además, cada métrica de Riemann está naturalmente asociada con un tipo particular de conexión, la conexión de Levi-Civita , y esta es, de hecho, la conexión que satisface el principio de equivalencia y hace que el espacio sea localmente minkowskiano (es decir, en coordenadas inerciales locales adecuadas , la métrica es minkowskiana, y sus primeras derivadas parciales y los coeficientes de conexión se desvanecen). ^[39]

Las ecuaciones de Einstein

Habiendo formulado la versión relativista y geométrica de los efectos de la gravedad, queda la cuestión de la fuente de la gravedad. En la gravedad newtoniana, la fuente es la masa. En la relatividad especial, la masa resulta ser parte de una cantidad más general llamada tensor de energía-momento , que incluye tanto las densidades de energía y momento como la tensión : presión y cizallamiento. ^[40] Usando el principio de equivalencia, este tensor se generaliza fácilmente al espacio-tiempo curvo. Siguiendo con la analogía con la gravedad newtoniana geométrica, es natural suponer que la ecuación de campo para la gravedad relaciona este tensor y el tensor de Ricci , que describe una clase particular de efectos de marea: el cambio en el volumen de una pequeña nube de partículas de prueba que inicialmente están en reposo y luego caen libremente. En la relatividad especial, la conservación de la energía -momento corresponde a la afirmación de que el tensor de energía-momento está libre de divergencia . Esta fórmula también se puede generalizar fácilmente al espacio-tiempo curvo si se reemplazan las derivadas parciales por sus contrapartes de variedades curvas, las derivadas covariantes estudiadas en geometría diferencial. Con esta condición adicional (la divergencia covariante del tensor de energía-momento, y por lo tanto de lo que esté en el otro lado de la ecuación, es cero), el conjunto de ecuaciones no triviales más simple son las llamadas ecuaciones de Einstein (de campo):

Ecuaciones de campo de Einstein

${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,}$

En el lado izquierdo se encuentra el tensor de Einstein , que es simétrico y una combinación específica sin divergencia del tensor de Ricci y la métrica. En particular, ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

es el escalar de curvatura. El tensor de Ricci en sí está relacionado con el tensor de curvatura de Riemann más general como

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.}$

En el lado derecho, es una constante y es el tensor de energía-momento. Todos los tensores se escriben en notación de índice abstracto . ^[41] Al hacer coincidir la predicción de la teoría con los resultados observacionales para órbitas planetarias o, equivalentemente, asegurar que el límite de baja velocidad y gravedad débil es la mecánica newtoniana, se encuentra que la constante de proporcionalidad es , donde es la constante de gravitación newtoniana y la velocidad de la luz en el vacío. ^[42] Cuando no hay materia presente, de modo que el tensor de energía-momento se desvanece, los resultados son las ecuaciones de Einstein del vacío, ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0.}$

En la relatividad general, la línea del universo de una partícula libre de toda fuerza externa no gravitatoria es un tipo particular de geodésica en el espacio-tiempo curvo. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.

La ecuación geodésica es:

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0,}$

donde es un parámetro escalar de movimiento (por ejemplo, el tiempo propio ), y son símbolos de Christoffel (a veces llamados coeficientes de conexión afín o coeficientes de conexión de Levi-Civita ) que es simétrico en los dos índices inferiores. Los índices griegos pueden tomar los valores: 0, 1, 2, 3 y se utiliza la convención de suma para índices repetidos y . La cantidad en el lado izquierdo de esta ecuación es la aceleración de una partícula, por lo que esta ecuación es análoga a las leyes de movimiento de Newton que también proporcionan fórmulas para la aceleración de una partícula. Esta ecuación de movimiento emplea la notación de Einstein , lo que significa que los índices repetidos se suman (es decir, de cero a tres). Los símbolos de Christoffel son funciones de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y, por lo tanto, son independientes de la velocidad o aceleración u otras características de una partícula de prueba cuyo movimiento se describe mediante la ecuación geodésica. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Fuerza total en la relatividad general

En relatividad general, la energía potencial gravitacional efectiva de un objeto de masa m que gira alrededor de un cuerpo central masivo M está dada por ^{[43] [44]}

${\displaystyle U_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{mc^{2}r^{3}}}}$

Se puede obtener entonces una fuerza total conservadora como su gradiente negativo

${\displaystyle F_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}-{\frac {3GML^{2}}{mc^{2}r^{4}}}}$

donde L es el momento angular . El primer término representa la fuerza de gravedad newtoniana , que se describe mediante la ley del cuadrado inverso. El segundo término representa la fuerza centrífuga en el movimiento circular. El tercer término representa el efecto relativista.

Alternativas a la relatividad general

Existen alternativas a la relatividad general basadas en las mismas premisas, que incluyen reglas y/o restricciones adicionales, lo que lleva a ecuaciones de campo diferentes. Algunos ejemplos son la teoría de Whitehead , la teoría de Brans-Dicke , el teleparalelismo , la gravedad f ( R ) y la teoría de Einstein-Cartan . ^[45]

Definición y aplicaciones básicas

La derivación esbozada en la sección anterior contiene toda la información necesaria para definir la relatividad general, describir sus propiedades clave y abordar una cuestión de importancia crucial en física, a saber, cómo se puede utilizar la teoría para la construcción de modelos.

Definición y propiedades básicas

La relatividad general es una teoría métrica de la gravitación. En su núcleo se encuentran las ecuaciones de Einstein , que describen la relación entre la geometría de una variedad pseudo-riemanniana de cuatro dimensiones que representa el espacio-tiempo, y la energía-momento contenida en ese espacio-tiempo. ^[46] Los fenómenos que en la mecánica clásica se atribuyen a la acción de la fuerza de la gravedad (como la caída libre , el movimiento orbital y las trayectorias de las naves espaciales ), corresponden al movimiento inercial dentro de una geometría curva del espacio-tiempo en la relatividad general; no hay ninguna fuerza gravitacional que desvíe a los objetos de sus trayectorias naturales y rectas. En cambio, la gravedad corresponde a cambios en las propiedades del espacio y el tiempo, lo que a su vez cambia las trayectorias más rectas posibles que los objetos seguirán naturalmente. ^[47] La ​​curvatura es, a su vez, causada por la energía-momento de la materia. Parafraseando al relativista John Archibald Wheeler , el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse. ^[48]

Si bien la relatividad general reemplaza el potencial gravitatorio escalar de la física clásica por un tensor simétrico de rango dos , este último se reduce al primero en ciertos casos límite . Para campos gravitatorios débiles y velocidades lentas en relación con la velocidad de la luz, las predicciones de la teoría convergen con las de la ley de gravitación universal de Newton. ^[49]

Como está construida usando tensores, la relatividad general exhibe covarianza general : sus leyes—y otras leyes formuladas dentro del marco relativista general—toman la misma forma en todos los sistemas de coordenadas . ^[50] Además, la teoría no contiene ninguna estructura geométrica de fondo invariante, es decir, es independiente del fondo . Por lo tanto, satisface un principio general de relatividad más estricto , a saber, que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores. ^[51] Localmente , como se expresa en el principio de equivalencia, el espacio-tiempo es minkowskiano , y las leyes de la física exhiben invariancia de Lorentz local . ^[52]

Construcción de modelos

El concepto central de la construcción de modelos relativistas generales es el de una solución de las ecuaciones de Einstein . Dadas tanto las ecuaciones de Einstein como las ecuaciones adecuadas para las propiedades de la materia, dicha solución consiste en una variedad semiriemanniana específica (generalmente definida dando la métrica en coordenadas específicas) y campos de materia específicos definidos en esa variedad. La materia y la geometría deben satisfacer las ecuaciones de Einstein, por lo que, en particular, el tensor de energía-momento de la materia debe estar libre de divergencias. La materia, por supuesto, también debe satisfacer cualquier ecuación adicional que se haya impuesto a sus propiedades. En resumen, dicha solución es un universo modelo que satisface las leyes de la relatividad general y posiblemente leyes adicionales que gobiernen cualquier materia que pueda estar presente. ^[53]

Las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales parciales no lineales y, como tales, difíciles de resolver con exactitud. ^[54] Sin embargo, se conocen varias soluciones exactas , aunque solo unas pocas tienen aplicaciones físicas directas. ^[55] Las soluciones exactas más conocidas, y también las más interesantes desde el punto de vista de la física, son la solución de Schwarzschild , la solución de Reissner-Nordström y la métrica de Kerr , cada una correspondiente a un cierto tipo de agujero negro en un universo por lo demás vacío, ^[56] y los universos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker y de Sitter , cada uno de los cuales describe un cosmos en expansión. ^[57] Las soluciones exactas de gran interés teórico incluyen el universo de Gödel (que abre la intrigante posibilidad de viajar en el tiempo en espacios-tiempos curvos), la solución Taub-NUT (un universo modelo que es homogéneo , pero anisotrópico ) y el espacio anti-de Sitter (que recientemente ha cobrado importancia en el contexto de lo que se llama la conjetura de Maldacena ). ^[58]

Dada la dificultad de encontrar soluciones exactas, las ecuaciones de campo de Einstein también se resuelven con frecuencia mediante integración numérica en una computadora, o considerando pequeñas perturbaciones de soluciones exactas. En el campo de la relatividad numérica , se emplean computadoras potentes para simular la geometría del espacio-tiempo y resolver las ecuaciones de Einstein para situaciones interesantes como dos agujeros negros en colisión. ^[59] En principio, estos métodos se pueden aplicar a cualquier sistema, dados los recursos informáticos suficientes, y pueden abordar cuestiones fundamentales como las singularidades desnudas . También se pueden encontrar soluciones aproximadas mediante teorías de perturbación como la gravedad linealizada ^[60] y su generalización, la expansión post-newtoniana , ambas desarrolladas por Einstein. Esta última proporciona un enfoque sistemático para resolver la geometría de un espacio-tiempo que contiene una distribución de materia que se mueve lentamente en comparación con la velocidad de la luz. La expansión implica una serie de términos; los primeros términos representan la gravedad newtoniana, mientras que los términos posteriores representan correcciones cada vez más pequeñas a la teoría de Newton debido a la relatividad general. ^[61] Una extensión de esta expansión es el formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN), que permite comparaciones cuantitativas entre las predicciones de la relatividad general y teorías alternativas. ^[62]

Consecuencias de la teoría de Einstein

La relatividad general tiene varias consecuencias físicas. Algunas se desprenden directamente de los axiomas de la teoría, mientras que otras sólo se han aclarado en el transcurso de muchos años de investigación que siguieron a la publicación inicial de Einstein.

Dilatación del tiempo gravitacional y desplazamiento de frecuencia

Representación esquemática del desplazamiento al rojo gravitacional de una onda de luz que escapa de la superficie de un cuerpo masivo

Suponiendo que se cumple el principio de equivalencia, ^[63] la gravedad influye en el paso del tiempo. La luz enviada hacia abajo en un pozo de gravedad se desplaza hacia el azul , mientras que la luz enviada en la dirección opuesta (es decir, saliendo del pozo de gravedad) se desplaza hacia el rojo ; colectivamente, estos dos efectos se conocen como el desplazamiento de frecuencia gravitacional. De manera más general, los procesos cercanos a un cuerpo masivo se desarrollan más lentamente en comparación con los procesos que ocurren más lejos; este efecto se conoce como dilatación del tiempo gravitacional. ^[64]

El corrimiento al rojo gravitacional se ha medido en el laboratorio ^[65] y utilizando observaciones astronómicas. ^[66] La dilatación del tiempo gravitacional en el campo gravitacional de la Tierra se ha medido numerosas veces utilizando relojes atómicos , ^[67] mientras que la validación en curso se proporciona como un efecto secundario del funcionamiento del Sistema de Posicionamiento Global (GPS). ^[68] Las pruebas en campos gravitacionales más fuertes se proporcionan mediante la observación de púlsares binarios . ^[69] Todos los resultados concuerdan con la relatividad general. ^[70] Sin embargo, en el nivel actual de precisión, estas observaciones no pueden distinguir entre la relatividad general y otras teorías en las que el principio de equivalencia es válido. ^[71]

Desviación de la luz y retardo temporal gravitacional

Desviación de la luz (emitida desde la ubicación que se muestra en azul) cerca de un cuerpo compacto (que se muestra en gris)

La relatividad general predice que la trayectoria de la luz seguirá la curvatura del espacio-tiempo a medida que pasa cerca de una estrella. Este efecto se confirmó inicialmente al observar cómo la luz de las estrellas o de los cuásares distantes se desvía al pasar cerca del Sol . ^[72]

Esta y otras predicciones relacionadas se derivan del hecho de que la luz sigue lo que se denomina una geodésica nula o similar a la luz , una generalización de las líneas rectas por las que viaja la luz en la física clásica. Estas geodésicas son la generalización de la invariancia de la velocidad de la luz en la relatividad especial. ^[73] Cuando se examinan modelos de espacio-tiempo adecuados (ya sea la solución de Schwarzschild exterior o, para más de una masa, la expansión post-newtoniana), ^[74] surgen varios efectos de la gravedad sobre la propagación de la luz. Aunque la curvatura de la luz también se puede derivar extendiendo la universalidad de la caída libre a la luz, ^[75] el ángulo de desviación resultante de tales cálculos es solo la mitad del valor dado por la relatividad general. ^[76]

Estrechamente relacionado con la desviación de la luz está el retardo temporal de Shapiro, el fenómeno según el cual las señales de luz tardan más en atravesar un campo gravitatorio que en ausencia de dicho campo. Se han realizado numerosas pruebas satisfactorias de esta predicción. ^[77] En el formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN), las mediciones tanto de la desviación de la luz como del retardo temporal gravitatorio determinan un parámetro llamado γ, que codifica la influencia de la gravedad en la geometría del espacio. ^[78]

Ondas gravitacionales

Anillo de partículas de prueba deformadas por una onda gravitacional que pasa (linealizada, amplificada para una mejor visibilidad)

Predichas en 1916 ^{[79] [80]} por Albert Einstein, existen ondas gravitacionales: ondulaciones en la métrica del espacio-tiempo que se propagan a la velocidad de la luz. Estas son una de las varias analogías entre la gravedad de campo débil y el electromagnetismo en el sentido de que son análogas a las ondas electromagnéticas . El 11 de febrero de 2016, el equipo LIGO avanzado anunció que habían detectado directamente ondas gravitacionales de un par de agujeros negros que se fusionaban . ^{[81] [82] [83]}

El tipo más simple de una onda de este tipo se puede visualizar por su acción sobre un anillo de partículas que flotan libremente. Una onda sinusoidal que se propaga a través de dicho anillo hacia el lector distorsiona el anillo de una manera característica y rítmica (imagen animada a la derecha). ^[84] Dado que las ecuaciones de Einstein no son lineales , las ondas gravitacionales arbitrariamente fuertes no obedecen a la superposición lineal , lo que dificulta su descripción. Sin embargo, las aproximaciones lineales de las ondas gravitacionales son lo suficientemente precisas para describir las ondas extremadamente débiles que se espera que lleguen aquí a la Tierra desde eventos cósmicos lejanos, que generalmente dan como resultado distancias relativas que aumentan y disminuyen en o menos. Los métodos de análisis de datos utilizan rutinariamente el hecho de que estas ondas linealizadas pueden descomponerse en Fourier . ^[85] ${\displaystyle 10^{-21}}$

Algunas soluciones exactas describen ondas gravitacionales sin ninguna aproximación, por ejemplo, un tren de ondas que viaja a través del espacio vacío ^[86] o los universos de Gowdy , variedades de un cosmos en expansión lleno de ondas gravitacionales. ^[87] Pero para las ondas gravitacionales producidas en situaciones astrofísicamente relevantes, como la fusión de dos agujeros negros, los métodos numéricos son actualmente la única forma de construir modelos apropiados. ^[88]

Efectos orbitales y relatividad de la dirección

La relatividad general se diferencia de la mecánica clásica en una serie de predicciones relativas a los cuerpos en órbita. Predice una rotación general ( precesión ) de las órbitas planetarias, así como el decaimiento orbital causado por la emisión de ondas gravitacionales y efectos relacionados con la relatividad de la dirección.

Precesión de ábsides

Órbita newtoniana (roja) vs. órbita einsteiniana (azul) de un planeta solitario que orbita alrededor de una estrella. Se ignora la influencia de otros planetas.

En la relatividad general, los ábsides de cualquier órbita (el punto de aproximación más cercano del cuerpo en órbita al centro de masa del sistema ) precesarán ; la órbita no es una elipse , sino algo similar a una elipse que gira sobre su foco, lo que da como resultado una forma similar a una curva en rosa (ver imagen). Einstein derivó por primera vez este resultado utilizando una métrica aproximada que representa el límite newtoniano y tratando al cuerpo en órbita como una partícula de prueba . Para él, el hecho de que su teoría diera una explicación sencilla del desplazamiento anómalo del perihelio de Mercurio, descubierto anteriormente por Urbain Le Verrier en 1859, fue una prueba importante de que por fin había identificado la forma correcta de las ecuaciones del campo gravitacional. ^[89]

El efecto también se puede derivar utilizando la métrica exacta de Schwarzschild (que describe el espacio-tiempo alrededor de una masa esférica) ^{[90] o el} formalismo post-newtoniano mucho más general . ^[91] Se debe a la influencia de la gravedad en la geometría del espacio y a la contribución de la autoenergía a la gravedad de un cuerpo (codificada en la no linealidad de las ecuaciones de Einstein). ^[92] La precesión relativista se ha observado para todos los planetas que permiten mediciones precisas de precesión (Mercurio, Venus y la Tierra), ^[93] así como en sistemas de púlsares binarios, donde es mayor en cinco órdenes de magnitud . ^[94]

En relatividad general, el desplazamiento del perihelio , expresado en radianes por revolución, se da aproximadamente por ^[95] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {24\pi ^{3}L^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\ ,}$

dónde:

• ${\displaystyle L}$es el semieje mayor
• ${\displaystyle T}$es el periodo orbital
• ${\displaystyle c}$¿Cuál es la velocidad de la luz en el vacío?
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad orbital

Desintegración orbital

Desintegración orbital de PSR J0737−3039: cambio de tiempo (en s ), seguido durante 16 años (2021). ^[96]

Según la relatividad general, un sistema binario emitirá ondas gravitacionales, perdiendo así energía. Debido a esta pérdida, la distancia entre los dos cuerpos en órbita disminuye, y también lo hace su período orbital. Dentro del Sistema Solar o para estrellas dobles ordinarias , el efecto es demasiado pequeño para ser observable. Este no es el caso de un púlsar binario cercano, un sistema de dos estrellas de neutrones en órbita , una de las cuales es un púlsar : desde el púlsar, los observadores en la Tierra reciben una serie regular de pulsos de radio que pueden servir como un reloj de alta precisión, que permite mediciones precisas del período orbital. Debido a que las estrellas de neutrones son inmensamente compactas, se emiten cantidades significativas de energía en forma de radiación gravitacional. ^[97]

La primera observación de una disminución del período orbital debido a la emisión de ondas gravitacionales fue realizada por Hulse y Taylor , utilizando el púlsar binario PSR1913+16 que habían descubierto en 1974. Esta fue la primera detección de ondas gravitacionales, aunque indirectas, por la que fueron galardonados con el Premio Nobel de Física en 1993. ^[98] Desde entonces, se han encontrado varios otros púlsares binarios, en particular el púlsar doble PSR J0737−3039 , donde ambas estrellas son púlsares ^[99] y que se informó por última vez que también estaba de acuerdo con la relatividad general en 2021 después de 16 años de observaciones. ^[96]

Precesión geodésica y arrastre de marcos

Varios efectos relativistas están directamente relacionados con la relatividad de la dirección. ^[100] Uno es la precesión geodésica : la dirección del eje de un giroscopio en caída libre en el espacio-tiempo curvo cambiará cuando se compara, por ejemplo, con la dirección de la luz recibida de estrellas distantes, aunque dicho giroscopio representa la forma de mantener una dirección lo más estable posible (" transporte paralelo "). ^[101] Para el sistema Luna-Tierra, este efecto se ha medido con la ayuda del láser lunar . ^[102] Más recientemente, se ha medido para masas de prueba a bordo del satélite Gravity Probe B con una precisión mejor que el 0,3%. ^{[103] [104]}

Cerca de una masa rotatoria, hay efectos gravitomagnéticos o de arrastre de marco . Un observador distante determinará que los objetos cercanos a la masa son "arrastrados". Esto es más extremo en el caso de los agujeros negros rotatorios , donde, para cualquier objeto que entre en una zona conocida como ergosfera , la rotación es inevitable. ^[105] Estos efectos pueden comprobarse nuevamente a través de su influencia en la orientación de los giroscopios en caída libre. ^[106] Se han realizado pruebas algo controvertidas utilizando los satélites LAGEOS , que confirman la predicción relativista. ^[107] También se ha utilizado la sonda Mars Global Surveyor alrededor de Marte. ^[108]

Aplicaciones astrofísicas

Efecto de lente gravitacional

Cruz de Einstein : cuatro imágenes del mismo objeto astronómico, producidas por una lente gravitacional

La desviación de la luz por la gravedad es responsable de una nueva clase de fenómenos astronómicos. Si un objeto masivo se sitúa entre el astrónomo y un objeto objetivo distante con una masa y distancias relativas apropiadas, el astrónomo verá múltiples imágenes distorsionadas del objetivo. Tales efectos se conocen como lentes gravitacionales. ^[109] Dependiendo de la configuración, la escala y la distribución de la masa, puede haber dos o más imágenes, un anillo brillante conocido como anillo de Einstein o anillos parciales llamados arcos. ^[110] El primer ejemplo fue descubierto en 1979; ^[111] desde entonces, se han observado más de cien lentes gravitacionales. ^[112] Incluso si las múltiples imágenes están demasiado cerca una de otra para ser resueltas, el efecto aún se puede medir, por ejemplo, como un brillo general del objeto objetivo; se han observado varios de estos "eventos de microlente ". ^[113]

El efecto de lente gravitacional se ha convertido en una herramienta de la astronomía observacional . Se utiliza para detectar la presencia y distribución de materia oscura , proporcionar un "telescopio natural" para observar galaxias distantes y obtener una estimación independiente de la constante de Hubble . Las evaluaciones estadísticas de los datos de efecto de lente gravitacional proporcionan información valiosa sobre la evolución estructural de las galaxias . ^[114]

Astronomía de ondas gravitacionales

Impresión artística del detector de ondas gravitacionales espacial LISA

Las observaciones de púlsares binarios proporcionan una fuerte evidencia indirecta de la existencia de ondas gravitacionales (ver Decaimiento orbital, arriba). La detección de estas ondas es un objetivo principal de la investigación actual relacionada con la relatividad. ^{[115] Varios} detectores de ondas gravitacionales terrestres están actualmente en funcionamiento, más notablemente los detectores interferométricos GEO 600 , LIGO (dos detectores), TAMA 300 y VIRGO . ^[116] Varias matrices de sincronización de púlsares están utilizando púlsares de milisegundos para detectar ondas gravitacionales en el rango de frecuencia de 10 ⁻⁹ a 10 ⁻⁶ hertz , que se originan a partir de agujeros negros supermasivos binarios. ^[117] Un detector espacial europeo, eLISA / NGO , está actualmente en desarrollo, ^[118] con una misión precursora ( LISA Pathfinder ) que se lanzó en diciembre de 2015. ^[119]

Las observaciones de ondas gravitacionales prometen complementar las observaciones en el espectro electromagnético . ^[120] Se espera que proporcionen información sobre los agujeros negros y otros objetos densos como estrellas de neutrones y enanas blancas, sobre ciertos tipos de implosiones de supernovas y sobre procesos en el universo muy temprano, incluida la firma de ciertos tipos de cuerdas cósmicas hipotéticas . ^[121] En febrero de 2016, el equipo LIGO avanzado anunció que habían detectado ondas gravitacionales de una fusión de agujeros negros. ^{[81] [82] [83]}

Agujeros negros y otros objetos compactos

Simulación basada en las ecuaciones de la relatividad general: una estrella colapsa para formar un agujero negro mientras emite ondas gravitacionales

Siempre que la relación entre la masa de un objeto y su radio se vuelve suficientemente grande, la relatividad general predice la formación de un agujero negro, una región del espacio de la que nada, ni siquiera la luz, puede escapar. En los modelos actualmente aceptados de evolución estelar , se cree que las estrellas de neutrones de alrededor de 1,4 masas solares y los agujeros negros estelares con unas pocas o unas pocas docenas de masas solares son el estado final de la evolución de las estrellas masivas. ^[122] Por lo general, una galaxia tiene un agujero negro supermasivo con unos pocos millones a unos pocos miles de millones de masas solares en su centro, ^[123] y se cree que su presencia ha jugado un papel importante en la formación de la galaxia y de estructuras cósmicas más grandes. ^[124]

Astronómicamente, la propiedad más importante de los objetos compactos es que proporcionan un mecanismo sumamente eficiente para convertir la energía gravitacional en radiación electromagnética. ^{[125] Se cree que} la acreción , la caída de polvo o materia gaseosa sobre agujeros negros estelares o supermasivos, es responsable de algunos objetos astronómicos espectacularmente luminosos, en particular diversos tipos de núcleos galácticos activos en escalas galácticas y objetos de tamaño estelar como los microcuásares. ^[126] En particular, la acreción puede conducir a chorros relativistas , haces enfocados de partículas altamente energéticas que son arrojadas al espacio a casi la velocidad de la luz. ^[127] La ​​relatividad general juega un papel central en el modelado de todos estos fenómenos, ^[128] y las observaciones proporcionan una fuerte evidencia de la existencia de agujeros negros con las propiedades predichas por la teoría. ^[129]

Los agujeros negros también son objetivos muy buscados en la búsqueda de ondas gravitacionales (véase Ondas gravitacionales, más arriba). La fusión de sistemas binarios de agujeros negros debería dar lugar a que algunas de las señales de ondas gravitacionales más fuertes lleguen a los detectores aquí en la Tierra, y la fase inmediatamente anterior a la fusión ("chirrido") podría utilizarse como una " vela estándar " para deducir la distancia a los eventos de fusión y, por lo tanto, servir como una sonda de expansión cósmica a grandes distancias. ^[130] Las ondas gravitacionales producidas cuando un agujero negro estelar se sumerge en uno supermasivo deberían proporcionar información directa sobre la geometría del agujero negro supermasivo. ^[131]

Cosmología

Esta herradura azul es una galaxia distante que ha sido ampliada y deformada hasta formar un anillo casi completo por la fuerte atracción gravitatoria de la masiva galaxia roja luminosa del primer plano.

Los modelos actuales de cosmología se basan en las ecuaciones de campo de Einstein , que incluyen la constante cosmológica ya que tiene una influencia importante en la dinámica a gran escala del cosmos. ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda \ g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

donde es la métrica del espacio-tiempo. ^{[132] Las soluciones} isótropas y homogéneas de estas ecuaciones mejoradas, las soluciones de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker , ^[133] permiten a los físicos modelar un universo que ha evolucionado durante los últimos 14  mil millones  de años a partir de una fase caliente y temprana del Big Bang. ^[134] Una vez que se ha fijado un pequeño número de parámetros (por ejemplo, la densidad media de materia del universo) mediante la observación astronómica, ^[135] se pueden utilizar más datos observacionales para poner a prueba los modelos. ^[136] Las predicciones, todas exitosas, incluyen la abundancia inicial de elementos químicos formados en un período de nucleosíntesis primordial , ^[137] la estructura a gran escala del universo, ^[138] y la existencia y propiedades de un " eco térmico " del cosmos primitivo, la radiación cósmica de fondo . ^[139] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Las observaciones astronómicas de la tasa de expansión cosmológica permiten estimar la cantidad total de materia en el universo, aunque la naturaleza de esa materia sigue siendo en parte misteriosa. Alrededor del 90% de toda la materia parece ser materia oscura, que tiene masa (o, equivalentemente, influencia gravitatoria), pero no interactúa electromagnéticamente y, por lo tanto, no puede observarse directamente. ^[140] No existe una descripción generalmente aceptada de este nuevo tipo de materia, dentro del marco de la física de partículas conocida ^[141] o de otro modo. ^[142] La evidencia observacional de los estudios de corrimiento al rojo de supernovas distantes y las mediciones de la radiación cósmica de fondo también muestran que la evolución de nuestro universo está significativamente influenciada por una constante cosmológica que resulta en una aceleración de la expansión cósmica o, equivalentemente, por una forma de energía con una ecuación de estado inusual , conocida como energía oscura , cuya naturaleza sigue sin estar clara. ^[143]

En 1980 se planteó la hipótesis de una fase inflacionaria , ^[144] una fase adicional de expansión fuertemente acelerada en tiempos cósmicos de alrededor de 10 ^{−33 segundos, para explicar varias observaciones desconcertantes que no se explicaban con los modelos cosmológicos clásicos, como la homogeneidad casi perfecta de la radiación cósmica de fondo. [145]} Las mediciones recientes de la radiación cósmica de fondo han dado como resultado la primera evidencia de este escenario. ^[146] Sin embargo, existe una desconcertante variedad de posibles escenarios inflacionarios, que no pueden restringirse por las observaciones actuales. ^[147] Una pregunta aún más grande es la física del universo más temprano, antes de la fase inflacionaria y cerca de donde los modelos clásicos predicen la singularidad del big bang . Una respuesta autorizada requeriría una teoría completa de la gravedad cuántica, que aún no se ha desarrollado ^[148] (cf. la sección sobre gravedad cuántica, a continuación).

Soluciones exóticas: viajes en el tiempo, motores warp

Kurt Gödel demostró ^[149] que existen soluciones a las ecuaciones de Einstein que contienen curvas temporales cerradas (CTC), que permiten bucles en el tiempo. Las soluciones requieren condiciones físicas extremas que es poco probable que ocurran en la práctica, y sigue siendo una pregunta abierta si otras leyes de la física las eliminarán por completo. Desde entonces, se han encontrado otras soluciones de RG que contienen CTC, igualmente imprácticas, como el cilindro de Tipler y los agujeros de gusano atravesables . Stephen Hawking introdujo la conjetura de protección de la cronología , que es una suposición más allá de las de la relatividad general estándar para evitar los viajes en el tiempo .

Algunas soluciones exactas en relatividad general, como el impulso de Alcubierre, presentan ejemplos de impulso de curvatura , pero estas soluciones requieren una distribución de materia exótica y generalmente sufren de inestabilidad semiclásica. ^[150]

Conceptos avanzados

Simetrías asintóticas

El grupo de simetría del espacio-tiempo para la relatividad especial es el grupo de Poincaré , que es un grupo de diez dimensiones de tres impulsos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntar qué simetrías, si las hay, podrían aplicarse en la relatividad general. Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo tal como las ven los observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitacional. La expectativa ingenua para simetrías del espacio-tiempo asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espacio-tiempo plano de la relatividad especial, es decir , el grupo de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner ^[151] y Rainer K. Sachs ^[152] abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales . Su primer paso fue decidir algunas condiciones de contorno físicamente sensatas para colocar en el campo gravitacional en el infinito similar a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer suposiciones a priori sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica, ni siquiera la suposición de que tal grupo existe. Luego, después de diseñar lo que consideraron que eran las condiciones de contorno más sensatas, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintótica resultantes que dejan invariante la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitacionales asintóticamente planos. Lo que encontraron fue que las transformaciones de simetría asintótica realmente forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como se esperaba, uno puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitacional al menos en el infinito espacial. La sorpresa desconcertante en 1962 fue su descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como el grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. No solo las transformaciones de Lorentz son transformaciones de simetría asintótica, también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz sino que son transformaciones de simetría asintótica. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformaciones conocidos como supertraslaciones . Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (RG) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias. Resulta que la simetría BMS, modificada adecuadamente, podría verse como una reformulación del teorema del gravitón blando universal en la teoría cuántica de campos (QFT), que relaciona la QFT infrarroja universal (blanda) con las simetrías asintóticas del espacio-tiempo de la RG. ^[153]

Estructura causal y geometría global

Diagrama de Penrose-Carter de un universo infinito de Minkowski

En la relatividad general, ningún cuerpo material puede alcanzar o adelantar un pulso de luz. Ninguna influencia de un evento A puede alcanzar ninguna otra ubicación X antes de que la luz enviada de A a X. En consecuencia, una exploración de todas las líneas de luz del mundo ( geodésicas nulas ) proporciona información clave sobre la estructura causal del espacio-tiempo. Esta estructura se puede mostrar utilizando diagramas de Penrose-Carter en los que regiones infinitamente grandes del espacio e intervalos de tiempo infinitos se encogen (" compactan ") para que quepan en un mapa finito, mientras que la luz todavía viaja a lo largo de diagonales como en los diagramas estándar del espacio-tiempo . ^[154]

Conscientes de la importancia de la estructura causal, Roger Penrose y otros desarrollaron lo que se conoce como geometría global . En la geometría global, el objeto de estudio no es una solución particular (o familia de soluciones) para las ecuaciones de Einstein. Más bien, se utilizan relaciones que son válidas para todas las geodésicas, como la ecuación de Raychaudhuri , y suposiciones adicionales no específicas sobre la naturaleza de la materia (generalmente en forma de condiciones de energía ) para derivar resultados generales. ^[155]

Horizontes

Utilizando la geometría global, se puede demostrar que algunos espacio-tiempos contienen límites llamados horizontes , que delimitan una región del resto del espacio-tiempo. Los ejemplos más conocidos son los agujeros negros: si la masa se comprime en una región suficientemente compacta del espacio (como se especifica en la conjetura del aro , la escala de longitud relevante es el radio de Schwarzschild ^[156] ), ninguna luz del interior puede escapar al exterior. Como ningún objeto puede adelantar a un pulso de luz, toda la materia interior también queda aprisionada. El paso del exterior al interior todavía es posible, lo que demuestra que el límite, el horizonte del agujero negro , no es una barrera física. ^[157]

La ergosfera de un agujero negro giratorio, que juega un papel clave a la hora de extraer energía de dicho agujero negro.

Los primeros estudios de los agujeros negros se basaron en soluciones explícitas de las ecuaciones de Einstein, en particular la solución esféricamente simétrica de Schwarzschild (utilizada para describir un agujero negro estático ) y la solución axisimétrica de Kerr (utilizada para describir un agujero negro giratorio y estacionario , y que introduce características interesantes como la ergosfera). Utilizando la geometría global, estudios posteriores han revelado propiedades más generales de los agujeros negros. Con el tiempo se convierten en objetos bastante simples caracterizados por once parámetros que especifican: carga eléctrica, masa-energía, momento lineal , momento angular y ubicación en un momento específico. Esto se establece mediante el teorema de unicidad de los agujeros negros : "los agujeros negros no tienen pelo", es decir, no tienen marcas distintivas como los peinados de los humanos. Independientemente de la complejidad de un objeto gravitacional que colapsa para formar un agujero negro, el objeto que resulta (habiendo emitido ondas gravitacionales) es muy simple. ^[158]

Aún más notable es que existe un conjunto general de leyes conocidas como mecánica de agujeros negros , que es análoga a las leyes de la termodinámica . Por ejemplo, según la segunda ley de la mecánica de agujeros negros, el área del horizonte de sucesos de un agujero negro general nunca disminuirá con el tiempo, de manera análoga a la entropía de un sistema termodinámico. Esto limita la energía que se puede extraer por medios clásicos de un agujero negro en rotación (por ejemplo, mediante el proceso de Penrose ). ^[159] Hay pruebas sólidas de que las leyes de la mecánica de agujeros negros son, de hecho, un subconjunto de las leyes de la termodinámica, y que el área del agujero negro es proporcional a su entropía. ^[160] Esto conduce a una modificación de las leyes originales de la mecánica de agujeros negros: por ejemplo, a medida que la segunda ley de la mecánica de agujeros negros se convierte en parte de la segunda ley de la termodinámica, es posible que el área del agujero negro disminuya siempre que otros procesos aseguren que la entropía aumenta en general. Como objetos termodinámicos con temperatura distinta de cero, los agujeros negros deberían emitir radiación térmica . Los cálculos semiclásicos indican que, en efecto, así es, y que la gravedad superficial desempeña el papel de la temperatura en la ley de Planck . Esta radiación se conoce como radiación de Hawking (véase la sección sobre teoría cuántica, más adelante). ^[161]

Existen muchos otros tipos de horizontes. En un universo en expansión, un observador puede encontrar que algunas regiones del pasado no pueden ser observadas (" horizonte de partículas "), y algunas regiones del futuro no pueden ser influenciadas (horizonte de eventos). ^[162] Incluso en el espacio plano de Minkowski, cuando es descrito por un observador acelerado ( espacio de Rindler ), habrá horizontes asociados con una radiación semiclásica conocida como radiación de Unruh . ^[163]

Singularidades

Otra característica general de la relatividad general es la aparición de límites espacio-temporales conocidos como singularidades. El espacio-tiempo puede explorarse siguiendo geodésicas de tipo temporal y de tipo luminoso (todas las posibles formas en que la luz y las partículas en caída libre pueden viajar). Pero algunas soluciones de las ecuaciones de Einstein tienen "bordes irregulares": regiones conocidas como singularidades espacio-temporales , donde los caminos de la luz y las partículas que caen llegan a un final abrupto y la geometría se vuelve mal definida. En los casos más interesantes, estas son "singularidades de curvatura", donde las cantidades geométricas que caracterizan la curvatura del espacio-tiempo, como el escalar de Ricci , toman valores infinitos. ^[164] Ejemplos bien conocidos de espacio-tiempos con singularidades futuras (donde terminan las líneas del mundo) son la solución de Schwarzschild, que describe una singularidad dentro de un agujero negro estático eterno, ^[165] o la solución de Kerr con su singularidad en forma de anillo dentro de un agujero negro giratorio eterno. ^[166] Las soluciones de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker y otros espacio-tiempos que describen universos tienen singularidades pasadas en las que comienzan las líneas de mundo, es decir, singularidades del Big Bang, y algunas también tienen singularidades futuras ( Big Crunch ). ^[167]

Dado que todos estos ejemplos son altamente simétricos -y por lo tanto simplificados- es tentador concluir que la ocurrencia de singularidades es un artefacto de idealización. ^[168] Los famosos teoremas de singularidad , demostrados usando los métodos de geometría global, dicen lo contrario: las singularidades son una característica genérica de la relatividad general, e inevitables una vez que el colapso de un objeto con propiedades materiales realistas ha avanzado más allá de cierta etapa ^[169] y también al comienzo de una amplia clase de universos en expansión. ^[170] Sin embargo, los teoremas dicen poco sobre las propiedades de las singularidades, y gran parte de la investigación actual está dedicada a caracterizar la estructura genérica de estas entidades (hipótesis planteada, por ejemplo, por la conjetura de BKL ). ^[171] La hipótesis de la censura cósmica establece que todas las singularidades futuras realistas (sin simetrías perfectas, materia con propiedades realistas) están ocultas de forma segura detrás de un horizonte, y por lo tanto son invisibles para todos los observadores distantes. Si bien aún no existe una prueba formal, las simulaciones numéricas ofrecen evidencia de apoyo de su validez. ^[172]

Ecuaciones de evolución

Cada solución de la ecuación de Einstein abarca la historia completa de un universo: no es sólo una instantánea de cómo son las cosas, sino un espacio-tiempo completo, posiblemente lleno de materia. Describe el estado de la materia y la geometría en todas partes y en cada momento en ese universo particular. Debido a su covarianza general, la teoría de Einstein no es suficiente por sí sola para determinar la evolución temporal del tensor métrico. Debe combinarse con una condición de coordenadas , que es análoga a la fijación de calibres en otras teorías de campo. ^[173]

Para entender las ecuaciones de Einstein como ecuaciones diferenciales parciales, es útil formularlas de una manera que describa la evolución del universo a lo largo del tiempo. Esto se hace en formulaciones "3+1", donde el espacio-tiempo se divide en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. El ejemplo más conocido es el formalismo ADM . ^[174] Estas descomposiciones muestran que las ecuaciones de evolución del espacio-tiempo de la relatividad general se comportan bien: las soluciones siempre existen y están definidas de manera única, una vez que se han especificado las condiciones iniciales adecuadas. ^[175] Tales formulaciones de las ecuaciones de campo de Einstein son la base de la relatividad numérica. ^[176]

Cantidades globales y cuasi locales

La noción de ecuaciones de evolución está íntimamente ligada a otro aspecto de la física relativista general. En la teoría de Einstein resulta imposible encontrar una definición general para una propiedad aparentemente simple como la masa (o energía) total de un sistema. La razón principal es que al campo gravitatorio —como a cualquier campo físico— se le debe atribuir una cierta energía, pero resulta fundamentalmente imposible localizar esa energía. ^[177]

Sin embargo, existen posibilidades de definir la masa total de un sistema, ya sea utilizando un hipotético "observador infinitamente distante" ( masa ADM ) ^[178] o simetrías adecuadas ( masa de Komar ). ^[179] Si se excluye de la masa total del sistema la energía que se lleva al infinito por las ondas gravitacionales, el resultado es la masa de Bondi en el infinito nulo. ^[180] Al igual que en la física clásica , se puede demostrar que estas masas son positivas. ^[181] Existen definiciones globales correspondientes para el momento y el momento angular. ^[182] También ha habido una serie de intentos de definir cantidades cuasi locales , como la masa de un sistema aislado formulada utilizando solo cantidades definidas dentro de una región finita del espacio que contiene ese sistema. La esperanza es obtener una cantidad útil para afirmaciones generales sobre sistemas aislados , como una formulación más precisa de la conjetura del aro. ^[183]

Relación con la teoría cuántica

Si la relatividad general se considerara uno de los dos pilares de la física moderna, entonces la teoría cuántica, la base para comprender la materia desde las partículas elementales hasta la física del estado sólido , sería el otro. ^[184] Sin embargo, cómo conciliar la teoría cuántica con la relatividad general sigue siendo una cuestión abierta.

Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo

Las teorías cuánticas de campos ordinarias , que forman la base de la física de partículas elementales moderna, se definen en el espacio plano de Minkowski, que es una excelente aproximación cuando se trata de describir el comportamiento de partículas microscópicas en campos gravitacionales débiles como los que se encuentran en la Tierra. ^[185] Para describir situaciones en las que la gravedad es lo suficientemente fuerte como para influir en la materia (cuántica), pero no lo suficientemente fuerte como para requerir la cuantificación en sí, los físicos han formulado teorías cuánticas de campos en el espacio-tiempo curvo. Estas teorías se basan en la relatividad general para describir un espacio-tiempo de fondo curvo y definen una teoría cuántica de campos generalizada para describir el comportamiento de la materia cuántica dentro de ese espacio-tiempo. ^[186] Usando este formalismo, se puede demostrar que los agujeros negros emiten un espectro de partículas de cuerpo negro conocido como radiación de Hawking que conduce a la posibilidad de que se evaporen con el tiempo. ^[187] Como se mencionó brevemente anteriormente, esta radiación juega un papel importante para la termodinámica de los agujeros negros. ^[188]

Gravedad cuántica

Proyección de una variedad de Calabi-Yau , una de las formas de compactificación de las dimensiones extra planteadas por la teoría de cuerdas

La demanda de consistencia entre una descripción cuántica de la materia y una descripción geométrica del espacio-tiempo, ^[189] así como la aparición de singularidades (donde las escalas de longitud de curvatura se vuelven microscópicas), indican la necesidad de una teoría completa de la gravedad cuántica: para una descripción adecuada del interior de los agujeros negros, y del universo primitivo, se requiere una teoría en la que la gravedad y la geometría asociada del espacio-tiempo se describan en el lenguaje de la física cuántica. ^[190] A pesar de los grandes esfuerzos, actualmente no se conoce una teoría completa y consistente de la gravedad cuántica, aunque existen varios candidatos prometedores. ^{[191] [192]}

Los intentos de generalizar las teorías de campos cuánticos comunes, utilizadas en la física de partículas elementales para describir interacciones fundamentales, de modo que incluyan la gravedad han llevado a serios problemas. ^[193] Algunos han argumentado que a bajas energías, este enfoque resulta exitoso, ya que da como resultado una teoría de campos (cuánticos) de la gravedad efectiva aceptable. ^[194] Sin embargo, a energías muy altas, los resultados perturbativos son muy divergentes y conducen a modelos desprovistos de poder predictivo (" no renormalizabilidad perturbativa "). ^[195]

Red de espín simple del tipo utilizado en la gravedad cuántica de bucles

Un intento de superar estas limitaciones es la teoría de cuerdas , una teoría cuántica no de partículas puntuales , sino de diminutos objetos extendidos unidimensionales. ^[196] La teoría promete ser una descripción unificada de todas las partículas e interacciones, incluida la gravedad; ^[197] el precio a pagar son características inusuales como seis dimensiones adicionales del espacio además de las tres habituales. ^[198] En lo que se llama la segunda revolución de supercuerdas , se conjeturó que tanto la teoría de cuerdas como una unificación de la relatividad general y la supersimetría conocida como supergravedad ^[199] forman parte de un modelo hipotético de once dimensiones conocido como teoría M , que constituiría una teoría de la gravedad cuántica definida de forma única y consistente. ^[200]

Otro enfoque comienza con los procedimientos de cuantificación canónica de la teoría cuántica. Usando la formulación de valor inicial de la relatividad general (cf. ecuaciones de evolución anteriores), el resultado es la ecuación de Wheeler-deWitt (un análogo de la ecuación de Schrödinger ) que, lamentablemente, resulta estar mal definida sin un corte ultravioleta (en red) adecuado. ^[201] Sin embargo, con la introducción de lo que ahora se conoce como variables de Ashtekar , ^[202] esto conduce a un modelo prometedor conocido como gravedad cuántica de bucles . El espacio está representado por una estructura similar a una red llamada red de espín , que evoluciona con el tiempo en pasos discretos. ^[203]

Dependiendo de qué características de la relatividad general y la teoría cuántica se aceptan sin cambios, y en qué nivel se introducen los cambios, ^[204] existen numerosos otros intentos de llegar a una teoría viable de la gravedad cuántica, algunos ejemplos son la teoría reticular de la gravedad basada en el enfoque de la integral de trayectorias de Feynman y el cálculo de Regge , ^[191] triangulaciones dinámicas , ^[205] conjuntos causales , ^[206] modelos de twistores ^[207] o los modelos basados ​​en la integral de trayectorias de la cosmología cuántica . ^[208]

Observación de ondas gravitacionales de la fusión de dos agujeros negros binarios GW150914

Todas las teorías candidatas aún tienen que superar importantes problemas formales y conceptuales. También se enfrentan al problema común de que, hasta el momento, no hay manera de poner a prueba experimentalmente las predicciones de la gravedad cuántica (y, por lo tanto, decidir entre las candidatas en qué aspectos varían sus predicciones), aunque hay esperanzas de que esto cambie a medida que se disponga de datos futuros de observaciones cosmológicas y experimentos de física de partículas. ^[209]

Estado actual

La relatividad general ha emergido como un modelo de gravitación y cosmología de gran éxito, que hasta ahora ha pasado muchas pruebas observacionales y experimentales inequívocas. Sin embargo, hay fuertes indicios de que la teoría está incompleta. ^[210] El problema de la gravedad cuántica y la cuestión de la realidad de las singularidades del espacio-tiempo siguen abiertas. ^[211] Los datos observacionales que se toman como evidencia de la energía oscura y la materia oscura podrían indicar la necesidad de una nueva física. ^[212]

Incluso tal como está, la relatividad general ofrece muchas posibilidades para una mayor exploración. Los relativistas matemáticos buscan comprender la naturaleza de las singularidades y las propiedades fundamentales de las ecuaciones de Einstein ^[213] , mientras que los relativistas numéricos realizan simulaciones informáticas cada vez más potentes (como las que describen la fusión de agujeros negros). ^[214] En febrero de 2016, se anunció que el equipo LIGO avanzado había detectado directamente la existencia de ondas gravitacionales el 14 de septiembre de 2015. ^{[83] [215] [216]} Un siglo después de su introducción, la relatividad general sigue siendo un área de investigación muy activa. ^[217]

Véase también

• Motor Alcubierre  : transporte hipotético FTL por espacio de curvatura (motor de curvatura)
• Alternativas a la relatividad general  : teorías propuestas sobre la gravedad
• Contribuyentes a la relatividad general
• Derivaciones de las transformaciones de Lorentz
• Paradoja de Ehrenfest  - Paradoja en la relatividad especial
• Acción de Einstein-Hilbert  : concepto de la relatividad general
• Los experimentos mentales de Einstein  : situaciones hipotéticas de Albert Einstein para argumentar puntos científicos
• Disputa de prioridad en la relatividad general  – Debate sobre el crédito a la relatividad general
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• La teoría de la gravitación de Nordström  : predecesora de la teoría de la relatividad
• Problemas con la teoría general de la relatividad de Einstein
• Cálculo de Ricci  : notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensores
• Cronología de la física gravitacional y la relatividad

Referencias

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9. Einstein 1917, cf. Pais 1982, cap. 15e
10. El artículo original de Hubble es Hubble 1929; se ofrece una descripción general accesible en Singh 2004, cap. 2-4
11. Como se informó en Gamow 1970. La condena de Einstein resultaría prematura, véase la sección Cosmología, más abajo.
12. Pais 1982, págs. 253-254
13. Kennefick 2005, Kennefick 2007
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17. Secciones Efectos orbitales y relatividad de la dirección, Dilatación del tiempo gravitacional y desplazamiento de frecuencia y Desviación de la luz y retardo del tiempo gravitacional, y referencias allí citadas.
18. Sección Cosmología y referencias allí contenidas; el desarrollo histórico se encuentra en Overbye 1999
19. Wald 1984, pág. 3
20. Rovelli 2015, pp. 1–6 "La relatividad general no es sólo una teoría física extraordinariamente hermosa que proporciona la mejor descripción de la interacción gravitacional que tenemos hasta ahora. Es más".
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31. Ehlers 1973, pp. 10f
32. Good introductions are, in order of increasing presupposed knowledge of mathematics, Giulini 2005, Mermin 2005, and Rindler 1991; for accounts of precision experiments, cf. part IV of Ehlers & Lämmerzahl 2006
33. An in-depth comparison between the two symmetry groups can be found in Giulini 2006
34. Rindler 1991, sec. 22, Synge 1972, ch. 1 and 2
35. Ehlers 1973, sec. 2.3
36. Ehlers 1973, sec. 1.4, Schutz 1985, sec. 5.1
37. Ehlers 1973, pp. 17ff; a derivation can be found in Mermin 2005, ch. 12. For the experimental evidence, cf. the section Gravitational time dilation and frequency shift, below
38. Rindler 2001, sec. 1.13; for an elementary account, see Wheeler 1990, ch. 2; there are, however, some differences between the modern version and Einstein's original concept used in the historical derivation of general relativity, cf. Norton 1985
39. Ehlers 1973, sec. 1.4 for the experimental evidence, see once more section Gravitational time dilation and frequency shift. Choosing a different connection with non-zero torsion leads to a modified theory known as Einstein–Cartan theory
40. Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, sec. 7.2, Weinberg 1972, sec. 2.8
41. Ehlers 1973, pp. 19–22; for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
42. Kenyon 1990, sec. 7.4
43. Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley. ISBN 978-0-471-92567-5.
44. Cheng, Ta-Pei (2005). Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction. Oxford and New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852957-6.
45. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
46. Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
47. At least approximately, cf. Poisson 2004a
48. Wheeler 1990, p. xi
49. Wald 1984, sec. 4.4
50. Wald 1984, sec. 4.1
51. For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2007
52. section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972
53. Introductory chapters of Stephani et al. 2003
54. A review showing Einstein's equation in the broader context of other PDEs with physical significance is Geroch 1996
55. For background information and a list of solutions, cf. Stephani et al. 2003; a more recent review can be found in MacCallum 2006
56. Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
57. Narlikar 1993, ch. 4, sec. 3.3
58. Brief descriptions of these and further interesting solutions can be found in Hawking & Ellis 1973, ch. 5
59. Lehner 2002
60. For instance Wald 1984, sec. 4.4
61. Will 1993, sec. 4.1 and 4.2
62. Will 2006, sec. 3.2, Will 1993, ch. 4
63. Rindler 2001, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, pp. 196–198
64. Rindler 2001, pp. 24–26; Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 38.5
65. Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
66. Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and most accurate Sirius B measurements are published in Barstow, Bond et al. 2005.
67. Starting with the Hafele–Keating experiment, Hafele & Keating 1972a and Hafele & Keating 1972b, and culminating in the Gravity Probe A experiment; an overview of experiments can be found in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
68. GPS is continually tested by comparing atomic clocks on the ground and aboard orbiting satellites; for an account of relativistic effects, see Ashby 2002 and Ashby 2003
69. Stairs 2003 and Kramer 2004
70. General overviews can be found in section 2.1. of Will 2006; Will 2003, pp. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.2
71. Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172
72. Cf. Kennefick 2005 for the classic early measurements by Arthur Eddington's expeditions. For an overview of more recent measurements, see Ohanian & Ruffini 1994, ch. 4.3. For the most precise direct modern observations using quasars, cf. Shapiro et al. 2004
73. This is not an independent axiom; it can be derived from Einstein's equations and the Maxwell Lagrangian using a WKB approximation, cf. Ehlers 1973, sec. 5
74. Blanchet 2006, sec. 1.3
75. Rindler 2001, sec. 1.16; for the historical examples, Israel 1987, pp. 202–204; in fact, Einstein published one such derivation as Einstein 1907. Such calculations tacitly assume that the geometry of space is Euclidean, cf. Ehlers & Rindler 1997
76. From the standpoint of Einstein's theory, these derivations take into account the effect of gravity on time, but not its consequences for the warping of space, cf. Rindler 2001, sec. 11.11
77. For the Sun's gravitational field using radar signals reflected from planets such as Venus and Mercury, cf. Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, sec. 7; for signals actively sent back by space probes (transponder measurements), cf. Bertotti, Iess & Tortora 2003; for an overview, see Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 on p. 200; for more recent measurements using signals received from a pulsar that is part of a binary system, the gravitational field causing the time delay being that of the other pulsar, cf. Stairs 2003, sec. 4.4
78. Will 1993, sec. 7.1 and 7.2
79. Einstein, A (22 June 1916). "Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 688–696. Bibcode:1916SPAW.......688E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
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84. Most advanced textbooks on general relativity contain a description of these properties, e.g. Schutz 1985, ch. 9
85. For example Jaranowski & Królak 2005
86. Rindler 2001, ch. 13
87. Gowdy 1971, Gowdy 1974
88. See Lehner 2002 for a brief introduction to the methods of numerical relativity, and Seidel 1998 for the connection with gravitational wave astronomy
89. Schutz 2003, pp. 48–49, Pais 1982, pp. 253–254
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92. In consequence, in the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of this effect determine a linear combination of the terms β and γ, cf. Will 2006, sec. 3.5 and Will 1993, sec. 7.3
93. The most precise measurements are VLBI measurements of planetary positions; see Will 1993, ch. 5, Will 2006, sec. 3.5, Anderson et al. 1992; for an overview, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 406–407
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97. Stairs 2003, Schutz 2003, pp. 317–321, Bartusiak 2000, pp. 70–86
98. Weisberg & Taylor 2003; for the pulsar discovery, see Hulse & Taylor 1975; for the initial evidence for gravitational radiation, see Taylor 1994
99. Kramer 2004
100. Penrose 2004, § 14.5, Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 11.4
101. Weinberg 1972, sec. 9.6, Ohanian & Ruffini 1994, sec. 7.8
102. Bertotti, Ciufolini & Bender 1987, Nordtvedt 2003
103. Kahn 2007
104. A mission description can be found in Everitt et al. 2001; a first post-flight evaluation is given in Everitt, Parkinson & Kahn 2007; further updates will be available on the mission website Kahn 1996–2012.
105. Townsend 1997, sec. 4.2.1, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 469–471
106. Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.7, Weinberg 1972, sec. 9.7; for a more recent review, see Schäfer 2004
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108. Iorio 2006, Iorio 2010
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111. Walsh, Carswell & Weymann 1979
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113. Roulet & Mollerach 1997
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125. Blandford 1987, sección 8.2.4
126. Para el mecanismo básico, véase Carroll y Ostlie 1996, sec. 17.2; para más información sobre los diferentes tipos de objetos astronómicos asociados con esto, véase Robson 1996
127. Para una revisión, véase Begelman, Blandford y Rees 1984. Para un observador distante, algunos de estos chorros incluso parecen moverse más rápido que la luz ; esto, sin embargo, puede explicarse como una ilusión óptica que no viola los principios de la relatividad, véase Rees 1966.
128. Para los estados finales de las estrellas, véase Oppenheimer y Snyder 1939 o, para trabajos numéricos más recientes, Font 2003, sec. 4.1; para las supernovas, todavía quedan problemas importantes por resolver, véase Buras et al. 2003; para simular la acreción y la formación de chorros, véase Font 2003, sec. 4.2. Además, se cree que los efectos de lente relativista desempeñan un papel en las señales recibidas de los púlsares de rayos X , véase Kraus 1998
129. The evidence includes limits on compactness from the observation of accretion-driven phenomena ("Eddington luminosity"), see Celotti, Miller & Sciama 1999, observations of stellar dynamics in the center of our own Milky Way galaxy, cf. Schödel et al. 2003, and indications that at least some of the compact objects in question appear to have no solid surface, which can be deduced from the examination of X-ray bursts for which the central compact object is either a neutron star or a black hole; cf. Remillard et al. 2006 for an overview, Narayan 2006, sec. 5. Observations of the "shadow" of the Milky Way galaxy's central black hole horizon are eagerly sought for, cf. Falcke, Melia & Agol 2000
130. Dalal et al. 2006
131. Barack & Cutler 2004
132. Einstein 1917; cf. Pais 1982, pp. 285–288
133. Carroll 2001, ch. 2
134. Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; use of these models is justified by the fact that, at large scales of around hundred million light-years and more, our own universe indeed appears to be isotropic and homogeneous, cf. Peebles et al. 1991
135. E.g. with WMAP data, see Spergel et al. 2003
136. These tests involve the separate observations detailed further on, see, e.g., fig. 2 in Bridle et al. 2003
137. Peebles 1966; for a recent account of predictions, see Coc, Vangioni‐Flam et al. 2004; an accessible account can be found in Weiss 2006; compare with the observations in Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002, O'Meara et al. 2001, and Charbonnel & Primas 2005
138. Lahav & Suto 2004, Bertschinger 1998, Springel et al. 2005
139. Alpher & Herman 1948, for a pedagogical introduction, see Bergström & Goobar 2003, ch. 11; for the initial detection, see Penzias & Wilson 1965 and, for precision measurements by satellite observatories, Mather et al. 1994 (COBE) and Bennett et al. 2003 (WMAP). Future measurements could also reveal evidence about gravitational waves in the early universe; this additional information is contained in the background radiation's polarization, cf. Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997 and Seljak & Zaldarriaga 1997
140. Evidence for this comes from the determination of cosmological parameters and additional observations involving the dynamics of galaxies and galaxy clusters cf. Peebles 1993, ch. 18, evidence from gravitational lensing, cf. Peacock 1999, sec. 4.6, and simulations of large-scale structure formation, see Springel et al. 2005
141. Peacock 1999, ch. 12, Peskin 2007; in particular, observations indicate that all but a negligible portion of that matter is not in the form of the usual elementary particles ("non-baryonic matter"), cf. Peacock 1999, ch. 12
142. Namely, some physicists have questioned whether or not the evidence for dark matter is, in fact, evidence for deviations from the Einsteinian (and the Newtonian) description of gravity cf. the overview in Mannheim 2006, sec. 9
143. Carroll 2001; an accessible overview is given in Caldwell 2004. Here, too, scientists have argued that the evidence indicates not a new form of energy, but the need for modifications in our cosmological models, cf. Mannheim 2006, sec. 10; aforementioned modifications need not be modifications of general relativity, they could, for example, be modifications in the way we treat the inhomogeneities in the universe, cf. Buchert 2008
144. A good introduction is Linde 2005; for a more recent review, see Linde 2006
145. More precisely, these are the flatness problem, the horizon problem, and the monopole problem; a pedagogical introduction can be found in Narlikar 1993, sec. 6.4, see also Börner 1993, sec. 9.1
146. Spergel et al. 2007, sec. 5,6
147. More concretely, the potential function that is crucial to determining the dynamics of the inflaton is simply postulated, but not derived from an underlying physical theory
148. Brandenberger 2008, sec. 2
149. Gödel 1949
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153. Strominger, Andrew (2017). "Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory". arXiv:1703.05448 [hep-th]. ...redacted transcript of a course given by the author at Harvard in spring semester 2016. It contains a pedagogical overview of recent developments connecting the subjects of soft theorems, the memory effect and asymptotic symmetries in four-dimensional QED, nonabelian gauge theory and gravity with applications to black holes. To be published Princeton University Press, 158 pages.
154. Frauendiener 2004, Wald 1984, sec. 11.1, Hawking & Ellis 1973, sec. 6.8, 6.9
155. Wald 1984, sec. 9.2–9.4 and Hawking & Ellis 1973, ch. 6
156. Thorne 1972; for more recent numerical studies, see Berger 2002, sec. 2.1
157. Israel 1987. A more exact mathematical description distinguishes several kinds of horizon, notably event horizons and apparent horizons cf. Hawking & Ellis 1973, pp. 312–320 or Wald 1984, sec. 12.2; there are also more intuitive definitions for isolated systems that do not require knowledge of spacetime properties at infinity, cf. Ashtekar & Krishnan 2004
158. For first steps, cf. Israel 1971; see Hawking & Ellis 1973, sec. 9.3 or Heusler 1996, ch. 9 and 10 for a derivation, and Heusler 1998 as well as Beig & Chruściel 2006 as overviews of more recent results
159. The laws of black hole mechanics were first described in Bardeen, Carter & Hawking 1973; a more pedagogical presentation can be found in Carter 1979; for a more recent review, see Wald 2001, ch. 2. A thorough, book-length introduction including an introduction to the necessary mathematics Poisson 2004. For the Penrose process, see Penrose 1969
160. Bekenstein 1973, Bekenstein 1974
161. The fact that black holes radiate, quantum mechanically, was first derived in Hawking 1975; a more thorough derivation can be found in Wald 1975. A review is given in Wald 2001, ch. 3
162. Narlikar 1993, sec. 4.4.4, 4.4.5
163. Horizons: cf. Rindler 2001, sec. 12.4. Unruh effect: Unruh 1976, cf. Wald 2001, ch. 3
164. Hawking & Ellis 1973, sec. 8.1, Wald 1984, sec. 9.1
165. Townsend 1997, ch. 2; a more extensive treatment of this solution can be found in Chandrasekhar 1983, ch. 3
166. Townsend 1997, ch. 4; for a more extensive treatment, cf. Chandrasekhar 1983, ch. 6
167. Ellis & Van Elst 1999; a closer look at the singularity itself is taken in Börner 1993, sec. 1.2
168. Here one should remind to the well-known fact that the important "quasi-optical" singularities of the so-called eikonal approximations of many wave equations, namely the "caustics", are resolved into finite peaks beyond that approximation.
169. Namely when there are trapped null surfaces, cf. Penrose 1965
170. Hawking 1966
171. The conjecture was made in Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz 1971; for a more recent review, see Berger 2002. An accessible exposition is given by Garfinkle 2007
172. The restriction to future singularities naturally excludes initial singularities such as the big bang singularity, which in principle be visible to observers at later cosmic time. The cosmic censorship conjecture was first presented in Penrose 1969; a textbook-level account is given in Wald 1984, pp. 302–305. For numerical results, see the review Berger 2002, sec. 2.1
173. Hawking & Ellis 1973, sec. 7.1
174. Arnowitt, Deser & Misner 1962; for a pedagogical introduction, see Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 21.4–§ 21.7
175. Fourès-Bruhat 1952 and Bruhat 1962; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, ch. 10; an online review can be found in Reula 1998
176. Gourgoulhon 2007; for a review of the basics of numerical relativity, including the problems arising from the peculiarities of Einstein's equations, see Lehner 2001
177. Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 20.4
178. Arnowitt, Deser & Misner 1962
179. Komar 1959; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2; although defined in a totally different way, it can be shown to be equivalent to the ADM mass for stationary spacetimes, cf. Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
180. For a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2
181. Wald 1984, p. 295 and refs therein; this is important for questions of stability—if there were negative mass states, then flat, empty Minkowski space, which has mass zero, could evolve into these states
182. Townsend 1997, ch. 5
183. Such quasi-local mass–energy definitions are the Hawking energy, Geroch energy, or Penrose's quasi-local energy–momentum based on twistor methods; cf. the review article Szabados 2004
184. An overview of quantum theory can be found in standard textbooks such as Messiah 1999; a more elementary account is given in Hey & Walters 2003
185. Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995; a more accessible overview is Auyang 1995
186. Wald 1994, Birrell & Davies 1984
187. For Hawking radiation Hawking 1975, Wald 1975; an accessible introduction to black hole evaporation can be found in Traschen 2000
188. Wald 2001, ch. 3
189. Put simply, matter is the source of spacetime curvature, and once matter has quantum properties, we can expect spacetime to have them as well. Cf. Carlip 2001, sec. 2
190. Schutz 2003, p. 407
191. Hamber 2009
192. A timeline and overview can be found in Rovelli 2000
193. 't Hooft & Veltman 1974
194. Donoghue 1995
195. In particular, a perturbative technique known as renormalization, an integral part of deriving predictions which take into account higher-energy contributions, cf. Weinberg 1996, ch. 17, 18, fails in this case; cf. Veltman 1975, Goroff & Sagnotti 1985; for a recent comprehensive review of the failure of perturbative renormalizability for quantum gravity see Hamber 2009
196. An accessible introduction at the undergraduate level can be found in Zwiebach 2004; more complete overviews can be found in Polchinski 1998a and Polchinski 1998b
197. At the energies reached in current experiments, these strings are indistinguishable from point-like particles, but, crucially, different modes of oscillation of one and the same type of fundamental string appear as particles with different (electric and other) charges, e.g. Ibanez 2000. The theory is successful in that one mode will always correspond to a graviton, the messenger particle of gravity, e.g. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 2.3, 5.3
198. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 4.2
199. Weinberg 2000, ch. 31
200. Townsend 1996, Duff 1996
201. Kuchař 1973, sec. 3
202. These variables represent geometric gravity using mathematical analogues of electric and magnetic fields; cf. Ashtekar 1986, Ashtekar 1987
203. For a review, see Thiemann 2007; more extensive accounts can be found in Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004 as well as in the lecture notes Thiemann 2003
204. Isham 1994, Sorkin 1997
205. Loll 1998
206. Sorkin 2005
207. Penrose 2004, ch. 33 and refs therein
208. Hawking 1987
209. Ashtekar 2007, Schwarz 2007
210. Maddox 1998, pp. 52–59, 98–122; Penrose 2004, sec. 34.1, ch. 30
211. section Quantum gravity, above
212. section Cosmology, above
213. Friedrich 2005
214. A review of the various problems and the techniques being developed to overcome them, see Lehner 2002
215. See Bartusiak 2000 for an account up to that year; up-to-date news can be found on the websites of major detector collaborations such as GEO600 and LIGO
216. For the most recent papers on gravitational wave polarizations of inspiralling compact binaries, see Blanchet et al. 2008, and Arun et al. 2008; for a review of work on compact binaries, see Blanchet 2006 and Futamase & Itoh 2006; for a general review of experimental tests of general relativity, see Will 2006
217. See, e.g., the Living Reviews in Relativity journal.

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• Wald, Robert M. (2001), "The Thermodynamics of Black Holes", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 6, arXiv:gr-qc/9912119, Bibcode:2001LRR.....4....6W, doi:10.12942/lrr-2001-6, PMC 5253844, PMID 28163633
• Walsh, D.; Carswell, R. F.; Weymann, R. J. (1979), "0957 + 561 A, B: twin quasistellar objects or gravitational lens?", Nature, 279 (5712): 381–4, Bibcode:1979Natur.279..381W, doi:10.1038/279381a0, PMID 16068158, S2CID 2142707
• Wambsganss, Joachim (1998), "Gravitational Lensing in Astronomy", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 12, arXiv:astro-ph/9812021, Bibcode:1998LRR.....1...12W, doi:10.12942/lrr-1998-12, PMC 5567250, PMID 28937183
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley, ISBN 978-0-471-92567-5
• Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, Steven (1996), The Quantum Theory of Fields II: Modern Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, Steven (2000), The Quantum Theory of Fields III: Supersymmetry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Weisberg, Joel M.; Taylor, Joseph H. (2003), "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16"", in Bailes, M.; Nice, D. J.; Thorsett, S. E. (eds.), Proceedings of "Radio Pulsars," Chania, Crete, August, 2002, ASP Conference Series
• Weiss, Achim (2006), "Elements of the past: Big Bang Nucleosynthesis and observation", Einstein Online, Max Planck Institute for Gravitational Physics, archived from the original on 8 February 2007, retrieved 24 February 2007
• Wheeler, John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific American Library, San Francisco: W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-6034-4
• Will, Clifford M. (1993), Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43973-2
• Will, Clifford M. (2006), "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 3, arXiv:gr-qc/0510072, Bibcode:2006LRR.....9....3W, doi:10.12942/lrr-2006-3, PMC 5256066, PMID 28179873
• Zwiebach, Barton (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83143-7

Further reading

Popular books

• Einstein, A. (1916), Relativity: The Special and the General Theory, Berlin, ISBN 978-3-528-06059-6{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Geroch, R. (1981), General Relativity from A to B, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28864-2
• Lieber, Lillian (2008), The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension, Philadelphia: Paul Dry Books, Inc., ISBN 978-1-58988-044-3
• Schutz, Bernard F. (2001), "Gravitational radiation", in Murdin, Paul (ed.), Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics, Institute of Physics Pub., ISBN 978-1-56159-268-5
• Thorne, Kip; Hawking, Stephen (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton. ISBN 0-393-03505-0.
• Wald, Robert M. (1992), Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87029-8
• Wheeler, John; Ford, Kenneth (1998), Geons, Black Holes, & Quantum Foam: a life in physics, New York: W. W. Norton, ISBN 978-0-393-31991-0

Beginning undergraduate textbooks

• Callahan, James J. (2000), The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98641-8
• Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000), Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38423-9

Advanced undergraduate textbooks

• Cheng, Ta-Pei (2005), Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction, Oxford and New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852957-6
• Dirac, Paul (1996), General Theory of Relativity, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01146-2
• Gron, O.; Hervik, S. (2007), Einstein's General theory of Relativity, Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Hartle, James B. (2003), Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8662-2
• Hughston, L. P.; Tod, K. P. (1991), Introduction to General Relativity, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33943-8
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8
• Ludyk, Günter (2013). Einstein in Matrix Form (1st ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-35797-8.
• Møller, Christian (1955) [1952], The Theory of Relativity, Oxford University Press, OCLC 7644624
• Moore, Thomas A (2012), A General Relativity Workbook, University Science Books, ISBN 978-1-891389-82-5
• Schutz, B. F. (2009), A First Course in General Relativity (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2

Graduate textbooks

• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny F. (1980), The Classical Theory of Fields (4th ed.), London: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
• Stephani, Hans (1990), General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37941-0
• Will, Clifford; Poisson, Eric (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03286-6.
• Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman, Princeton University Press, ISBN 0-7167-0344-0
• R.K. Sachs; H. Wu (1977), General Relativity for Mathematicians, Springer-Verlag, ISBN 1461299055
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87032-4. OCLC 10018614.

Specialists' books

• Hawking, Stephen; Ellis, George (1975). The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.
• Poisson, Eric (2007). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53780-3.

Journal articles

• Einstein, Albert (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 49 (7): 769–822, Bibcode:1916AnP...354..769E, doi:10.1002/andp.19163540702 See also English translation at Einstein Papers Project
• Flanagan, Éanna É.; Hughes, Scott A. (2005), "The basics of gravitational wave theory", New J. Phys., 7 (1): 204, arXiv:gr-qc/0501041, Bibcode:2005NJPh....7..204F, doi:10.1088/1367-2630/7/1/204
• Landgraf, M.; Hechler, M.; Kemble, S. (2005), "Mission design for LISA Pathfinder", Class. Quantum Grav., 22 (10): S487–S492, arXiv:gr-qc/0411071, Bibcode:2005CQGra..22S.487L, doi:10.1088/0264-9381/22/10/048, S2CID 119476595
• Nieto, Michael Martin (2006), "The quest to understand the Pioneer anomaly" (PDF), Europhysics News, 37 (6): 30–34, arXiv:gr-qc/0702017, Bibcode:2006ENews..37f..30N, doi:10.1051/epn:2006604, archived (PDF) from the original on 24 September 2015
• Shapiro, I. I.; Pettengill, Gordon; Ash, Michael; Stone, Melvin; Smith, William; Ingalls, Richard; Brockelman, Richard (1968), "Fourth test of general relativity: preliminary results", Phys. Rev. Lett., 20 (22): 1265–1269, Bibcode:1968PhRvL..20.1265S, doi:10.1103/PhysRevLett.20.1265
• Valtonen, M. J.; Lehto, H. J.; Nilsson, K.; Heidt, J.; Takalo, L. O.; Sillanpää, A.; Villforth, C.; Kidger, M.; et al. (2008), "A massive binary black-hole system in OJ 287 and a test of general relativity", Nature, 452 (7189): 851–853, arXiv:0809.1280, Bibcode:2008Natur.452..851V, doi:10.1038/nature06896, PMID 18421348, S2CID 4412396

External links

• Einstein Online Archived 1 June 2014 at the Wayback Machine – Articles on a variety of aspects of relativistic physics for a general audience; hosted by the Max Planck Institute for Gravitational Physics
• GEO600 home page, the official website of the GEO600 project.
• LIGO Laboratory
• NCSA Spacetime Wrinkles – produced by the numerical relativity group at the NCSA, with an elementary introduction to general relativity

• Courses
• Lectures
• Tutorials

• Einstein's General Theory of Relativity on YouTube (lecture by Leonard Susskind recorded 22 September 2008 at Stanford University).
• Series of lectures on General Relativity given in 2006 at the Institut Henri Poincaré (introductory/advanced).
• General Relativity Tutorials by John Baez.
• Brown, Kevin. "Reflections on relativity". Mathpages.com. Archived from the original on 18 December 2015. Retrieved 29 May 2005.
• Carroll, Sean M. (1997). "Lecture Notes on General Relativity". arXiv:gr-qc/9712019.
• Moor, Rafi. "Understanding General Relativity". Retrieved 11 July 2006.
• Waner, Stefan. "Introduction to Differential Geometry and General Relativity". Retrieved 5 April 2015.
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space